Tese de mestrado. Engenharia Mecânica. Faculdade de Engenharia. Universidade do Porto. 1998

Investigamos a existência e detectamos soluções periódicas do tipo ciclo limite em sistemas determinísticos não lineares de equações diferenciais ordinárias autônomas tais como as que se originam em modelos de populações interagentes. Após descrever alguns modelos populacionais básicos para uma única espécie bem como para duas populações interagentes (presa e predador), introduzimos o modelo de Hastings-Powell (H-P) que descreve o comportamento dinâmico de uma cadeia alimentar de três espécies, onde a presa é logística, enquanto o predador e o superpredador têm uma resposta funcional do tipo Holling. Posto que uma condição necessária para a existência de um ciclo limite é a instabilidade de um estado estacionário, desenvolvemos a análise da estabilidade linear dos estados de equilíbrio dos sistemas com os quais trabalhamos. Assim, após calcular os estados estacionários, obtemos a linearização de cada sistema em torno de tais pontos no espaço de fase. Também obtemos o comportamento dinâmico global do modelo de H-P através de integração numérica e podemos observar não somente a existência de ciclos limite mas também comportamento caótico, para valores adequados do parâmetro de controle. Antes de aplicarmos os teoremas de Poincaré-Bendixson e de Hopf, que tratam de condições para a existência de soluções periódicas, apresentamos uma breve discussão a respeito de bifurcações, incluindo algumas ilustrações práticas. Finalmente, também incluímos uma aproximação, recentemente desenvolvida por Muratori e Rinaldi, desenvolvida através de perturbação singular, para analisar possíveis conseqüências de interações entre as componentes dos sistemas dinâmicos que envolvem tempos de respostas muito distintos; embora particular, este caso é freqüentemente observado para cadeias alimentares, onde os tempos de resposta dos níveis tróficos aumentam no sentido da base para o topo. Além disso, estes autores mostram como detectar a estrutura dos transientes e a natureza do atrator, em particular, um ciclo limite de baixa freqüência globalmente estável com uma repentina inserção de oscilações de alta freqüência, muito similar ao que encontramos no modelo de H-P. / We investigate the existence and the detection of limit cycle periodic solutions for nonlinear deterministic systems of autonomous ordinary differential equations such as those arising in interacting population models. After describing some basic population models for a single species and for two interacting populations (prey and predador), we introduce the Hastings-Powell (H-P) model describing dynamical behavior for a three-species food chain, where prey is logistic, while predador and superpredador have a Holling type functional response. Since a necessary condition for the existence of a limit cycle is the instability of a steady state by growing osciUations, we develop the linear stability analysis for each equilibrium state of the systerns we are concemed with. So, after calculating the steady states, we obtain the linearization of the system about such phase space points. We also obtain the global dynamic behavior of the H-P model by numerical integration and we can observe not only limit cycles but also chaotic behavior, for suitable values of the control parameter. A brief discussion about bifurcation, including some practical illustrations, is presented before applying Poincaré-Bendixson and Hopf's theorems, which deal with conditions for the existence o f periodic solutions. Finally, we also include an approach, recently developed by Muratori and Rinaldi, performed through singular perturbation, to analyse possible consequences of interactions between components of dynamical systems which involve highly diversified time responses; although particular, this case is very frequently observed for food chains, where time responses of the trophic leveis increase from bottom to top. Moreover, these authors show how to detect the structure of the transients and the nature of the attractor, in particular, a globally stable low-frequency limit cycle with a burst of high-frequency oscillations, very similar to those we can find from H-P model.

Investigamos a existência e detectamos soluções periódicas do tipo ciclo limite em sistemas determinísticos não lineares de equações diferenciais ordinárias autônomas tais como as que se originam em modelos de populações interagentes. Após descrever alguns modelos populacionais básicos para uma única espécie bem como para duas populações interagentes (presa e predador), introduzimos o modelo de Hastings-Powell (H-P) que descreve o comportamento dinâmico de uma cadeia alimentar de três espécies, onde a presa é logística, enquanto o predador e o superpredador têm uma resposta funcional do tipo Holling. Posto que uma condição necessária para a existência de um ciclo limite é a instabilidade de um estado estacionário, desenvolvemos a análise da estabilidade linear dos estados de equilíbrio dos sistemas com os quais trabalhamos. Assim, após calcular os estados estacionários, obtemos a linearização de cada sistema em torno de tais pontos no espaço de fase. Também obtemos o comportamento dinâmico global do modelo de H-P através de integração numérica e podemos observar não somente a existência de ciclos limite mas também comportamento caótico, para valores adequados do parâmetro de controle. Antes de aplicarmos os teoremas de Poincaré-Bendixson e de Hopf, que tratam de condições para a existência de soluções periódicas, apresentamos uma breve discussão a respeito de bifurcações, incluindo algumas ilustrações práticas. Finalmente, também incluímos uma aproximação, recentemente desenvolvida por Muratori e Rinaldi, desenvolvida através de perturbação singular, para analisar possíveis conseqüências de interações entre as componentes dos sistemas dinâmicos que envolvem tempos de respostas muito distintos; embora particular, este caso é freqüentemente observado para cadeias alimentares, onde os tempos de resposta dos níveis tróficos aumentam no sentido da base para o topo. Além disso, estes autores mostram como detectar a estrutura dos transientes e a natureza do atrator, em particular, um ciclo limite de baixa freqüência globalmente estável com uma repentina inserção de oscilações de alta freqüência, muito similar ao que encontramos no modelo de H-P. / We investigate the existence and the detection of limit cycle periodic solutions for nonlinear deterministic systems of autonomous ordinary differential equations such as those arising in interacting population models. After describing some basic population models for a single species and for two interacting populations (prey and predador), we introduce the Hastings-Powell (H-P) model describing dynamical behavior for a three-species food chain, where prey is logistic, while predador and superpredador have a Holling type functional response. Since a necessary condition for the existence of a limit cycle is the instability of a steady state by growing osciUations, we develop the linear stability analysis for each equilibrium state of the systerns we are concemed with. So, after calculating the steady states, we obtain the linearization of the system about such phase space points. We also obtain the global dynamic behavior of the H-P model by numerical integration and we can observe not only limit cycles but also chaotic behavior, for suitable values of the control parameter. A brief discussion about bifurcation, including some practical illustrations, is presented before applying Poincaré-Bendixson and Hopf's theorems, which deal with conditions for the existence o f periodic solutions. Finally, we also include an approach, recently developed by Muratori and Rinaldi, performed through singular perturbation, to analyse possible consequences of interactions between components of dynamical systems which involve highly diversified time responses; although particular, this case is very frequently observed for food chains, where time responses of the trophic leveis increase from bottom to top. Moreover, these authors show how to detect the structure of the transients and the nature of the attractor, in particular, a globally stable low-frequency limit cycle with a burst of high-frequency oscillations, very similar to those we can find from H-P model.

Investigamos a existência e detectamos soluções periódicas do tipo ciclo limite em sistemas determinísticos não lineares de equações diferenciais ordinárias autônomas tais como as que se originam em modelos de populações interagentes. Após descrever alguns modelos populacionais básicos para uma única espécie bem como para duas populações interagentes (presa e predador), introduzimos o modelo de Hastings-Powell (H-P) que descreve o comportamento dinâmico de uma cadeia alimentar de três espécies, onde a presa é logística, enquanto o predador e o superpredador têm uma resposta funcional do tipo Holling. Posto que uma condição necessária para a existência de um ciclo limite é a instabilidade de um estado estacionário, desenvolvemos a análise da estabilidade linear dos estados de equilíbrio dos sistemas com os quais trabalhamos. Assim, após calcular os estados estacionários, obtemos a linearização de cada sistema em torno de tais pontos no espaço de fase. Também obtemos o comportamento dinâmico global do modelo de H-P através de integração numérica e podemos observar não somente a existência de ciclos limite mas também comportamento caótico, para valores adequados do parâmetro de controle. Antes de aplicarmos os teoremas de Poincaré-Bendixson e de Hopf, que tratam de condições para a existência de soluções periódicas, apresentamos uma breve discussão a respeito de bifurcações, incluindo algumas ilustrações práticas. Finalmente, também incluímos uma aproximação, recentemente desenvolvida por Muratori e Rinaldi, desenvolvida através de perturbação singular, para analisar possíveis conseqüências de interações entre as componentes dos sistemas dinâmicos que envolvem tempos de respostas muito distintos; embora particular, este caso é freqüentemente observado para cadeias alimentares, onde os tempos de resposta dos níveis tróficos aumentam no sentido da base para o topo. Além disso, estes autores mostram como detectar a estrutura dos transientes e a natureza do atrator, em particular, um ciclo limite de baixa freqüência globalmente estável com uma repentina inserção de oscilações de alta freqüência, muito similar ao que encontramos no modelo de H-P. / We investigate the existence and the detection of limit cycle periodic solutions for nonlinear deterministic systems of autonomous ordinary differential equations such as those arising in interacting population models. After describing some basic population models for a single species and for two interacting populations (prey and predador), we introduce the Hastings-Powell (H-P) model describing dynamical behavior for a three-species food chain, where prey is logistic, while predador and superpredador have a Holling type functional response. Since a necessary condition for the existence of a limit cycle is the instability of a steady state by growing osciUations, we develop the linear stability analysis for each equilibrium state of the systerns we are concemed with. So, after calculating the steady states, we obtain the linearization of the system about such phase space points. We also obtain the global dynamic behavior of the H-P model by numerical integration and we can observe not only limit cycles but also chaotic behavior, for suitable values of the control parameter. A brief discussion about bifurcation, including some practical illustrations, is presented before applying Poincaré-Bendixson and Hopf's theorems, which deal with conditions for the existence o f periodic solutions. Finally, we also include an approach, recently developed by Muratori and Rinaldi, performed through singular perturbation, to analyse possible consequences of interactions between components of dynamical systems which involve highly diversified time responses; although particular, this case is very frequently observed for food chains, where time responses of the trophic leveis increase from bottom to top. Moreover, these authors show how to detect the structure of the transients and the nature of the attractor, in particular, a globally stable low-frequency limit cycle with a burst of high-frequency oscillations, very similar to those we can find from H-P model.

Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-07-30T13:44:39Z No. of bitstreams: 1 RAFAEL BEZERRA CORREIA LIMA - DISSERTAÇÃO PPGEE 2012..pdf: 4664268 bytes, checksum: f5a0acf8cf73f941fd6fc59ff1dcfbb2 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-07-30T13:44:39Z (GMT). No. of bitstreams: 1 RAFAEL BEZERRA CORREIA LIMA - DISSERTAÇÃO PPGEE 2012..pdf: 4664268 bytes, checksum: f5a0acf8cf73f941fd6fc59ff1dcfbb2 (MD5) Previous issue date: 2012-08-10 / É proposta nessa dissertação a utilização de conceitos de subespaços na identificação de modelos multivariáveis de ordem reduzida com atrasos. A metodologia desenvolvida se baseia na estimativa da resposta ao degrau do sistema a partir de projeções dos seus sinais de entradas e saídas. O problema é dividido em duas etapas, primeiramente a estimação de modelos em malha aberta seguido do estudo de sistemas em malha fechada. Finalmente os conceitos estudados são postos em prática através de simulações numéricas e experimentações práticas em plantas reais. / It is proposed in this dissertation the use of concepts of subspaces in the identification of multivariable models of reduced order with time delays. The developed methodology is based on the estimation of the step response of the system from projections of its input signals and outputs. The problem is divided into two stages, first: estimating models in open loop, then followed by the study of closed loop systems. Finally, the concepts studied are implemented through numerical simulations and practical experiments in real plants.