Thesis (doctoral)--Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn, 2004. / Includes bibliographical references (p. 123-126).

First published in the Bulletin of the American Mathematical Society in Vol.69, 1963, published by the American Mathematical Society

First published in the Notices of the American Mathematical Society in Vol.35, 1988, published by the American Mathematical Society

Let X be a simply connected, compact Riemannian symmetric space. We can represent X as the homogeneous space U/K, where U is a simply connected compact Lie group, and K is the fixed point set of an involution θ of U. Let G be the complexification of U. We consider the intersections of the image of the Cartan embedding Φ : U/K → U ⊂ G : uK → uu⁻ᶿ with the strata of the Birkhoff (or triangular, or LDU) decomposition G = ⫫(w∈W) ∑(G/w), ∑(G/w) = N⁻wHN⁺ relative to a θ-stable decomposition of the Lie algebra, g = n⁻ ⊕h ⊕ n⁺. For a generic element g in this intersection, g ∈ Φ(U/K) ∩ ∑(G/1), this yields a unique triangular factorization g = ldu. Our main contribution is to produce explicit formulas for the diagonal term d in classical cases, using Cayley coordinates (this choice of coordinate is motivated by considerations beyond sheer convenience). These formulas have several applications: 1) we can compute π₀(Φ(U/K) \ ∩ ∑(G/1) ) explicitly; 2) we can compute ʃ(Φ(U/K))ᵃΦ^-iλ (where ᵃΦ is the positive part of d) using elementary techniques in rank 1 cases; 3) they are useful in explicitly calculating Evens-Lu Poisson structures on U=K (see [Caine(2006)]). Our set-up involves choosing specific representations of the various u in su(n;C) that are compatible with θ; that is, θ fixes each of the subspaces n⁻; h; and n⁺ which, in our setup, always consist of strictly lower triangular, diagonal, and strictly upper triangular matrices, respectively. The formulas contain determinants such as det(1 + X), where X is in ip, the -1-eigenspace of θ acting on the Lie algebra u. Due to the relatively sparse nature of these matrices, these determinants are often easily calculable, and we illustrate this with many examples.

Résumé de la thèse : ce travail porte sur la notion d'espace symétrique symplectique extrinsèque. Ces espaces sont des espaces symétriques symplectiques dont la structure est induite par le plongement dans variété symplectique ambiante munie d'une connexion. Par analogie à la théorie standard des espaces symétriques, nous démontrons un théorème d'équivalence entre les espaces symétriques symplectiques extrinsèques d'une variété qui est elle-même un espace symétrique symplectique. La définition d'un espace symétrique symplectique extrinsèque fait intervenir l'existence d'affinités globales de la variété ambiante, les ``symétries extrinsèques', qui induisent la structure symétrique de la sous-variété ; ceci mène à poser une question du type : quelles sont les variétés possédant ``beaucoup' de ces affinités~? Une question précise ainsi qu'une réponse sont fournies dans un contexte où la variété ambiante est seulement supposée munie d'une structure symplectique et d'une connexion symplectiques. Nous considérons également le cas où ces symétries commutent avec un champ $K$ d'endomorphismes symplectiques fixé de la variété, de carré $pmId$. Nous définissons une notion de courbure sectionnelle pour plans $K$-stables et montrons que les espaces à $K$-courbure sectionnelle constantes sont localement symétriques de type Ricci. Par suite nous étudions les espaces symétriques symplectiques extrinsèques dans un espace vectoriel symplectique. Nous montrons par exemple qu'un tel espace, s'ils est de dimension deux, est forcément intrinsèquement plat (c.-à-d. à courbure intrinsèque nulle), mais que son image n'est pas forcément un plan affin de l'espace vectoriel ambiant. Nous décrivons en fait explicitement tous les espaces symétriques symplectiques extrinsèques, dans un espace vectoriel, dont la courbure intrinsèque s'annule identiquement. Nous décrivons également une famille d'exemples d'espaces extrinsèques, dont nous montrons qu'elle fournit la totalité des espaces extrinsèques de codimension $2$, dans un espace vectoriel. Enfin, nous décrivons quelques exemples d'espaces symétriques symplectiques extrinsèques qui sont totalement géodésiques, dans un espace de type Ricci particulier.

Thesis (M. Phil.)--University of Hong Kong, 2002. / Includes bibliographical references (leaves 112-116).

published_or_final_version / Mathematics / Master / Master of Philosophy

First published in the Bulletin of the American Mathematical Society in 1963, published by the American Mathematical Society

published_or_final_version / Mathematics / Doctoral / Doctor of Philosophy

This thesis explores the geometry at infinity for certain hermitian locally symmetric spaces. Let Gamma < SU(r + 1, r) be a maximal nonuniform arithmetic lattice determined by automorphisms of a hermitian form on k^{2 r + 1}, where k is an imaginary quadratic field. We give a formula for the number of cusps of X / Gamma, where X is the hermitian symmetric space on which SU(r + 1, r) acts. If r > 1 and 2 r + 1 is prime, this completely determines the number of cusps for minimal finite volume orbifolds with X-geometry, and there are only finitely many commensurability classes of noncompact finite volume quotients of X containing a one-cusped orbifold. In the case r = 1, which corresponds to the complex hyperbolic plane, we show that this holds for any N: there are only finitely many commensurability classes of arithmetic lattices in SU(2, 1) which contain an N-cusped orbifold. / text