Boundary approximation method, also known as the collocation Trefftz method in engineering, is used to solve Laplace boundary value problem on rectanglular domain. Suppose the particular solutions are chosen for the whole domain. If there is no singularity on other vertices, it should have exponential convergence. Otherwise, it will degenerate to polynomial convergence. In the latter case, the order of convergence has some relation with the intensity of singularity. So, it is easy to design models with desired convergent orders. On a sectorial domain, when one side of the boundary conditions is a transcendental function, it needs to be approximated by power series. The truncation of this power series will generate an artificial singularity when solving Laplace equation on polygon. So it will greatly slow down the expected order of convergence. This thesis study how the truncation error affects the convergent speed. Moreover, we focus on the transition behavior of the convergence from one order to another. In the end, we also apply our results to boundary approximation method with enriched basis.

<p>Ova disertacija se bavi problemom određivanja višestrukih rešenja realnih nelinearnih jednačina kada je višestrukost unapred poznati prirodan broj. Teorijski se analiziraju i numerički testiraju red konvergencije i optimalnost neki dobro poznatih metoda poput Liu-Čou metoda i Čou-Čen-Song metoda. Izvodi se i objašnjava zavisnost optimalnog reda konvergencije i parnosti/neparnosti višestrukosti rešenja. Takođe, konstruišu se dve nove familije postupaka osmog reda konvergecnije. Razmatraju se nove familije dvokoračnih postupaka namenjene za rešavanje problema koje klasični metodi NJutnovog tipa ne mogu da reše.</p> / <p>This thesis deals with the problem of determing multiple roots of real nonlinear equations where the multiplicity is some integer known in advance. The convergence order and optimal properties of some well-known methods such as Liu-Zhou method and Zhou-Chen-Song method are theoretically analyzed and numerically tested. The dependence of optimal convergence order on multiplicity has been derived and explained. Further, two new efficient families of methods with optimal eighth convergence order have been constructed. Furthermore, some new families of two-step methods are considered to solve certain problems where the classical Newton-type methods fail.</p>

We propose a moving-boundary scenario to model the penetration of diffusants into rubbers. Immobilizing the moving boundary by using the well-known Landau transformation transforms the original governing equations into new equations posed in a fixed domain. We solve the transformed equations by the finite element method and investigate the parameter space by exploring the eventual effects of the choice of parameters on the overall diffusants penetration process. Numerical simulation results show that the computed penetration depths of the diffusant concentration are within the range of experimental measurements. We discuss numerical estimations of the expected large-time behavior of the penetration fronts. To have trust in the obtained simulation results, we perform the numerical analysis for our setting. Initially, we study semi-discrete finite element approximations of the corresponding weak solutions. We prove both a priori and a posteriori error estimates for the mass concentration of the diffusants, and respectively, for the a priori unknown position of the moving boundary. Finally, we present a fully discrete scheme for the numerical approximation of model equations. Our scheme is based on the Galerkin finite element method for the space discretization combined with the backward Euler method for time discretization. In addition to proving the existence and uniqueness of a solution to the fully discrete problem, we also derive a priori error estimates for the mass concentration of the diffusants, and respectively, for the position of the moving boundary that fit to our implementation in Python. Our numerical illustrations verify the obtained theoretical order of convergence in physical parameter regimes.

[ES] Se puede afirmar que la inmensa mayoría de los fenómenos de la naturaleza estudiados tienen un carácter no lineal. Muchos de estos problemas se pueden modelar utilizando ecuaciones diferenciales no lineales (EDNL) para cuya resolución no existe una amplia colección de herramientas como si podemos encontrar para la resolución de las ecuaciones diferenciales ordinarias. En otros contextos y en este particularmente, los métodos iterativos para la resolución de sistemas no lineales adquieren gran importancia ya que una ecuación diferencial no lineal se puede aproximar numéricamente resolviendo un sistema de ecuaciones no lineales equivalente tras un proceso de discretización. En la presente Tesis Doctoral se proponen dos nuevas clases de métodos iterativos de sexto orden de convergencia basados en funciones peso y se realizan los respectivos análisis de convergencia. El primero de ellos se compara con otros métodos de sexto orden mostrando, aunque formalmente, un mejor rendimiento. En ambos casos se realiza un análisis dinámico donde se indaga la estabilidad de los métodos propuestos en dependencia de la aproximación inicial escogida, estos análisis se hacen empleando polinomios vectoriales de estudio muy simples (polinomios de prueba). Un mal rendimiento con estos últimos, nos aconseja rechazar las aproximaciones iniciales que les han dado lugar. Los métodos propuestos han sido testeados en múltiples experimentos numéricos con problemas académicos y con otros aplicados tales como la resolución numérica de la ecuación de Volterra, la ecuación de Van der Pol y la ecuación de transmisión de calor en un medio no homogéneo, mostrando en todos ellos muy buenos resultados. Finalmente se proponen las líneas de investigación futuras: dos de ellas, basadas en un paradigma determinista, es una continuación directa del trabajo realizado. La otra línea que contempla un paradigma no determinista, se fundamenta en procesos probabilísticos adoptando un método Montecarlo para la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales. Una vez diseñado el método Montecarlo en cuestión, se pretende realizar una comparación de rendimiento entre ambos paradigmas. / [CA] Es pot afirmar que la immensa majoria dels fenòmens de la naturalesa estudiats tenen un caràcter no lineal. Molts d'aquests problemes es poden modelar utilitzant equacions diferencials no lineals (EDNL) per a que la seua resoluci ón no existeix una àmplia col·lecció d'eines com si podem trobar per a la resolució de les equacions diferencials ordinàries. En altres contextos i en aquest particularment, els mètodes iteratius per a la resolució de sistemes no lineals adquireixen gran importància ja que una equació diferencial no lineal es pot aproximar numèricament resolent un sistema d'equacions no lineals equivalent després d'un procés de discretización. En la present Tesi Doctoral es proposen dues noves classes de mètodes iteratius de sisé ordre de convergència basats en funcions pese i es realitzen les respectives anàlisis de convergència. El primer d'ells es compara amb altres mètodes de sisé ordre mostrant, encara que formalment, un millor rendiment. En tots dos casos es realitza una anàlisi dinàmica on s'indaga l'estabilitat dels mètodes proposats en dependència de l'aproximació inicial triada, aquestes anàlisis es fan emprant polinomis d'estudi molt simples (polinomis de prova). Un mal rendiment amb aquests últims, ens aconsella rebutjar les aproximacions inicials que els han donat lloc. Els mètodes proposats han sigut testats en múltiples experiments numèrics amb problemes acadèmics i amb altres aplicats com ara la resolució numèrica de l'equació de Volterra, l'equació de Van der Pol i l'equació de transmissió de calor en un mitjà no homogeni, mostrant en tots ells molt bons resultats. Finalment es proposen les línies d'investigació futures: dos d'elles, basat en un paradigma determinista, és una continuació directa del treball realitzat. L'altra línia que contempla un paradigma no determinista, es fonamenta en processos probabilístics adoptant un mètode Montecarlo per a la resolució de sistemes d'equacions no lineals. Una vegada dissenyat el mètode Montecarlo en qüestió, es pretén realitzar una comparació de rendiment entre tots dos paradigmes. / [EN] It can be argued that the vast majority of natural phenomena studied are nonlinear in nature. Many of these problems can be modeled using nonlinear dierential equations (NLDEs) for the solution of which there is no large collection of tools as we can nd for the solution of nonlinear dierential equations. There is not a large collection of tools for solving NDEs as there is for solving ordinary dierential equations dierential equations. In other contexts and in this one in particular, iterative methods for solving nonlinear systems are of great importance. nonlinear systems acquire great importance since a nonlinear dierential equation can be approximated numerically by solving a system of nonlinear equations. by solving an equivalent system of nonlinear equations after a discretization process. In this Doctoral Thesis, two new classes of sixth order iterative methods of convergence based on weight functions are proposed and the respective convergence analyses are performed. The rst one is compared with other sixth order methods showing a better performance. In both cases, a dynamic analysis where the stability of the proposed methods is investigated in dependence of the initial approximation chosen. These analyses are performed using very simple study polynomials (test polynomials). A bad The proposed methods have been tested for their stability in dependence on the initial approximation chosen. The proposed methods have been tested in multiple numerical experiments with academic problems and with other applied problems such as the numerical solution of the Volterra equation, the Van der Pol equation and the heat transfer equation in an inhomogeneous medium, showing very good results in all of them. Finally, future lines of research are proposed: two of them, based on a deterministic paradigm, are a direct continuation of the work carried out. The other line, which contemplates a non-deterministic paradigm, is based on probabilistic processes adopting a Monte Carlo method for the resolution of systems of nonlinear equations. Once the Monte Carlo method has been designed, a performance comparison between both paradigms will be made. / Capdevila Brown, RR. (2023). Procesos iterativos para la resolución de sistemas no lineales con amplios conjuntos de estimaciones iniciales convergentes [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/201560

[ES] La resolución de ecuaciones y sistemas no lineales es un tema de gran interés teórico-práctico, pues muchos modelos matemáticos de la ciencia o de la industria se expresan mediante sistemas no lineales o ecuaciones diferenciales o integrales que, mediante técnicas de discretización, dan lugar a dichos sistemas. Dado que generalmente es difícil, si no imposible, resolver analíticamente las ecuaciones no lineales, la herramienta más extendida son los métodos iterativos, que tratan de obtener aproximaciones cada vez más precisas de las soluciones partiendo de determinadas estimaciones iniciales. Existe una variada literatura sobre los métodos iterativos para resolver ecuaciones y sistemas, que abarca conceptos como, eficiencia, optimalidad, estabilidad, entre otros importantes temas. En este estudio obtenemos nuevos métodos iterativos que mejoran algunos conocidos en términos de orden o eficiencia, es decir que obtienen mejores aproximaciones con menor coste computacional. La convergencia de los métodos iterativos suele estudiarse desde el punto de vista local. Esto significa que se obtienen resultados de convergencia imponiendo condiciones a la ecuación en un entorno de la solución. Obviamente, estos resultados no son aplicables si no la conocemos. Otro punto de vista, que abordamos en este trabajo, es el estudio semilocal que, imponiendo condiciones en un entorno de la estimación inicial, proporciona un entorno de dicho punto que contiene la solución y garantiza la convergencia del método iterativo a la misma. Finalmente, desde un punto de vista global, estudiamos el comportamiento de los métodos iterativos en función de la estimación inicial, mediante el estudio de la dinámica de las funciones racionales asociadas a estos métodos. La presente memoria recoge los resultados de varios artículos de nuestra autoría, en los que se tratan distintos aspectos de la materia, como son, las peculiaridades de la convergencia en el caso de raíces múltiples, la posibilidad de aumentar el orden de un método óptimo de orden cuatro a orden ocho, manteniendo la optimalidad en el caso de raíces múltiples, el estudio de la convergencia semilocal en un método de alto orden, así como el comportamiento dinámico de algunos métodos iterativos. / [CA] La resolució d'equacions i sistemes no lineals és un tema de gran interés teoricopràctic, perquè molts models matemàtics de la ciència o de la indústria s'expressen mitjançant sistemes no lineals o equacions diferencials o integrals que, mitjançant tècniques de discretizació, donen lloc a aquests sistemes. Atés que generalment és difícil, si no impossible, resoldre analíticament les equacions no lineals, l'eina més estesa són els mètodes iteratius, que tracten d'obtindre aproximacions cada vegada més precises de les solucions partint de determinades estimacions inicials. Existeix una variada literatura sobre els mètodes iteratius per a resoldre equacions i sistemes, que abasta conceptes com ordre d'aproximació, eficiència, optimalitat, estabilitat, entre altres importants temes. En aquest estudi obtenim nous mètodes iteratius que milloren alguns coneguts en termes d'ordre o eficiència, és a dir que obtenen millors aproximacions amb menor cost computacional. La convergència dels mètodes iteratius sol estudiar-se des del punt de vista local. Això significa que s'obtenen resultats de convergència imposant condicions a l'equació en un entorn de la solució. Òbviament, aquests resultats no són aplicables si no la coneixem. Un altre punt de vista, que abordem en aquest treball, és l'estudi semilocal que, imposant condicions en un entorn de l'estimació inicial, proporciona un entorn d'aquest punt que conté la solució i garanteix la convergència del mètode iteratiu a aquesta. Finalment, des d'un punt de vista global, estudiem el comportament dels mètodes iteratius en funció de l'estimació inicial, mitjançant l'estudi de la dinàmica de les funcions racionals associades a aquests mètodes. La present memòria recull els resultats de diversos articles de la nostra autoria, en els quals es tracten diferents aspectes de la matèria, com són, les peculiaritats de la convergència en el cas d'arrels múltiples, la possibilitat d'augmentar l'ordre d'un mètode òptim d'ordre quatre a ordre huit, mantenint l'optimalitat en el cas d'arrels múltiples, l'estudi de la convergència semilocal en un mètode d'alt ordre, així com el comportament dinàmic d'alguns mètodes iteratius. / [EN] The resolution of nonlinear equations and systems is a subject of great theoretical and practical interest, since many mathematical models in science or industry are expressed through nonlinear systems or differential or integral equations that, by means of discretization techniques, give rise to such systems. Since it is generally difficult, if not impossible, to solve nonlinear equations analytically, the most widely used tool is iterative methods, which try to obtain increasingly precise approximations of the solutions based on certain initial estimates. There is a varied literature on iterative methods for solving equations and systems, which covers concepts of order of approximation, efficiency, optimality, stability, among other important topics. In this study we obtain new iterative methods that improve some known ones in terms of order or efficiency, that is, they obtain better approximations with lower computational cost. The convergence of iterative methods is usually studied locally. This means that convergence results are obtained by imposing conditions on the equation in a neighbourhood of the solution. Obviously, these results are not applicable if we do not know it. Another point of view, which we address in this work, is the semilocal study that, by imposing conditions in a neighbourhood of the initial estimation, provides an environment of this point that contains the solution and guarantees the convergence of the iterative method to it. Finally, from a global point of view, we study the behaviour of iterative methods as a function of the initial estimation, by studying the dynamics of the rational functions associated with these methods. This report collects the results of several articles of our authorship, in which different aspects of the matter are dealt with, such as the peculiarities of convergence in the case of multiple roots, the possibility of increasing the order of an optimal method from order four to order eight, maintaining optimality in the case of multiple roots, the study of semilocal convergence in a high-order method, as well as the dynamic behaviour of some iterative methods. / Cevallos Alarcón, FA. (2023). Métodos iterativos para la resolución de problemas aplicados transformados a sistemas no lineales [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/193495