Neste trabalho é abordado o exemplo proposto por Nicolai Haydn, no qual é dado um exemplo de um deslocamento onde é possível construir in nitas medidas de máxima entropia, além de in nitos estados de equilíbrio. / In this work, we present the example shown by Nicolai Haydn, which is given by subshift where is possible to show in nity measures of maximal entropy, besides in nitely many distinct equilibrium states.

Neste trabalho é abordado o exemplo proposto por Nicolai Haydn, no qual é dado um exemplo de um deslocamento onde é possível construir in nitas medidas de máxima entropia, além de in nitos estados de equilíbrio. / In this work, we present the example shown by Nicolai Haydn, which is given by subshift where is possible to show in nity measures of maximal entropy, besides in nitely many distinct equilibrium states.

Neste trabalho, mostraremos que o algoritmo que determina digito a digito a raiz quadrada de um número real positivo, corresponde a um sistema dinâmico no plano com um comportamento dinâmico complexo. Uma relação de equivalência pode ser obtida e através dela determinamos um novo sistema dinâmico definido no espaço quociente. Tal sistema dinâmico será estudado a partir de dois pontos de vista: Dinâmica Topológica e Teoria Ergódiga. Mostraremos que tal sistema dinâmico é topologicamente conjugado ao shift map no espaço de Bernoulli sobre 10 símbolos. Além disso, mostraremos que existe uma medida invariante natural a qual ergódiga para este sistema dinâmico. / In this work, we will show that the algorithm, which determines digit by digit the square root of a positive real number, corresponds to a dynamical system in the plane with complex dynamical behaviour. A relation of equivalence can be obtained and through it we determine a new dynamical system in the quotient space. Such dynamical system will be study from two points of view: Topological Dynamics and Ergodic Theory. We will show that such dynamical system is topologically conjugated to a shift map in the Bernoulli’s space on 10 symbols. Furthermore we will show that there exists a natural invariant measure which is ergodic for this dynamical system.

Let f : T3 → T3 be a C2 volume preserving partially hyperbolic diffeomorphism homotopic to a linear Anosov automorphism A : T3 → T3. We prove that if f is Kolmogorov, then f is Bernoulli. We study the characteristics of atomic disintegration of the volume measure whenever it occurs. We prove that if the volume measure m has atomic disintegration on the center leaves then the disintegration has one atom per center leaf. We give a condition, depending only on the center Lyapunov exponent of the diffeomorphism, that guarantees atomic disintegration of the volume measure on center leaves. We construct an open family of diffeomorphisms satisfying this condition which generates the first examples of foliations which are both measurable and minimal. In this same construction we give the first examples of partially hyperbolic diffeomorphisms with zero center Lyapunov exponent and homotopic to a linear Anosov. / Seja f : T3 → T3 um difeomorfismo C2 parcialmente hiperbólico, homotópico a um automorfismo de Anosov linear e preservando a medida de volume m. Provamos que se f é Kolmogorov então f é Bernoulli. Estudamos as características da desintegração atômica da medida de volume quando esta ocorre. Provamos que se a medida de volume m tem desintegração atômica nas folhas centrais então a desintegração tem um átomo por folha central. Apresentamos uma condição, a qual depende apenas do expoente de Lyapunov central do difeomorfismo, que garante desintegração atômica da medida de volume. Construímos uma família aberta de difeomorfismos satisfazendo esta condição, o que gerou os primeiros exemplos de folheações que são mensuráveis e ao mesmo tempo minimais. Nesta mesma construção damos os primeiros exemplos de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos com expoente de Lyapunov central nulo e homotópico a um Anosov linear.

Neste trabalho, provamos um caso particular do Teorema de Ratner de classificação de medidas, que nos diz que se X =Γ\\G é um espaço homogêneo, onde G é um grupo de Lie e Γ é um lattice de G, então dado um subgrupo unipotente U de G, conseguimos classificar as medidas ergódicas com relação a ação por translação do grupo U em X. Além do Teorema de Ratner de classificação de medidas, falamos sobre o Teorema de Ratner de equidistribuição e o Teorema de Ratner do fecho da órbita, que nos dizem como são as órbitas pela ação por translação do grupo U e como é sua dinâmica em X, do ponto de vista da Teoria Ergódica. Embora estes últimos resultados não sejam provados nesta dissertação, exibimos uma importante aplicação do Teorema de Ratner do fecho da órbita em teoria dos números, provando a Conjectura de Oppeinheim, também conhecida como Teorema de Margullis. / In this work, we prove a particular case of the Ratners measure classification theorem, which tell us that if X = Γ\\G is an homogeneous space, where G is a Lie group and Γ is a lattice of G, then given any unipotent group U of G, we can classify the measures that are ergodic with respect to the translation group action of U in X In addition to the Ratners measure classification theorem, we talk about the Ratners equidistribuition theorem and the Ratners orbit closure theorem, which tell us how the orbit due the action by translation by the group U are and how the dynamics in X is, in an Ergodic Theory point of view. While we didnt prove the last two Ratners theorems, we exhibit an important application of the Ratners orbit closure theorem in number theory, proving the Oppeinheim Conjecture, also know as Margullis Theorem.

Nesta dissertação estudamos uma probabilidade obtida a partir de conceitos da Mecânica Estatística Quântica do ponto de vista da Teoria Ergódica. A probabilidade é obtida a partir de um estado KMS sobre um lattice unidimensional de spins quânticos. Mostramos que esta probabilidade é mixing para o shift. Além disso, mostramos que vale um princípio dos grandes desvios para uma certa classe de funções e exploramos algumas propriedades do Jacobiano. Iremos considerar o estado KMS associado a um certo Hamiltoniano específico agindo sobre o lattice de spins quânticos. Nas seções iniciais vamos apresentar alguns conceitos e prerequisitos básicos (como operadores densidade, produto tensorial, C*-algebras e estados KMS) para o entendimento do resultado principal / In this dissertation we study a probability derived from Quantum Statistical Mechanics through the viewpoint of Ergodic Theory. The probability is obtained from a KMS state acting on a one dimensional lattice of quantum spins. We show that this probability is mixing for the shift map. Moreover, we show that a large deviation principle is true for a certain class of functions and we explore some properties of the Jacobian. We will consider the KMS state associated to a certain specific Hamiltonian acting on the quantum spin lattice. In the initial sections we will present some concepts and prerequisites (such as density operators, tensor product, C*-algebras and KMS states) for the understanding of our main results.

Submitted by Nilton Cesar Moretti Junior null (niiilton@hotmail.com) on 2018-07-31T04:58:47Z No. of bitstreams: 1 Dissertação-Final.pdf: 1149444 bytes, checksum: 6c44dc0b9f2462ee08c23da4a240fa0a (MD5) / Approved for entry into archive by Elza Mitiko Sato null (elzasato@ibilce.unesp.br) on 2018-07-31T18:13:18Z (GMT) No. of bitstreams: 1 morettijunior_nc_me_sjrp.pdf: 1461434 bytes, checksum: 7a6418b1192346448fc927ec6c6650dc (MD5) / Made available in DSpace on 2018-07-31T18:13:18Z (GMT). No. of bitstreams: 1 morettijunior_nc_me_sjrp.pdf: 1461434 bytes, checksum: 7a6418b1192346448fc927ec6c6650dc (MD5) Previous issue date: 2017-08-30 / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Neste trabalho estudamos vários resultados relacionados com sistemas dinâmicos, teoria dos números e combinatória. Em particular, provamos os teoremas de Van Der Waerden, Szemeredi, Koksma e Weyl. / In this work we study several results connected with dynamical systems, number thoery and combinatorics. In particular, we prove Van Der Waerden, Szemer edi, Koksma and Weyl’s theorems.

Submitted by Santos Davilene (davilenes@ufba.br) on 2017-05-30T21:33:41Z No. of bitstreams: 1 tesededoutorado_thiago_bomfim_final.pdf: 1432533 bytes, checksum: e5fc0b79704aaec51e9363c8b86f6553 (MD5) / Approved for entry into archive by Vanessa Reis (vanessa.jamile@ufba.br) on 2017-06-01T12:41:44Z (GMT) No. of bitstreams: 1 tesededoutorado_thiago_bomfim_final.pdf: 1432533 bytes, checksum: e5fc0b79704aaec51e9363c8b86f6553 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-06-01T12:41:44Z (GMT). No. of bitstreams: 1 tesededoutorado_thiago_bomfim_final.pdf: 1432533 bytes, checksum: e5fc0b79704aaec51e9363c8b86f6553 (MD5) / Nesta tese estudamos classes robustas de sistemas dinâmicos não-uniformemente expansores. Inicialmente provamos a diferenciabilidade da pressão topológica e de estados de equilíbrio e suas densidades com respeito ao sistema dinâmico, obtendo fórmulas precisas para as derivadas. Tais resultados, que decorrem da uniformidade do gap espectral dos respectivos operadores de transferência obtida a partir da técnica de cones e métricas projetivas, têm fortes consequências nas propriedades estatísticas do sistema dinâmico. De fato, provamos que a média e a variância obtidos do teorema central do limite variam diferenciavelmente com a dinâmica e também que vale um princípio de grandes desvios cuja função taxa varia diferenciavelmente com a dinâmica. Mais ainda, obtemos que a função taxa de decaimento de correlações em tempo-n para a medida de máxima entropia e diferenciável com respeito ao sistema dinâmico com derivada assintótica a zero. / No estudo das propriedades erg´odicas destas classes de sistemas dinˆamicos foi inclu´ıda tamb´em uma descri¸c˜ao topol´ogica sobre o formalismo multifractal associado a m´edias de Birkhoff e sequˆencias n˜ao necessariamente aditivas motivadas pelo estudo de expoentes de Lyapunov em dimens˜ao alta. Para estados de equil´ıbrio que exibem a propriedade de Gibbs fraco, provamos que a press˜ao topol´ogica do conjunto de pontos cuja m´edia de Birkhoff est´a afastada da m´edia espacial correspondente ao ´unico estado de equil´ıbrio pode ser expressa em termos press˜ao topol´ogica de todo sistema e da taxa grandes desvios. Extens˜oes para sistemas dinˆamicos com singularidades, fluxos e difeomorfismos hiperbólicos bem como conjuntos irregulares associados a medidas empíricas foram também obtidos.

Nesta dissertação estudamos uma probabilidade obtida a partir de conceitos da Mecânica Estatística Quântica do ponto de vista da Teoria Ergódica. A probabilidade é obtida a partir de um estado KMS sobre um lattice unidimensional de spins quânticos. Mostramos que esta probabilidade é mixing para o shift. Além disso, mostramos que vale um princípio dos grandes desvios para uma certa classe de funções e exploramos algumas propriedades do Jacobiano. Iremos considerar o estado KMS associado a um certo Hamiltoniano específico agindo sobre o lattice de spins quânticos. Nas seções iniciais vamos apresentar alguns conceitos e prerequisitos básicos (como operadores densidade, produto tensorial, C*-algebras e estados KMS) para o entendimento do resultado principal / In this dissertation we study a probability derived from Quantum Statistical Mechanics through the viewpoint of Ergodic Theory. The probability is obtained from a KMS state acting on a one dimensional lattice of quantum spins. We show that this probability is mixing for the shift map. Moreover, we show that a large deviation principle is true for a certain class of functions and we explore some properties of the Jacobian. We will consider the KMS state associated to a certain specific Hamiltonian acting on the quantum spin lattice. In the initial sections we will present some concepts and prerequisites (such as density operators, tensor product, C*-algebras and KMS states) for the understanding of our main results.

Nesta dissertação estudamos uma probabilidade obtida a partir de conceitos da Mecânica Estatística Quântica do ponto de vista da Teoria Ergódica. A probabilidade é obtida a partir de um estado KMS sobre um lattice unidimensional de spins quânticos. Mostramos que esta probabilidade é mixing para o shift. Além disso, mostramos que vale um princípio dos grandes desvios para uma certa classe de funções e exploramos algumas propriedades do Jacobiano. Iremos considerar o estado KMS associado a um certo Hamiltoniano específico agindo sobre o lattice de spins quânticos. Nas seções iniciais vamos apresentar alguns conceitos e prerequisitos básicos (como operadores densidade, produto tensorial, C*-algebras e estados KMS) para o entendimento do resultado principal / In this dissertation we study a probability derived from Quantum Statistical Mechanics through the viewpoint of Ergodic Theory. The probability is obtained from a KMS state acting on a one dimensional lattice of quantum spins. We show that this probability is mixing for the shift map. Moreover, we show that a large deviation principle is true for a certain class of functions and we explore some properties of the Jacobian. We will consider the KMS state associated to a certain specific Hamiltonian acting on the quantum spin lattice. In the initial sections we will present some concepts and prerequisites (such as density operators, tensor product, C*-algebras and KMS states) for the understanding of our main results.