Les matrices, en tant que représentations des applications linéaires en dimension finie, jouent un rôle central en traitement du signal et des images et en apprentissage automatique. L'application d'une matrice de rang plein à un vecteur implique a priori un nombre d'opérations arithmétiques de l'ordre du nombre d'entrées non-nulles que contient la matrice. Cependant, il existe des matrices pouvant être appliquées bien plus rapidement, cette propriété étant d'ailleurs un des fondements du succès de certaines transformations linéaires, telles que la transformée de Fourier ou la transformée en ondelettes. Quelle est cette propriété? Est-elle vérifiable aisément? Peut-on approcher des matrices quelconques par des matrices ayant cette propriété? Peut-on estimer des matrices ayant cette propriété? La thèse s'attaque à ces questions en explorant des applications telles que l'apprentissage de dictionnaire à implémentation efficace, l'accélération des itérations d'algorithmes de résolution de de problèmes inverses pour la localisation de sources, ou l'analyse de Fourier rapide sur graphe. / Matrices, as natural representation of linear mappings in finite dimension, play a crucial role in signal processing and machine learning. Multiplying a vector by a full rank matrix a priori costs of the order of the number of non-zero entries in the matrix, in terms of arithmetic operations. However, matrices exist that can be applied much faster, this property being crucial to the success of certain linear transformations, such as the Fourier transform or the wavelet transform. What is the property that allows these matrices to be applied rapidly ? Is it easy to verify ? Can weapproximate matrices with ones having this property ? Can we estimate matrices having this property ? This thesis investigates these questions, exploring applications such as learning dictionaries with efficient implementations, accelerating the resolution of inverse problems or Fast Fourier Transform on graphs.

Cette thèse porte sur la méthode dite « méthode multipôle rapide » qui résout hiérarchiquement le problème à N-corps avec une complexité linéaire pour n'importe quelle précision. Dans le cadre de l'équation de Laplace, nous souhaitons pouvoir traiter efficacement toutes les distributions de particules rencontrées en astrophysique et en dynamique moléculaire.<br /> Nous étudions tout d'abord deux expressions distinctes du principal opérateur (« multipôle-to-local ») ainsi que les bornes d'erreur associées. Pour ces deux expressions, nous présentons une formulation matricielle dont l'implémentation avec des routines BLAS (Basic Linear Algebra Subprograms) permet d'améliorer fortement l'efficacité de calcul. Dans la gamme de précisions qui nous intéresse, cette approche se révèle plus performante que les améliorations existantes (FFT, rotations et ondes planes), pour des distributions uniformes ou non.<br /> Outre une nouvelle structure de données pour l'octree sous-jacent et des contributions algorithmiques à la version adaptative, nous avons aussi efficacement parallélisé notre méthode en mémoire partagée et en mémoire distribuée. Enfin, des comparaisons avec des codes dédiés justifient l'intérêt de notre code pour des simulations en astrophysique.