Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η ανάλυση προβλημάτων συνοριακών τιμών. Αρχικά αναφέρονται στοιχεία γραμμικής ανάλυσης και συγκεκριμένα εισάγεται η έννοια ενός τελεστή και τα είδη τελεστών που υπάρχουν, καθώς και η σημασία τους στη Φυσική. Επίσης, δίνεται ο ορισμός της διαφορικής εξίσωσης (Σ.Δ.Ε), ο ορισμός ενός προβλήματος αρχικών τιμών και ο ορισμός ενός προβλήματος συνοριακών τιμών. Έπειτα, αναλύεται η θεωρία Sturm-Liouville και περιγράφονται παραδείγματα συνοριακών τιμών τα οποία επιλύονται με αυτή. Ακόμη, μελετώνται οι συναρτήσεις Green και δίνονται παραδείγματα εφαρμογών τους. Στη συνέχεια εξάγεται η κυματική εξίσωση με τη βοήθεια του μοντέλου της ταλαντούμενης χορδής και επιλύεται με τη μέθοδο του χωρισμού των μεταβλητών για διάφορους τύπους αρχικών και συνοριακών τιμών. Κατόπιν, περιγράφονται μέθοδοι για την επίλυση προβλημάτων συνοριακών τιμών που συνδέονται με την εξίσωση της θερμότητας και μετά αναφέρονται εφαρμογές που προκύπτουν από την επίλυση προβλημάτων διάδοσης θερμότητας. Τέλος αναφέρεται η θεωρία Fredholm και η έννοια της κατανομής και δίνονται παραδείγματα λύσεων των διαφορικών εξισώσεων με την έννοια των κατανομών. Η θεωρία Fredholm είναι ιδιαίτερα σημαντική σε προβλήματα διαφορικών εξισώσεων που είναι μη ομογενή. / In the present project, the initial boundary value problems are analyzed. Firstly, elements of linear analysis are introduced. Particularly the concept of an operator and its types are introduced as well as the importance in the physics sector. Also, the definition of a differential equation and the initial boundary value problems are presented. Additionally, the theory of Sturm-Liouville and its example are described. Moreover, Green function and their applications are introduced. Furthermore, the wave equation was elicited with the basis of vibrating spring model and solved with the method of separating variables. Also with this method and by using Fourier series the heat equation was solved. Finally the theory of Fredholm and the concept of distribution are described. The theory of Fredholm is important in problems of not homogeneous differential equation problems.

In this paper we investigate (d + 1)-point D-optimal designs for d-th degree polynomial regression with weight function w(x) > 0 on the interval [a, b]. Suppose that w'(x)/w(x) is a rational function and the information of whether the optimal support contains the boundary points a and b is available. Then the problem of constructing (d + 1)-point D-optimal designs can be transformed into a differential equation problem leading us to a certain matrix with k auxiliary unknown constants. We characterize the weight functions corresponding to the cases when k= 0 and k= 1. Then, we can solve (d + 1)-point D-optimal designs directly from differential equation (k = 0) or via eigenvalue problems (k = 1). The numerical results show us an interesting relationship between optimal designs and ordered eigenvalues.