Dans cette thèse nous avons étudié, d'une part le théorème d'absorption limitepour des opérateurs de Schrödinger et de Dirac avec des potentiels oscillants. Lefait de considérer des potentiels oscillants est intéressant dans la mesure où ses opé-rateurs peuvent avoir des valeurs propres plongées dans le spectre continu (c'est lecas pour Schrödinger), ce qui est plutôt inhabituel et introduit de nouvelles di-cultés. L'étude du théorème d'absorption limite est très importante pour la théoriede la diffusion. Un intérêt particulier du sujet réside dans le fait que l'outil naturelpour procéder à l'étude en question, à savoir la théorie du commutateur de Mourre,ne s'applique pas. Une alternative récente a été développée par les co-directeurs dela thèse Thierry Jecko et Sylvain Golénia. Elle a été appliquée à un opérateur deSchrödinger avec potentiel oscillant. Il s'agit donc d'améliorer les résultats sur lesopérateurs de Schrödinger et de traiter le cas des opérateurs de Dirac. D'autre part,nous avons montré un résultat de type Helffer-Sjöstrand pour les opérateurs unitaires.Et pour finir, nous avons pu montrer l'existence des valeurs propre plongéespour l'opérateur de Dirac avec des potentiels relativement compact par rapport àl'opérateur de Dirac libre sur son spectre essentiel. / In this thesis, we have studied the limit absorption theorem for Schrödinger andDirac operators with oscillating potentials. Considering oscillating potentials is interestinginsofar as its operators can have of the eigenvalues plunged into the continuousspectrum (this is the case for Schrödinger), which is rather unusual and introducesnew dificulties. The study of the limit absorption theorem is very important for thetheory of diffusion. A particular interest of the subject lies in the fact that the naturaltool for the study in question, namely the Mourre switch theory, does not apply. Arecent alternative has been developed by the co-directors Thierry Jecko and SylvainGolénia. It has been applied to a Schrödinger operator with oscillating potential. Itis therefore a question of improving the results on the Schrödinger operators and oftreating the case of Dirac operators. Secondly, we have shown a Helffer-Sjöstrandformula for the unit operators and finally we have been able to show the existenceof the eigenvalues plunged for the Dirac operator with relatively compact potentialsrelative to the operator of free Dirac on its essential spectrum.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l’étude du spectre essentiel d’opérateurs de Schrödinger et tout particulièrement à l’obtention d’un Principe d’Absorption Limite pour ces opérateurs. Ce Principe d’Absorption Limite consiste en l’existence d’une limite de l’opérateur résolvante lorsque le paramètre spectral se rapproche du spectre essentiel et permet de connaitre des informations sur le groupe engendré par l’Hamiltonien de Schrödinger. Une méthode pour montrer ce Principe d’Absorption Limite est d’utiliser la théorie de Mourre. Cette théorie nécessite l’utilisation d’un autre opérateur appellé opérateur conjugué. Lorsqu’on veut appliquer la théorie de Mourre aux opérateurs de Schrödinger, on utilise habituellement un opérateur conjugué nommé le générateur des dilatations. Cet opérateur implique que les dérivées du potentiel doivent avoir une certaine décroissance ce qui peut être gênant dans certains cas.Dans cette thèse, nous appliquerons le théorème de Mourre avec d’autres types d’opérateurs conjugués, dont certains n’impliquent pas de conditions de dérivabilité. Dans une première partie, nous nous intéresserons aux opérateurs de Schrödinger sur l’espace euclidienpour lesquels nous montrerons un Principe d’Absorption Limite à énergie strictement positive, un Principe d’Absorption Limite à énergie nulle et l’absence de valeurs propres plongées dans le spectre essentiel. Dans une seconde partie, nous nous intéresserons aux opérateurs de Schrödinger sur des guides d’ondes pour lesquels nous montrerons un Principe d’Absorption Limite loin des seuils et un Principe d’Absorption Limite près des seuils. / In this thesis, we are interested in the study of the essential spectrum of Schrödinger operators and more particulary in the obtention of a Limiting Absorption Principle for these operators. This Limiting Absorption Principle consists on the existence of a limit for the resolvent operator when the spectral parameter is near the essential spectrum and permits to know some properties about the group generated by the Schrödinger Hamiltonian we study. A technique to prove this Limiting Absorption Principle is to use the Mourre theory. This theory needs to use an other operator called the conjugate operator. When we want to apply the Mourre theory to Schrödinger operators, we usually used a conjugate operatornamed the generator of dilations. This operator implies some conditions of decay on the derivatives of the potentials which can be a problem in certain cases. In this thesis, we will apply the Mourre theory with other types of conjugate operators wich, for some of them, does not imply any conditions on the derivatives of the potential.In a first part, we will be interested in Schrödinger operators on the euclidian space. We will show a Limiting Absorption Principle at positive energy, a Limiting Absorption principle at zero energy and the absence of eigenvalue embedded in the essential spectrum. In a second part, we will be interested in Schrödinger operators on wave guides for which we will prove a Limiting Absorption Principle far thresholds and near thresholds.

L’objet de cette thèse est l’étude spectrale et dynamique de systèmes de la mécanique quantique en utilisant des techniques de commutateurs. Deux parmi les trois articles présentés traitent l’opérateur de Schrödinger discret sur un réseau. Dans le premier article, un principe d’absorption limite est établi pour le Laplacien discret multidimensionnel perturbé par la somme d’un potentiel de type Wigner-von Neumann et d’un potentiel de type longue portée. Ce résultat implique notamment l’absolue continuité du spectre de cet Hamiltonien à certaines énergies. Dans le second article, nous considérons à nouveau l’opérateur de Schrödinger discret multidimensionnel dont le potentiel est de type longue portée. Il est démontré que les fonctions propres correspondant à des valeurs propres de l’Hamiltonien décroissent sous-exponentiellement lorsque ces dernières ne sont pas un seuil. En dimension un, il est démontré de surcroît que ces fonctions propres décroissent exponentiellement. Une conséquence de ceci est l’absence de valeurs propres dans la partie centrale du spectre délimité aux extrémités par des seuils. Le troisième article étudie des propriétés dynamiques d’Hamiltoniens vérifiant des hypothèses minimales dans la théorie des commutateurs. En se basant sur une estimation des vitesses minimales d’une part et une version améliorée du théorème du RAGE d’autre part, nous dérivons deux estimations de propagation pour cette famille d’Hamiltoniens. Ces estimations indiquent que les états du système se comportent dynamiquement de façon très similaire aux états de diffusion. Toutefois, ceci n’écarte pas la possibilité de spectre singulier continu. / This thesis deals with the analysis of spectral and dynamical properties of quantum mechanical systems using techniques of operator commutators. Two of the three research papers that are presented deal exclusively with the discrete Schrödinger operators on the lattice. The first article proves a limiting absorption principle for the multi-dimensional discrete Laplacian perturbed by the sum of a Wigner-von Neumann potential and long-range potential. This result notably implies the absolute continuity of the spectrum of this Hamiltonian at certain energies. The second article proves that eigenfunctions corresponding to non-threshold eigenvalues of multidimensional discrete Schrödinger operators decay sub-exponentially. In one dimension, it is further proven that these eigenfunctions decay exponentially. A consequence of this is the absence of eigenvalues when the middle portion of the spectrum does not contain any thresholds. The third article investigates dynamical properties of Hamiltonians under very minimal assumptions in the theory of commutators. Based on minimal escape velocities and an improved version of the RAGE Theorem, we derive propagation estimates for these types of Hamiltonians. These estimates indicate that the states of the system behave dynamically very much like scattering states. Nonetheless, the existence of singularly continuous states cannot be disproved.

Les résultats présentés dans cette thèse concernent l'étude de la<br />théorie de la diffusion pour des champs de Dirac dans plusieurs<br />espaces-temps de la relativité générale. Les méthodes complètement<br />dépendantes du temps développées par Enss, Sigal, Soffer, Graf,<br />Derezi\'nski et Gérard constituent le fil conducteur de ce<br />travail. Ces méthodes sont basées sur des estimations de propagation<br />comme les estimations de vitesse minimale (obtenues par une théorie de<br />Mourre) qui correspondent à une version faible du principe de Huygens <br />et sur l'étude d'observables asymptotiques naturelles comme les<br />opérateurs de vitesse asymptotiques. Dans un premier temps, on teste<br />ces méthodes en étudiant la propagation de champs de Dirac, massifs ou<br />non, perturbés par des potentiels à longue portée, en espace-temps<br />plat. On montre ainsi <br />l'existence et la complétude asymptotique des opérateurs d'onde<br />modifiés. Dans un deuxième temps, on s'intéresse à des situations<br />géométriques plus compliquées en étudiant la propagation de ces champs<br />à l'extérieur de trous noirs de Reissner-Nordström (à symétrie<br />sphérique) et de Kerr-Newman (en rotation) du point de vue<br />d'observateurs lointains. L'originalité de ce type d'étude réside dans<br />le fait que les observateurs distinguent deux régions asymptotiques<br />(l'horizon du trou noir et l'infini spatial) aux structures<br />géométriques bien différentes ce qui entraîne l'existence de deux<br />canaux de diffusion. Dans le cas de trous noirs à symétrie<br />sphérique, une décomposition sur une base d'harmoniques sphériques<br />permet de se ramener à un problème à une dimension d'espace, du type<br />espace-temps plat. La difficulté essentielle provient alors de<br />l'absence de symétrie sphérique des trous noirs de Kerr-Newman qui<br />rend impossible une telle simplification. Dans les deux cas, on montre <br />l'existence et la complétude asymptotique des opérateurs d'onde<br />(modifiés à l'infini) à l'aide des méthodes dépendantes du temps.