La statistique des valeurs extrêmes est une question majeure dans divers contextes scientifiques. Cependant, bien que la description de la statistique d'un extremum global soit certainement une caractéristique importante, celle-ci ne se concentre que sur une seule variable parmi un grand nombre de variables aléatoires. Une question naturelle qui se pose alors est la suivante: ces valeurs extrêmes sont-elles isolées, loin des autres variables ou bien au contraire existe-t-il un grand nombre d'autres variables proches de ces valeurs extrêmes ? Ces questions ont suscité l'étude de la densité d'état de ces événements quasi-extrêmes. Il existe pour cette quantité peu de résultats pour des variables fortement corrélées, qui est pourtant le cas rencontré dans de nombreux modèles fondamentaux. Deux pistes de modèles physiques de variables fortement corrélées pouvant être étudiés analytiquement se démarquent alors: les positions d’une marche aléatoire et les valeurs propres de matrice aléatoire. Cette thèse est ainsi consacrée à l’étude de statistique d’extrêmes pour ces deux modèles de variables fortement corrélées. Dans une première partie, j’étudie le cas où la collection de variables aléatoires est la position au cours du temps d’un mouvement brownien, qui peut être contraint à être périodique, positif... Ce mouvement brownien est vu comme la limite d’un marcheur aléatoire classique après un grand nombre de pas. Il est alors possible d’interprèter ce problème comme celui d’une particule quantique dans un potentiel ce qui permet d’utiliser des méthodes puissantes issues de la mécanique quantique comme l’utilisation de propagateurs et de l’intégrale de chemin. Ces outils permettent de calculer la densité moyenne à partir du maximum pour les différents mouvements browniens contraints et même la distribution complète de cette quantité pour certains cas. Il est également possible de généraliser cette démarche à l’étude de plusieurs marches aléatoires indépendantes ou avec interaction. Cette démarche permet également d’effectuer une étude temporelle, ainsi que de généraliser à l’étude d’autres fonctionnelle du maximum. Dans la seconde partie, j’étudie le cas où la collection de variables aléatoires est composée des valeurs propres d’une matrice aléatoire. Ce travail se concentre sur l’études des matrices des ensembles gaussiens (GOE, GUE et GSE) ainsi qu’à l’étude des matrices de Wishart. L’étude du voisinage de la valeur propre maximale pour ces deux modèles est faite en utilisant une méthode fondée sur les propriétés des polynômes orthogonaux. Dans le cas des matrices gaussiennes unitaires GUE, j’ai obtenu une formule analytique pour la distribution à partir du maximum ainsi qu’une nouvelle expression de la statistique du gap entre les deux plus grandes valeurs propres en termes d’une fonction transcendante de Painlevé. Ces résultats, et plus particulièrement leurs généralisations aux cas GOE, sont alors appliqués à un modèle de verre de spin sphérique en champs moyen. Dans le cas des matrices de Wishart, l’analyse des polynômes orthogonaux dans le régime de double échelle m’a permis de retrouver les différentes statistiques de la valeur propre minimale et également de prouver une conjecture sur la première correction de taille finie pour des grandes matrices de la distribution de la valeur propre minimale dans la limite dite de «hard edge». / Extreme value statistics plays a keyrole in various scientific contexts. Although the description of the statistics of a global extremum is certainly an important feature, it focuses on the fluctuations of a single variable among many others. A natural question that arises is then the following: is this extreme value lonely at the top or, on the contrary, are there many other variables close to it ? A natural and useful quantity to characterize the crowding is the density of states near extremes. For this quantity, there exist very few exact results for strongly correlated variables, which is however the case encountered in many situations. Two physical models of strongly correlated variables have attracted much attention because they can be studied analytically : the positions of a random walker and the eigenvalues of a random matrix. This thesis is devoted to the study of the statistics near the maximum of these two ensembles of strongly correlated variables. In the first part, I study the case where the collection of random variables is the position of a Brownian motion, which may be constrained to be periodic or positive. This Brownian motion is seen as the limit of a classical random walker after a large number of steps. It is then possible to interpret this problem as a quantum particle in a potential which allows us to use powerful methods from quantum mechanics as propagators and path integral. These tools are used to calculate the average density from the maximum for different constrained Brownian motions and the complete distribution of this observable in certain cases. It is also possible to generalize this approach to the study of several random walks, independent or with interaction, as well as to the study of other functional of the maximum. In the second part, I study the case of the eigenvalues of random matrices, belonging to both Gaussian and Wishart ensembles. The study near the maximal eigenvalues for both models is performed using a method based on semi-classical orthogonal polynomials. In the case of Gaussian unitary matrices, I have obtained an analytical formula for the density near the maximum as well as a new expression for the distribution of the gap between the two largest eigenvalues. These results, and in particular their generalizations to different Gaussian ensembles, are then applied to the relaxational dynamics of a mean-field spin glass model. Finally, for the case of Wishart matrices I proposed a new derivation of the distribution of the smallest eigenvalue using orthogonal polynomials. In addition, I proved a conjecture on the first finite size correction of this distribution in the «hard edge» limit.

Cette thèse présente des résultats nouveaux dans deux sujets de la physique statistique du désordre: les modèles aux energies aléatoires logarithmiquement corrélées (logREMs), et la transition de localisation dans les matrices aléatoires à longues portées.Dans la première partie consacrée aux logREMs, nous montrons comment décrire leurs points communs et les données spécifiques aux modèles particuliers. Ensuite nous appliquons la méthode de la brisure de symétrie des répliques pour les étudier en general, et en déduirons la transition vitreuse et le processus des minima, en termes de processus de Poisson décorés. Nous présentons également une série d'application des polynômes de Jack à la prédiction exactes des observables dans le modèle circulaire et ses variants. Finalement, nous décrivons les progrès récents sur la connexion exacte entre les logREMs et la théorie conforme de Liouville.La seconde partie a pour but d'introduire une nouvelle classe de matrices aléatoires à bandes, dite la classe des distributions larges; elle ressemble essentiellement aux matrices creuses. Nous étudions d'abord un modèle particulier de la classe, les matrices aléatoires Bêta, qui sont inspirées par une correspondence exacte à un modèle statistique récemment étudié, celui de la dynamique épidémique. A l'aide des arguments analytiques appuyés sur la correspondence et des simulations numériques, nous montrons l'existence des transitions de localisation avec des valeurs propres critiques dans le régime des paramètres dit d'exponentielle étirée. Ensuite, en utilisant une approche de renormalisation et de diagonalisation par blocs, nous soutenons que les transitions de localisation sont en général présentes dans la class des distributions larges. / This thesis presents original results in two domains of disordered statistical physics: logarithmic correlated Random Energy Models (logREMs), and localization transition in long-range random matrices.In the first part devoted to logREMs, we show how to characterise their common properties and model--specific data. Then we develop their replica symmetry breaking treatment, which leads to the freezing scenario of their free energy distribution and the general description of their minima process, in terms of decorated Poisson point process. We also report a series of new applications of the Jack polynomials in the exact predictions of some observables in the circular model and its variants. Finally, we present the recent progress on the exact connection between logREMs and the Liouville conformal field theory.The goal of the second part is to introduce and study a new class of banded random matrices, the broadly distributed class, which is characterid an effective sparseness. We will first study a specific model of the class, the Beta Banded random matrices, inspired by an exact mapping to a recently studied statistical model of long--range first--passage percolation/epidemics dynamics. Using analytical arguments based on the mapping and numerics, we show the existence of localisation transitions with mobility edges in the ``stretch--exponential'' parameter--regime of the statistical models. Then, using a block--diagonalization renormalization approach, we argue that such localization transitions occur generically in the broadly distributed class.