Many technologically important problems are coupled in nature. For example, blood flow in deformable arteries, flow past (flexible) tall buildings, coupled deformation-diffusion, degradation, etc. It is, in general, not possible to solve these problems analytically, and one needs to resort to numerical solutions. An important ingredient of a numerical framework for solving these problems is the coupling algorithm, which couples individual solvers of the subsystems that form the coupled system, to obtain the coupled response. A popular coupling algorithm widely employed in numerical simulations of such coupled problems is the conventional staggered scheme (CSS). However, there is no systematic study on the stability characteristics of the CSS. The stability of coupling algorithms is of utmost importance, and assessment of the stability on real problems is not feasible given the computational costs involved. The main aim of this thesis, is to address this issue - assess the accuracy and stability characteristics of CSS using various canonical problems. In this thesis we show that the stability of CSS depends on the relative sizes of the domain, disparity in material properties, and the time step.

This thesis focuses on the formulation and numerical implementation of a fully coupled continuum model for deformation-diffusion in linearized elastic solids. The mathematical model takes into account the affect of the deformation on the diffusion process, and the effect of the transport of an inert chemical species on the deformation of the solid. A robust computational framework is presented for solving the proposed mathematical model, which consists of coupled non-linear partial differential equations. It should be noted that many popular numerical formulations may produce unphysical negative values for the concentration, particularly, when the diffusion process is anisotropic. The violation of the non-negative constraint by these numerical formulations is not mere numerical noise. In the proposed computational framework we employ a novel numerical formulation that will ensure that the concentration of the diffusant be always non-negative, which is one of the main contributions of this thesis. Representative numerical examples are presented to show the robustness, convergence, and performance of the proposed computational framework. Another contribution is to systematically study the affect of transport of the diffusant on the deformation of the solid and vice-versa, and their implication in modeling degradation/healing of materials. It is shown that the coupled response is both qualitatively and quantitatively different from the uncoupled response.

Le travail engagé dans cette thèse porte sur l'étude numérique des Interactions Fluide-structure en hydrodynamique. Dans une première partie, une analyse détaillée des méthodes de couplage (schémas décalés) a été effectuée sur un cas académique. Il s'agit de la résolution de l'équation non-linéaire de Burgers dans un domaine mobile, dont I'interface mobile est représentée par un système de type masse ressort. Selon la discrétisation en temps et la linéarisation du problème couplé, on distingue quatre schémas de couplages différents : explicite, semi-implicite, implicite-externe et implicite-interne. Une étude comparative des performances en vitesse de convergence et en temps de calcul de ces schémas a été effectuée. Les performances varient suivant le schéma de couplage utilisé. Le schéma explicite permet un calcul rapide en comparaison des autres schémas. En revanche il n'assure pas la conservation de l'énergie mécanique à I'interface fluide-structure. D'où le problème de stabilité du schéma numérique. Ce problème ne se pose pas pour les algorithmes de couplage implicites, car dans ce cas la conservation de l'énergie à I'interface est assurée. Il s'agit en effet d'une condition de convergence du schéma implicite. Ce schéma requière plus de temps de calcul, mais il est nécessaire pour avoir plus de précision dans les résultats. Par ailleurs, I'analyse des déplacements de I'interface fluide-structure montre que l'écart entre la position de I'interface comme étant le bord mobile du fluide et la position de la structure, dépend principalement du schéma d'actualisation du maillage choisi.Dans une deuxième partie une extension de l'étude des algorithmes de couplage à un problème plus concret d'IFS est effectuée. Un hydrofoil en pilonnement et tangage est ainsi étudié. L'équation de la dynamique de I'hydrofoil est écrite en considérant un centre de rotation situé à une distance non nulle du centre de gravité.Ce qui rend l'équation non-linéaire et introduit un couplage des deux modes pilonnement et tangage) ainsi qu'un amortissement du tangage. La dynamique de I'hydrofoil est étudiée pour différentes configurations : en mouvement libre ou forcé, dans un fluide au repos ou en écoulement. On observe que le mouvement de I'hydrofoil est pseudo périodique amorti. L'évolution des charges hydrodynamiques suit également cette tendance et tend vers un point d'équilibre. L'étude vibratoire montre bien une modification des fréquences propres du système, qui varient suivant que le fluide est au repos ou en écoulement. Le problème est également couplé à l'équation de la position du centre de pression, qui dépend de la position de I'hydrofoil et de l'écoulement. Celle-ci présente une singularité lorsque la portance et la traînée s'annulent simultanément.Enfin Les équations prenant en compte la présence d'un fluide non-homogène à I'interface fluide-structure, du type des écoulements cavitants par poche stationnaire ou auto-oscillante, ont été développés. La méthode consiste à séparer les variables du fluide en écoulement autour d'un hydrofoil immobile d'une part et celles de l'écoulement généré par la vibration de I'hydrofoil d'autre part. Il en résulte un opérateur de masse ajoutée non symétrique en milieu non homogène et un opérateur d'amortissement ajouté dû au taux de variations de masse volumique à l’interface dans le cas auto-oscillant. L'ensemble se traduit par une modulation au cours du temps des fréquences propres et des amplitudes du système. / A numerical study of Fluid Structure Interaction (FSI) in hydrodynamic case is adressed in this thesis. Thirstly, the analysis of coupling methods (staggered schemes) was established to an academic case. It corresponds to the resolution of non linear Burgers equation in a moving domain where the moving interface is assimilated to a mass spring system. According to the time discretisation and linearization of the coupled problem, four coupling scheme can be defined : explicit, semi-implicit, implicit-outer and implicit-inner. A comparative performance study in convergence and computing time were performed. The performance depends on the coupling scheme used. The explicit scheme requires less time compared to the others schemes. However it does not allow the mechanical energy conservation at the interface, inducing the stability issue of the numerical scheme. This instabilities does not arise for the implicit coupling algorithms because the energy conservation at the interface is fulfilled. lndeed, a convergence condition is added for implicit schemes. Even though these schemes require more computing time, they are necessary to get better precision. Inter alia, the fluid-structure interface analysis shows that the gap between the interface taken as the moving boundary and the structure position mostly depends on the actualization scheme of the chosen mesh.In the second part, the coupling algorithm study is extended to physical problem of FSI. A hydrofoil in heave and pitch immersed in a fluid flow is then studied. The equation of hydrofoil movement takes account the distance between the rotation center and the center of gravity. This causes the equation to be nonlinear and introduces a coupling of the two movements (heave and pitch) and a damping of the heave movement. The hydrofoil dynamic is studied for different configurations : forced movements or not, immersed in a fluid at rest or a flowing one. It shows that the hydrofoil movement is pseudo-periodic followed by a damping movement. The hydrodynamic forces tend to follow the same evolution and converge to an equilibrium point. The vibration study clearly shows a frequency modification of the system that depends on the fluid flow (at rest or with an inflow). The problem is also coupled to center of pressure position's equation which depends on the hydrofoil position and the fluid flow. The trend of the position presents a singularity when the lift and drag coefficients vanishes at the same time.Last part, the equation that take into account the inhomogeneous characteristic of the fluid at the fluid-structure interface as well as sheet cavitation in steady or unsteady case, was developed. The method allows the separation of the fluid variables when flowing around the fixed hydrofoil on one hand and the flow generated by the hydrofoil vibration one the other. This introduces an asymmetric added mass operator and an added damping operation due to the variation of the density of the fluid at the interface in unsteady case.The whole system results in a natural frequencies and amplitudes modulation over time.