Un ordinateur quantique (OQ), i.e. utilisant les ressources de la physique Q, superposition et intrication, pourrait fournir un gain exponentiel de temps de calcul. Une simulation utilisant ces ressources est appelée simulation Q (SQ). L’avantage des SQs sur les simulations classiques est bien établi au niveau théorique, i.e. software. Leur avantage pratique requiert un hardware Q. L’OQ, sous-entendu universel (cf. plus bas), n’a pas encore vu le jour, mais les efforts en ce sens sont croissants et variés. Aussi la SQ a-t-elle déjà été illustrée par de nombreuses expériences de principe, grâce à des calculateurs ou simulateurs Qs de taille réduite. Les marches Qs (MQs) sont des schémas de SQ particulièrement étudiés, étant des briques élémentaires pour concevoir n’importe quel algorithme Q, i.e. pour le calcul Q universel. La présente thèse est un pas de plus vers une simulation des théories Qs des champs basée sur les MQs à temps discret (MQTD). En effet, il est montré, dans certains cas, comment les MQTD peuvent simuler, au continu, l'action d'un champ de jauge Yang-Mills sur de la matière fermionique, et la rétroaction de cette-dernière sur la dynamique du champ de jauge. Les schémas proposés préservent l’invariance de jauge au niveau de la grille d’espace-temps, i.e. pas seulement au continu. Il est proposé (i) des équations de Maxwell sur grille, compatibles avec la conservation du courant sur la grille, et (ii) une courbure non-abélienne définie sur la grille. De plus, il est montré comment cette matière fermionique à base de MQTD peut être couplée à des champs gravitationnels relativistes du continu, i.e. des espaces-temps courbes, en dimension 1+2. / A quantum (Q) computer (QC), i.e. utilizing the resources of Q physics, superposition of states and entanglement, could fournish an exponential gain in computing time. A simulation using such resources is called a Q simulation (QS). The advantage of QSs over classical ones is well established at the theoretical, i.e. software level. Their practical benefit requires their implementation on a Q hardware. The QC, i.e. the universal one (see below), has not seen the light of day yet, but the efforts in this direction are both growing and diverse. Also, QS has already been illustrated by numerous experimental proofs of principle, thanks too small-size and specific-task Q computers or simulators. Q walks (QWs) are particularly-studied QS schemes, being elementary bricks to conceive any Q algorithm, i.e. to achieve so-called universal Q computation. The present thesis is a step more towards a simulation of Q field theories based on discrete-time QWs (DTQWs). Indeed, it is shown, in certain cases, how DTQWs can simulate, in the continuum, the action of Yang-Mills gauge fields on fermionic matter, and the retroaction of the latter on the gauge-field dynamics. The suggested schemes preserve gauge invariance on the spacetime lattice, i.e. not only in the continuum. In the (1+2)D Abelian case, consistent lattice equivalents to both Maxwell’s equations and the current conservation are suggested. In the (1+1)D non-Abelian case, a lattice version of the non-Abelian field strength is suggested. Moreover, it is shown how this fermionic matter based on DTQWs can be coupled to relativistic gravitational fields of the continuum, i.e. to curved spacetimes, in several spatial dimensions.

Les simulateurs quantiques, qui utilisent un système quantique contrôlable pour étudier le comportement et les propriétés d'un autre système quantique, moins accessible, sont une ressource prometteuse. Dans les dernières années, des progrès significatifs ont été faits dans de nombreux domaines expérimentaux et théoriques. Les marches quantiques à temps discret sont des systèmes simples et sophistiqués. En particulier, il a été montré qu'à la limite continue, ces marches peuvent simuler certaines théories de champs. Dans ce travail de thèse, lesdites marches sont utilisées pour explorer certains sujets d'intérêt physique, qui s'articulent autour de trois axes : (i) la connexion entre les propriétés géométriques de la marche et celles de divers champs de jauge ; (ii) la limite classique et la limite quasi-quantique, en relation surtout avec les théories de champs ; (iii) l'équilibration spontanée pour certains modèles non linéaires de marches quantiques. Chaque résultat est appuyé par une étude numérique et analytique. / Problems too demanding for classical computers can be approached promisingly with quantum simulators, which operate using one controllable quantum system in order to investigate the behavior and properties of a less accessible one. Over the past few years, significant progress has been made in a number of experimental and theoretical fields. Quantum Walks (QWs) are simple and sophisticated discrete space and time dynamical systems and it has been shown that in the continuous limit different emergent quantum fields can be simulated. In this thesis we will draw on QWs to further explore various areas of interest in Physics. More specifically our analysis will branch out into three main directions: (i) the connection between QWs and quantum field theory, with particular attention to bridging the quantum coin of QWs with the geometrical properties of gauge field theories; (ii) the study of QWs' classical limit and of the transient semi-classical dynamics, especially in relation with field theories; (iii) the spontaneous equilibration and thermalization in some nonlinear QWs-like models. Every step of this thesis will be validated by specific analytical results and numerical implementations.

La physique quantique est un domaine qui est encore aujourd'hui difficile à approcher numériquement ; les calculs s'y rattachant souffrent du grand nombre de degrés de liberté que comportent les systèmes quantiques intéressants. Nous explorons deux alternatives aux solutions traditionnelles en les appliquant à des problèmes de la physique quantique. Nous étudions d'abord l'effet tunnel dans un potentiel double puits à l'aide du concept de l'action quantique. Nous montrons que l'action quantique reproduit avec précision la physique du système dans le régime quantique et qu'elle présente de nombreuses caractéristiques intéressantes. Nos résultats suggèrent aussi que l'action quantique peut être utilisée pour des potentiels asymétriques. Nous présentons ensuite la construction d'un Hamiltonien Monte Carlo pour la théorie de jauge sur réseau U(l). Nous calculons explicitement la mesure exacte de l'intégrale' de chemin pour U(l). Enfin, nous présentons comment ces résultats peuvent être généralisés pour des théories de jauge non-abéliennes SU(N).

Cette thèse est organisé en deux parties. Dans la première partie nous nous adressons à un problème vieux dans la théorie de jauge - le calcul du spectre et des fonctions d'onde. La stratégie que nous proposons est de construire une base d'états stochastiques de liens de Bargmann, construite à partir d'une distribution physique de densité de probabilité. Par la suite, nous calculons les amplitudes de transition entre ces états par une approche analytique, en utilisant des intégrales de chemin standards ainsi que la théorie des groupes. Également, nous calculons numériquement matrices symétrique et hermitienne des amplitudes de transition, via une méthode Monte Carlo avec échantillonnage pondéré. De chaque matrice, nous trouvons les valeurs propres et les vecteurs propres. En appliquant cette méthode â la théorie de jauge U(l) en deux dimensions spatiales, nous essayons d'extraire et de présenter le spectre et les fonctions d'onde de cette théorie pour des grilles de petite taille. En outre, nous essayons de faire quelques ajustement dynamique des fenêtres de spectres d'énergie et les fonctions d'onde. Ces fenêtres sont outiles de vérifier visuellement la validité de l'hamiltonien Monte Carlo, et de calculer observables physiques. Dans la deuxième partie nous étudions le comportement chaotique de deux systèmes de billard classiques, par la théorie des matrices aléatoires. Nous considérons un gaz périodique de Lorentz à deux dimensions dans des régimes de horizon fini et horizon infini. Nous construisons quelques matrices de longueurs de trajectoires de un particule mobile dans ce système, et réalisons des études des spectres de ces matrices par l'analyse numérique. Par le calcul numérique des distributions d'espacement de niveaux et rigidité spectral, nous constatons la statistique des espacements de niveaux suggère un comportement universel. Nous étudions également un tel comportement pour un système optique chaotique. En tant que quasi-système de potentiel, ses fluctuations dans l'espacement de ses niveaux suivent aussi un comportement GOE, ce qui est une signature d'universalité. Dans cette partie nous étudions également les propriétés de diffusion du gaz de Lorentz, par la longueur des trajectoires. En calculant la variance de ce quantité, nous montrons que dans le cas d'horizons finis, la variance de longueurs est linéaire par rapport au nombre de collisions de la particule dans le billard. Cette linéarité permet de définir un coefficient de diffusion pour le gaz de Lorentz, et dans un schéma général, elle est compatible avec les résultats obtenus par d'autres méthodes.