La recherche que nous avons menée s'inscrit dans les projets de l'équipe de recherche Maths à Modeler. En particulier dans celui portant sur les situations de recherche pour la classe (SiRC). Cette recherche est centrée sur l'étude du rôle, pour l'apprentissage des savoir-faire fondamentaux, de l'activité mathématique, des jeux combinatoires et plus particulièrement des jeux de type Nim. Nous mettons sous l'expression « savoir-faire fondamentaux » les savoirs, méthodes et techniques qui sont à la base de toute activité mathématique : l'expérimentation, l'étude de cas particuliers, l'énoncé et l'étude de conjectures, la construction d'exemples et contre-exemples, la modélisation, l'élaboration et l'écriture de preuves, la définition d'objets, etc. (Grenier et Payan, 2002). Le sujet est la construction, l'expérimentation et l'analyse de SiRC basées sur des jeux combinatoires de type Nim pour des élèves, afin de leur faire construire et développer les savoir- faire indispensables à la mise en œuvre d'une « démarche mathématique ». Notre problématique porte donc sur l'identification des savoirs notionnels et des savoir-faire fondamentaux de l'activité mathématique qui sont mis en œuvre dans les jeux combinatoires de type Nim et la détermination des conditions et contraintes épistémologiques et didactiques favorisant l'apprentissage en classe de ces savoirs. Pour mener à bien notre étude, nous nous sommes appuyés d'une part sur certains éléments de la théorie des situations didactiques de Brousseau (Brousseau, 2004) et de la théorie des champs conceptuels de Vergnaud (Vergnaud, 1994) et, d'autre part, sur le modèle SiRC, contribuant à préciser ce modèle. Nous nous sommes servis de l'étude épistémologique et didactique des jeux de type Nim, pour mener les analyses mathématique et didactique de deux SiRC : la première, nommée « jeu d'Euclide géométrique », situation de jeu de type Nim, construite spécifiquement pour cette recherche, basée sur un jeu d'Euclide classique. La seconde, nommée le « jeu du chocolat », situation expérimentée régulièrement dans l'équipe Maths à Modeler, mais dont l'étude didactique n'avait pas vraiment été faite. Les analyses et expérimentations que nous avons menées montrent que les situations basées sur des jeux de type Nim, peuvent induire une activité mathématique qui va au-delà du développement et de la pratique de techniques mathématiques : Elles peuvent ouvrir l'accès à des savoir-faire plus généraux propres de l'activité mathématique. / This research is included in the project of the research group "Maths à modeler". In particular, in the part that corresponds to the study of "situations de recherche pour la classe" (SiRC). This research is focused in the study of the role played by the mathematical activity, the combinatorial games and particularly the games of Nim-type in learning the fundamental know-hows. We put under the term "fundamental know-hows" all the knowledge, methods and techniques found in all mathematical activity: experimenting, studying particular cases, conjecturing, building examples and counter-examples, modeling, proving, defining, etc. (Grenier et Payan, 2002). The main aim of this research is the construction, the experimentation and the analysis of SiRC based on combinatorial games of Nim-type for students designed to make them build and develop the know-hows required for the implementation of a "mathematical process". Our main problem is then identifying the fundamental and notional know-hows of the mathematical activity that are used in combinatorial games of Nim-type and establishing the epistemological and didactical conditions and constrains that favor the learning of these know-hows in the classroom. To achieve our aim, our research is supported, on one hand, by some aspects of the theory of didactical situation by Brousseau (Brousseau, 2004) and the theory of conceptual fields by Vergnaud (Vergnaud, 1994) and, on the other hand, by the SiRC model, where we also contribute to precise it. We based our research in the epistemological and didactical study of Nim-type games to conduct mathematical and didactical analysis of two SiRC: the first one, called "the geometrical Euclid game", is a situation of Nim-type created specifically for this research and based on the classical Euclid game. The second one, called "the chocolate game", is a situation frequently experimented by the research group math à modeler whose didactical analysis had not been done yet. The analysis and experimentations we have conducted show that the situations based on Nim-type games can lead to a mathematical activity that goes beyond developing and practicing mathematical techniques. They can open access to more general know-hows specific to the mathematical activity.

La raison initiale du sujet de cette thèse est l'introduction, pour la première fois en France, d'éléments de théorie des graphes dans un curriculum de l'enseignement secondaire, à savoir celui de la spécialité mathématiques de la Terminale économique et sociale (ES) en 2002.<br />Après une brève étude historique de la genèse – relativement récente – du graphe en tant que concept mathématique et de la signification épistémologique de cette genèse, nous analysons les choix faits pour la transposition de ce concept, en particulier les énoncés proposés aux élèves, qui montrent le décalage entre les intentions affichées et la réalité. Cette partie du programme de terminale ES se particularise par sa mise en œuvre « axée sur le seule résolution de problèmes ».<br />Or, nous montrons que les manuels scolaires sont dans ce chapitre composés d'exercices et non de problèmes. L'enseignement de théorie des graphes, s'il se limite à la résolution, locale, de ces exercices ou de « casse-tête » mathématiques, ne permet pas aux élèves de comprendre les concepts mathématiques sous-jacents ni surtout d'accéder au sens du raisonnement mathématique (en particulier autour de la modélisation et de la preuve) et à la richesse de la démarche scientifique, ce qu'aurait dû permettre ce domaine facilement abordable des mathématiques.<br />Une étude théorique et expérimentale du problème de « parcours eulériens dans les graphes » a ensuite été menée, du primaire au supérieur, sous des formes différentes (situations-recherche en classe avec ou sans support matériel, étude de documents). Des éléments didactiques ont aussi été tirés de deux stages de formation d'enseignants en théorie des graphes pour la Terminale ES.<br />Ces différentes études nous ont conduit à proposer un nouvel ensemble organisé de problèmes à destination des enseignants de Terminale ES, accompagnés de leur résolution et d'analyses didactiques qui attestent que des mathématiques plus consistantes peuvent être abordées et construites sur ce thème.