A family of parameterized Thue equations is defined as F_{t,s,...}(X, Y ) = m, m ∈ Z where F_{t,s,...}(X,Y) is a form in X and Y with degree greater than or equal to 3 and integer coefficients that are parameterized by t, s, . . . ∈ Z. A variety of these families have been studied by different authors. In this thesis, we study the following families of Thue inequalities |sx3 −tx2y−(t+3s)xy2 −sy3|≤2t+3s, |sx4 −tx3y−6sx2y2 +txy3 +sy4|≤6t+7s, |sx6 − 2tx5y − (5t + 15s)x4y2 − 20sx3y3 + 5tx2y4 +(2t + 6s)xy5 + sy6| ≤ 120t + 323s, where s and t are integers. The forms in question are “simple”, in the sense that the roots of the underlying polynomials can be permuted transitively by automorphisms. With this nice property and the hypergeometric functions, we construct sequences of good approximations to the roots of the underlying polynomials. We can then prove that under certain conditions on s and t there are upper bounds for the number of integer solutions to the above Thue inequalities.

Cette thèse est centrée autour de la monogénéité de corps de nombres en situation relative puis à la conjecture de Collatz.\newline Premièrement on détermine l'ensemble de classes des générateurs de l'anneau des entiers des certaines extensions relatives de corps de nombres, en utilisant l'algorithme de Gaál & Phost et le logiciel PARI/GP. La deuxième partie propose différents formulations d'une généralisation de la conjecture de Collatz, aux entiers p-adiques. On étudie ensuite le comportement de suites analogues dans le cadre d'anneaux d'entiers de corps de nombres. / This thesis are centered around the monogeneity of number fields in a relative situation and the Collatz conjecture. Firstly, we determine the set of generator classes of the ring of integers of some relative extensions of number fields, using the Gaál& Phost algorithm and the PARI/GP software. The second part proposes different formulations of a generalization of the Collatz conjecture to p-adic integers. We then study the behavior of similar sequences in the framework of rings of integers of number fields.

Gowers, dans son article sur les matrices quasi-aléatoires, étudie la question, posée par Babai et Sos, de l'existence d'une constante $c>0$ telle que tout groupe fini possède un sous-ensemble sans produit de taille supérieure ou égale a $c|G|$. En prouvant que, pour tout nombre premier $p$ assez grand, le groupe $PSL_2(\mathbb{F}_p)$ (d'ordre noté $n$) ne posséde aucun sous-ensemble sans produit de taille $c n^{8/9}$, il y répond par la négative. Nous allons considérer le probléme dans le cas des groupes compacts finis, et plus particuliérement des groupes profinis $SL_k(\mathbb{Z}_p)$ et $Sp_{2k}(\mathbb{Z}_p)$. La premiére partie de cette thése est dédiée à l'obtention de bornes inférieures et supérieures exponentielles pour la mesure suprémale des ensembles sans produit. La preuve nécessite d'établir préalablement une borne inférieure sur la dimension des représentations non-triviales des groupes finis $SL_k(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$ et $Sp_{2k}(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$. Notre théoréme prolonge le travail de Landazuri et Seitz, qui considérent le degré minimal des représentations pour les groupes de Chevalley sur les corps finis, tout en offrant une preuve plus simple que la leur. La seconde partie de la thése à trait à la théorie algébrique des nombres. Un polynome monogéne $f$ est un polynome unitaire irréductible à coefficients entiers qui endengre un corps de nombres monogéne. Pour un nombre premier $q$ donné, nous allons montrer, en utilisant le théoréme de densité de Tchebotariov, que la densité des nombres premiers $p$ tels que $t^q -p$ soit monogéne est supérieure ou égale à $(q-1)/q$. Nous allons également démontrer que, quand $q=3$, la densité des nombres premiers $p$ tels que $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$ soit non monogéne est supérieure ou égale à $1/9$. / Gowers in his paper on quasirandom groups studies a question of Babai and Sos asking whether there exists a constant $c > 0$ such that every finite group $G$ has a product-free subset of size at least $c|G|$. Answering the question negatively, he proves that for sufficiently large prime $p$, the group $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_p)$ has no product-free subset of size $\geq cn^{8/9}$, where $n$ is the order of $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_p)$. We will consider the problem for compact groups and in particular for the profinite groups $\SL_k(\mathh{Z}_p)$ and $\Sp_{2k}(\mathbb{Z}_p)$. In Part I of this thesis, we obtain lower and upper exponential bounds for the supremal measure of the product-free sets. The proof involves establishing a lower bound for the dimension of non-trivial representations of the finite groups $\SL_k(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$ and $\Sp_{2k}(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$. Indeed, our theorem extends and simplifies previous work of Landazuri and Seitz, where they consider the minimal degree of representations for Chevalley groups over a finite field. In Part II of this thesis, we move to algebraic number theory. A monogenic polynomial $f$ is a monic irreducible polynomial with integer coefficients which produces a monogenic number field. For a given prime $q$, using the Chebotarev density theorem, we will show the density of primes $p$, such that $t^q-p$ is monogenic, is greater than or equal to $(q-1)/q$. We will also prove that, when $q=3$, the density of primes $p$, which $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$ is non-monogenic, is at least $1/9$.

Gowers, dans son article sur les matrices quasi-aléatoires, étudie la question, posée par Babai et Sos, de l'existence d'une constante $c>0$ telle que tout groupe fini possède un sous-ensemble sans produit de taille supérieure ou égale a $c|G|$. En prouvant que, pour tout nombre premier $p$ assez grand, le groupe $PSL_2(\mathbb{F}_p)$ (d'ordre noté $n$) ne posséde aucun sous-ensemble sans produit de taille $c n^{8/9}$, il y répond par la négative. Nous allons considérer le probléme dans le cas des groupes compacts finis, et plus particuliérement des groupes profinis $SL_k(\mathbb{Z}_p)$ et $Sp_{2k}(\mathbb{Z}_p)$. La premiére partie de cette thése est dédiée à l'obtention de bornes inférieures et supérieures exponentielles pour la mesure suprémale des ensembles sans produit. La preuve nécessite d'établir préalablement une borne inférieure sur la dimension des représentations non-triviales des groupes finis $SL_k(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$ et $Sp_{2k}(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$. Notre théoréme prolonge le travail de Landazuri et Seitz, qui considérent le degré minimal des représentations pour les groupes de Chevalley sur les corps finis, tout en offrant une preuve plus simple que la leur. La seconde partie de la thése à trait à la théorie algébrique des nombres. Un polynome monogéne $f$ est un polynome unitaire irréductible à coefficients entiers qui endengre un corps de nombres monogéne. Pour un nombre premier $q$ donné, nous allons montrer, en utilisant le théoréme de densité de Tchebotariov, que la densité des nombres premiers $p$ tels que $t^q -p$ soit monogéne est supérieure ou égale à $(q-1)/q$. Nous allons également démontrer que, quand $q=3$, la densité des nombres premiers $p$ tels que $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$ soit non monogéne est supérieure ou égale à $1/9$. / Gowers in his paper on quasirandom groups studies a question of Babai and Sos asking whether there exists a constant $c > 0$ such that every finite group $G$ has a product-free subset of size at least $c|G|$. Answering the question negatively, he proves that for sufficiently large prime $p$, the group $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_p)$ has no product-free subset of size $\geq cn^{8/9}$, where $n$ is the order of $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_p)$. We will consider the problem for compact groups and in particular for the profinite groups $\SL_k(\mathh{Z}_p)$ and $\Sp_{2k}(\mathbb{Z}_p)$. In Part I of this thesis, we obtain lower and upper exponential bounds for the supremal measure of the product-free sets. The proof involves establishing a lower bound for the dimension of non-trivial representations of the finite groups $\SL_k(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$ and $\Sp_{2k}(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$. Indeed, our theorem extends and simplifies previous work of Landazuri and Seitz, where they consider the minimal degree of representations for Chevalley groups over a finite field. In Part II of this thesis, we move to algebraic number theory. A monogenic polynomial $f$ is a monic irreducible polynomial with integer coefficients which produces a monogenic number field. For a given prime $q$, using the Chebotarev density theorem, we will show the density of primes $p$, such that $t^q-p$ is monogenic, is greater than or equal to $(q-1)/q$. We will also prove that, when $q=3$, the density of primes $p$, which $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$ is non-monogenic, is at least $1/9$.