[ES] Dentro del campo del Análisis Numérico, la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales es uno de los aspectos más relevantes y estudiados. Esto se debe a que gran cantidad de problemas de Matemática Aplicada, como la resolución de ecuaciones diferenciales, ecuaciones en derivadas parciales o ecuaciones integrales entre muchos otros, pueden reducirse a buscar la solución de un sistema no lineal. Generalmente, es muy difícil obtener la solución analítica de este tipo de problemas y, en muchos casos, aunque es posible llegar a encontrar la solución exacta, es muy complicado trabajar con dicha expresión por su complejidad. Además, con el desarrollo de las nuevas tecnologías, se han hecho grandes avances en el uso de herramientas computacionales, por lo que las dimensiones de algunos de los problemas que se plantean en campos como la Economía, la Ingeniería, la Ciencia de datos, etc. han crecido considerablemente, dando lugar a problemas de grandes dimensiones. Por estos motivos, es de gran utilidad y, en muchos casos, resulta necesario resolver estos problemas no lineales de forma aproximada, por supuesto, con técnicas matemáticamente rigurosas dentro del campo del Análisis Numérico. Por las razones expuestas, los métodos iterativos para aproximar la solución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales han constituido a lo largo de los últimos años un importante campo de investigación. La implementación computacional de estos métodos es una importante herramienta dentro de las Ciencias Aplicadas ya que dan solución a problemas que antiguamente eran difíciles de resolver. La investigación que se lleva a cabo en esta Tesis Doctoral se centra en estudiar, diseñar y aplicar métodos iterativos que mejoren en ciertos aspectos a los esquemas clásicos, como por ejemplo: la velocidad de convergencia, la aplicabilidad a problemas no diferenciales, la accesibilidad o la eficiencia. Buena parte del trabajo desarrollado en esta memoria se centra en el estudio de métodos iterativos para problemas multidimensionales, en especial, nos hemos centrado en el estudio de esquemas libres de derivadas. Además, uno de los ejes centrales de la presente Tesis Doctoral se enfoca en el estudio de la convergencia local y semilocal de métodos ya desarrollados en la literatura reciente o de nuevos métodos iterativos diseñados en este mismo trabajo. Este estudio garantiza para los métodos analizados la existencia de solución dado un punto de partida, el dominio de convergencia de las soluciones del problema y la unicidad de éstas bajo ciertas condiciones. Para complementar el estudio de convergencia de los métodos, en algunos capítulos también se realiza un estudio dinámico de los métodos aplicados a ecuaciones no lineales para, posteriormente, extrapolar los resultados al caso multidimensional. Además, como parte de algunos experimentos numéricos, se ha comparado la accesibilidad de distintos métodos numéricos a través de las cuencas de atracción representadas en diferentes planos dinámicos, tanto para el caso unidimensional como el multidimensional. Finalmente, en la mayor parte de los Capítulos de esta tesis se aplican los métodos iterativos estudiados a la resolución de problemas no lineales de Matemática Aplicada. Estos problemas pueden estar preparados para poner a prueba los algoritmos diseñados o ser problemas reales presentes en algunas Ciencias Aplicadas como la Ingeniería, la Física, la Química, etc. Los resultados anteriormente descritos forman parte de la presente Tesis Doctoral para la obtención del título de Doctora en Matemáticas. / [CA] Dins del camp de l'Anàlisi Numèrica, la resolució d'equacions i sistemes d'equacions no lineals és un dels aspectes més rellevants i estudiats. Això és pel fet de que gran quantitat de problemes de Matemàtica Aplicada, com la resolució d'equacions diferencials, equacions en derivades parcials o equacions integrals entre molts altres, poden reduir-se a buscar la solució d'un sistema no lineal. Generalment, és molt difícil obtindre la solució analítica d'estos problemes i, en molts casos, encara que és possible arribar a trobar la solució exacta, és molt complicat treballar amb aquesta expressió per la seua complexitat. A més, amb el desenvolupament de les tecnologies, s'han fet grans avanços en l'ús d'eines computacionals, per la qual cosa les dimensions d'alguns dels problemes que es plantegen en camps com l'Economia, l'Enginyeria, la Ciència de dades, etc. han crescut considerablement, donant lloc a problemes de grans dimensions. Per aquestos motius, és de gran utilitat i, en molts casos, resulta necessari resoldre estos problemes no lineals de manera aproximada, per descomptat, amb tècniques matemàticament riguroses dins del camp de l'Anàlisi Numèrica. Per les raons exposades, els mètodes iteratius per a aproximar la solució d'equacions i sistemes d'equacions no lineals han constituït al llarg dels últims anys un important camp d'investigació. La implementació computacional d'estos mètodes és una eina important dins de les Ciències Aplicades ja que donen solució a problemes que antigament eren difícils de resoldre. La investigació que es porta a terme en esta Tesi Doctoral es centra en estudiar, dissenyar i aplicar mètodes iteratius que milloren en certs aspectes als esquemes clàssics com són: la velocitat de convergència, l'aplicabilitat a problemes no diferencials, l'accessibilitat o l'eficiència. Bona part del treball desenvolupat en esta memòria es centra en l'estudi de mètodes iteratius per a problemes multidimensionals, especialment, ens hem centrar en l'estudi d'esquemes lliures de derivades. A més, part de la present Tesi Doctoral està centrada en l'estudi de la convergència local i semilocal de mètodes ja desenvolupats en la literatura recent o de nous mètodes iteratius dissenyats en aquest mateix text. Este estudi garanteix per als mètodes l'existència de solució donat un punt de partida, el domini de convergència de les solucions del problema i la unicitat d'estes sota unes certes condicions. Per a complementar l'estudi de convergència dels mètodes, en alguns capítols també es realitza un estudi dinàmic dels mètodes aplicats a equacions no lineals per a, posteriorment, extrapolar els resultats al cas multidimensional. A més, com a part d'alguns experiments numèrics, s'ha comparat l'accessibilitat de diferents mètodes numèrics a través de les conques d'atracció representades en diferents plans dinàmics, tant per al cas unidimensional com el multidimensional. Finalment, en la major part dels Capítols d'esta tesi s'apliquen els mètodes iteratius estudiats a la resolució de problemes no lineals de Matemàtica Aplicada. Estos problemes poden estar preparats per a probar la funcionalitat dels algorismes dissenyats o ser problemes reals presents en algunes Ciències Aplicades com l'Enginyeria, la Física, la Química, etc. Els resultats anteriorment descrits formen part de la present Tesi Doctoral per a l'obtenció del títol de Doctora en Matemàtiques. / [EN] Within the field of Numerical Analysis, the resolution of equations and systems of nonlinear equations is one of the most relevant and studied aspects. This is due to the fact that a large number of problems in Applied Mathematics, such as the solution of differential equations, partial differential equations or integral equations among many others, can be reduced to the solution of a non-linear system. Generally, it is very difficult to obtain the analytical solution of this type of problems and, in many cases, although it is possible to find the exact solution, it is very complicated to work with this expression due to its complexity. Moreover, with the development of technologies, great advances have been made in the use of computational tools, so that the dimensions of some of the problems that arise in fields such as Economics, Engineering, Data Science, etc. have grown considerably, giving rise to problems of large dimensions. For these reasons, it is very useful and, in many cases, necessary to solve these non linear problems in an approximate way, of course, with mathematically rigorous techniques within the field of Numerical Analysis. For these reasons, iterative methods for approximating the solution of nonlinear equations and systems of equations have been an important field of research in recent years. The computational implementation of these methods is an important tool in the Applied Sciences as they provide solutions to problems that were difficult to solve in the past. The research carried out in this Doctoral Thesis focuses on the study, design and application of iterative methods that improve certain aspects of classical schemes such as: speed of convergence, applicability to non differential problems, accessibility or efficiency. A large part of the work developed in this thesis focuses on the study of iterative methods for multidimensional problems, in particular, we have specialised on derivative-free schemes. In addition, part of this Doctoral Thesis is centred on the study of the local and semilocal convergence of methods already developed in the recent literature or of new iterative methods designed in this work. This study guarantees the existence of a solution given a starting point, the convergence domain of the solutions of the problem and their uniqueness under certain conditions. To complement the study of the convergence of the methods, in some chapters a dynamical study of the methods applied to nonlinear equations is also carried out in order to extrapolate the results to the multidimensional case. In addition, as part of some numerical experiments, the accessibility of different numerical methods has been compared across the basins of attraction represented in different dynamical planes, both for the unidimensional and the multidimensional case. Finally, in most of the chapters of this thesis, the iterative methods studied are applied to the resolution of non-linear problems in Applied Mathematics. These problems can be prepared to taste the designed algorithms or be real problems present in some Applied Sciences such as Engineering, Physics, Chemistry, etc. The results described above form part of this Doctoral Thesis to obtain the title of Doctor in Mathematics. / García Villalba, E. (2024). Métodos iterativos libres de derivadas para la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/204853

[ES] La resolución de ecuaciones y sistemas no lineales es un tema de gran interés teórico-práctico, pues muchos modelos matemáticos de la ciencia o de la industria se expresan mediante sistemas no lineales o ecuaciones diferenciales o integrales que, mediante técnicas de discretización, dan lugar a dichos sistemas. Dado que generalmente es difícil, si no imposible, resolver analíticamente las ecuaciones no lineales, la herramienta más extendida son los métodos iterativos, que tratan de obtener aproximaciones cada vez más precisas de las soluciones partiendo de determinadas estimaciones iniciales. Existe una variada literatura sobre los métodos iterativos para resolver ecuaciones y sistemas, que abarca conceptos como, eficiencia, optimalidad, estabilidad, entre otros importantes temas. En este estudio obtenemos nuevos métodos iterativos que mejoran algunos conocidos en términos de orden o eficiencia, es decir que obtienen mejores aproximaciones con menor coste computacional. La convergencia de los métodos iterativos suele estudiarse desde el punto de vista local. Esto significa que se obtienen resultados de convergencia imponiendo condiciones a la ecuación en un entorno de la solución. Obviamente, estos resultados no son aplicables si no la conocemos. Otro punto de vista, que abordamos en este trabajo, es el estudio semilocal que, imponiendo condiciones en un entorno de la estimación inicial, proporciona un entorno de dicho punto que contiene la solución y garantiza la convergencia del método iterativo a la misma. Finalmente, desde un punto de vista global, estudiamos el comportamiento de los métodos iterativos en función de la estimación inicial, mediante el estudio de la dinámica de las funciones racionales asociadas a estos métodos. La presente memoria recoge los resultados de varios artículos de nuestra autoría, en los que se tratan distintos aspectos de la materia, como son, las peculiaridades de la convergencia en el caso de raíces múltiples, la posibilidad de aumentar el orden de un método óptimo de orden cuatro a orden ocho, manteniendo la optimalidad en el caso de raíces múltiples, el estudio de la convergencia semilocal en un método de alto orden, así como el comportamiento dinámico de algunos métodos iterativos. / [CA] La resolució d'equacions i sistemes no lineals és un tema de gran interés teoricopràctic, perquè molts models matemàtics de la ciència o de la indústria s'expressen mitjançant sistemes no lineals o equacions diferencials o integrals que, mitjançant tècniques de discretizació, donen lloc a aquests sistemes. Atés que generalment és difícil, si no impossible, resoldre analíticament les equacions no lineals, l'eina més estesa són els mètodes iteratius, que tracten d'obtindre aproximacions cada vegada més precises de les solucions partint de determinades estimacions inicials. Existeix una variada literatura sobre els mètodes iteratius per a resoldre equacions i sistemes, que abasta conceptes com ordre d'aproximació, eficiència, optimalitat, estabilitat, entre altres importants temes. En aquest estudi obtenim nous mètodes iteratius que milloren alguns coneguts en termes d'ordre o eficiència, és a dir que obtenen millors aproximacions amb menor cost computacional. La convergència dels mètodes iteratius sol estudiar-se des del punt de vista local. Això significa que s'obtenen resultats de convergència imposant condicions a l'equació en un entorn de la solució. Òbviament, aquests resultats no són aplicables si no la coneixem. Un altre punt de vista, que abordem en aquest treball, és l'estudi semilocal que, imposant condicions en un entorn de l'estimació inicial, proporciona un entorn d'aquest punt que conté la solució i garanteix la convergència del mètode iteratiu a aquesta. Finalment, des d'un punt de vista global, estudiem el comportament dels mètodes iteratius en funció de l'estimació inicial, mitjançant l'estudi de la dinàmica de les funcions racionals associades a aquests mètodes. La present memòria recull els resultats de diversos articles de la nostra autoria, en els quals es tracten diferents aspectes de la matèria, com són, les peculiaritats de la convergència en el cas d'arrels múltiples, la possibilitat d'augmentar l'ordre d'un mètode òptim d'ordre quatre a ordre huit, mantenint l'optimalitat en el cas d'arrels múltiples, l'estudi de la convergència semilocal en un mètode d'alt ordre, així com el comportament dinàmic d'alguns mètodes iteratius. / [EN] The resolution of nonlinear equations and systems is a subject of great theoretical and practical interest, since many mathematical models in science or industry are expressed through nonlinear systems or differential or integral equations that, by means of discretization techniques, give rise to such systems. Since it is generally difficult, if not impossible, to solve nonlinear equations analytically, the most widely used tool is iterative methods, which try to obtain increasingly precise approximations of the solutions based on certain initial estimates. There is a varied literature on iterative methods for solving equations and systems, which covers concepts of order of approximation, efficiency, optimality, stability, among other important topics. In this study we obtain new iterative methods that improve some known ones in terms of order or efficiency, that is, they obtain better approximations with lower computational cost. The convergence of iterative methods is usually studied locally. This means that convergence results are obtained by imposing conditions on the equation in a neighbourhood of the solution. Obviously, these results are not applicable if we do not know it. Another point of view, which we address in this work, is the semilocal study that, by imposing conditions in a neighbourhood of the initial estimation, provides an environment of this point that contains the solution and guarantees the convergence of the iterative method to it. Finally, from a global point of view, we study the behaviour of iterative methods as a function of the initial estimation, by studying the dynamics of the rational functions associated with these methods. This report collects the results of several articles of our authorship, in which different aspects of the matter are dealt with, such as the peculiarities of convergence in the case of multiple roots, the possibility of increasing the order of an optimal method from order four to order eight, maintaining optimality in the case of multiple roots, the study of semilocal convergence in a high-order method, as well as the dynamic behaviour of some iterative methods. / Cevallos Alarcón, FA. (2023). Métodos iterativos para la resolución de problemas aplicados transformados a sistemas no lineales [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/193495