Cette thèse examine deux façons de diminuer la complexité des problèmes de propagation d'ondes diffractées par un obstacle borné : la diminution des domaines de calcul à l'aide de milieux fictifs absorbants permettant l'adjonction de conditions aux limites exactes et la recherche d'une nouvelle approximation spatiale sous forme polynomiale donnant lieu à des schémas explicites où la stabilité est indépendante de l'ordre choisi. Dans un premier temps, on réduit le domaine de calcul autour de domaines non nécessairement convexes, mais propres aux problèmes de scattering (non trapping), à l'aide de la méthode des Perfectly Matched Layers (PML). Il faut alors considérer des domaines d'exhaustion difféomorphes à des convexes avec des hypothèses "presque" nécessaires. Pour les Equations de type Maxwell et Ondes, l'existence et l'unicité sont montrées dans tout l'espace et en domaine artificiellement borné, tant en fréquentiel qu'en temporel. La décroissance est analysée localement et asymptotiquement et des simulations numériques sont proposées. La deuxième partie de ce travail est une alternative à l'approximation de type Galerkin Discontinu, inspirée des résultats de régularité de J. Rauch, présentant l'avantage de conserver une condition CFL de type Volumes Finis indépendante de l'ordre d'approximation, aussi bien pour des maillages structurés que déstructurés. La convergence de cette méthode est démontrée via la consistance et la stabilité, grâce au théorème d'équivalence de Lax-Richtmyer pour des domaines structurés. En déstructuré, la consistance ne pouvant plus s'établir au moyen de la formulation de Taylor, la convergence n'est plus assurée, mais les premiers tests numériques bidimensionnels donnent d'excellents résultats.

L'équation de transport, dans le régime fortement collisionnel admet une limite asymptotique de diffusion. Les discrétisations angulaires comme la méthode des ordonnées discrètes Sn où le développement tronqué en harmonique sphérique Pn préservent aussi cette limite de diffusion. Par conséquent, il est intéressant de construire pour de tels systèmes des méthodes de volumes finis sur maillages non structurés qui préservent cette limite de diffusion pour des grilles grossières. En effet, ces modèles peuvent être couplés avec des codes hydrodynamiques Lagrangiens qui génèrent des maillages très tordus. Pour commencer, on considère la discrétisation angulaire la plus simple de l'équation de transport appelée le modèle P1. Après une rapide introduction sur les méthodes 1D, on commence par modifier le schéma acoustique en dimension deux avec la méthode de Jin-Levermore. Le schéma ainsi obtenu n'est pas convergent dans le régime de diffusion car le schéma de diffusion valide n'est pas consistant sur maillages non structurés. Pour résoudre ce problème, on a proposé de nouvelles méthodes valides sur maillages non structurés. Ces méthodes sont basées sur un autre formalisme des méthodes de volumes finis ou les flux sont localisés aux interfaces, couplé avec la méthode de Jin-Levermore. On obtient deux schémas convergents qui dérivent sur les schémas asymptotic preserving 1D. Le schéma limite de diffusion obtenu est un nouveau schéma pour lequel on a donné une preuve de convergence. Dans un second temps, on a proposé une extension du travail réalisé pour le modèle P1 dans le cadre des discrétisations angulaires d'ordres élevés. Pour obtenir une discrétisation asymptotic preserving pour ces modèles on a utilisé une décomposition entre la discrétisation angulaire de premier ordre et les discrétisations angulaires d'ordres supérieurs. Enfin on a étudié la discrétisation du problème d'absorption/émission présent en transfert radiatif ainsi que la discrétisation du modèle non linéaire M1. L'approximation du modèle M1 est basé sur un couplage entre un schéma Lagrange+projection pour une reformulation du modèle M1 et la méthode de Jin-Levermore. La méthode numérique obtenue préserve la limite asymptotique, l'inégalité d'entropie et le principe du maximum associé au système sur maillages non structurés.

Cette thèse étudie, au niveau continu et au niveau discret sur des maillages polyédriques, les équations de transport tridimensionnelles scalaire et vectorielle. Ces équations sont constituées d'un terme diffusif, d'un terme advectif et d'un terme réactif. Dans le cadre des systèmes de Friedrichs, l'analyse mathématique est effectuée dans les espaces du graphe associés aux espaces de Lebesgue. Les conditions de positivité usuelles sur le tenseur de Friedrichs sont étendues au niveau continu et au niveau discret afin de prendre en compte les cas d'intérêt pratique où ce tenseur prend des valeurs nulles ou raisonnablement négatives. Un nouveau schéma convergeant à l'ordre 3/2 est proposé pour le problème d'advection-réaction scalaire en considérant des degrés de liberté scalaires associés aux sommets du maillage. Deux nouveaux schémas considérant également des degrés de libertés aux sommets sont proposés pour le problème de transport scalaire en traitant de manière robuste les différents régimes dominants. Le premier schéma converge à l'ordre 1/2 si les effets advectifs sont dominants et à l'ordre 1 si les effets diffusifs sont dominants. Le second schéma améliore la précision de ce schéma en convergeant à l'ordre 3/2 lorsque les effets advectifs sont dominants. Enfin, un nouveau schéma convergeant à l'ordre 1/2 est obtenu pour le problème d'advection-réaction vectoriel en considérant un seul et unique degré de liberté scalaire sur chaque arête du maillage. La précision et les performances de tous ces schémas sont examinées sur plusieurs cas tests utilisant des maillages polyédriques tridimensionnels / This thesis analyzes, at the continuous and at the discrete level on polyhedral meshes, the scalar and the vector transport problems in three-dimensional domains. These problems are composed of a diffusive term, an advective term, and a reactive term. In the context of Friedrichs systems, the continuous problems are analyzed in Lebesgue graph spaces. The classical positivity assumption on the Friedrichs tensor is generalized so as to consider the case of practical interest where this tensor takes null or slightly negative values. A new scheme converging at the order 3/2 is devised for the scalar advection-reaction problem using scalar degrees of freedom attached to mesh vertices. Two new schemes considering as well scalar degrees of freedom attached to mesh vertices are devised for the scalar transport problem and are robust with respect to the dominant regime. The first scheme converges at the order 1/2 when advection effects are dominant and at the order 1 when diffusion effects are dominant. The second scheme improves the accuracy by converging at the order 3/2 when advection effects are dominant. Finally, a new scheme converging at the order 1/2 is devised for the vector advection-reaction problem considering only one scalar degree of freedom per mesh edge. The accuracy and the efficiency of all these schemes are assessed on various test cases using three-dimensional polyhedral meshes