Cette thèse traite de reconstruction d'images à partir de projections parallèles atténuées. Ce problème mathématique trouve son application principale en imagerie médicale, et en particulier en tomographie d'émission monophotonique avec correction d'atténuation sous l'hypothèse que l'atténuation (supposée quelconque) est connue et quelconque sur la région d'émission. Dans un premier temps, nous décrivons les principes physiologiques et mathématiques de la tomographie d'émission monophotonique. Ensuite, nous présentons une méthode de reconstruction itérative basée sur la prise en considération du phénomène d'atténuation, principal élément perturbateur en imagerie par émission monophotonique. Cette méthode est une généralisation de l'algorithme de reconstruction algébrique classique (ART); elle introduit un terme de correction d'atténuation exact. Finalement, nous exposerons des exemples numériques et nous discuterons de la performance de notre algorithme selon le choix de plusieurs paramètres.

The present thesis considers the problem of reconstructing a function f that is defined on the d-dimensional unit sphere from its mean values along hyperplane sections. In case of the two-dimensional sphere, these plane sections are circles. In many tomographic applications, however, only limited data is available. Therefore, one is interested in the reconstruction of the function f from its mean values with respect to only some subfamily of all hyperplane sections of the sphere. Compared with the full data case, the limited data problem is more challenging and raises several questions. The first one is the injectivity, i.e., can any function be uniquely reconstructed from the available data? Further issues are the stability of the reconstruction, which is closely connected with a description of the range, as well as the demand for actual inversion methods or algorithms. We provide a detailed coverage and answers of these questions for different families of hyperplane sections of the sphere such as vertical slices, sections with hyperplanes through a common point and also incomplete great circles. Such reconstruction problems arise in various practical applications like Compton camera imaging, magnetic resonance imaging, photoacoustic tomography, Radar imaging or seismic imaging. Furthermore, we apply our findings about spherical means to the cone-beam transform and prove its singular value decomposition. / Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem Problem der Rekonstruktion einer Funktion f, die auf der d-dimensionalen Einheitssphäre definiert ist, anhand ihrer Mittelwerte entlang von Schnitten mit Hyperebenen. Im Fall d=2 sind diese Schnitte genau die Kreise auf der Sphäre. In vielen tomografischen Anwendungen sind aber nur eingeschränkte Daten verfügbar. Deshalb besteht das Interesse an der Rekonstruktion der Funktion f nur anhand der Mittelwerte bestimmter Familien von Hyperebenen-Schnitten der Sphäre. Verglichen mit dem Fall vollständiger Daten birgt dieses Problem mehrere Herausforderungen und Fragen. Die erste ist die Injektivität, also können alle Funktionen anhand der gegebenen Daten eindeutig rekonstruiert werden? Weitere Punkte sind die die Frage nach der Stabilität der Rekonstruktion, welche eng mit einer Beschreibung der Bildmenge verbunden ist, sowie der praktische Bedarf an Rekonstruktionsmethoden und -algorithmen. Diese Arbeit gibt einen detaillierten Überblick und Antworten auf diese Fragen für verschiedene Familien von Hyperebenen-Schnitten, angefangen von vertikalen Schnitten über Schnitte mit Hyperebenen durch einen festen Punkt sowie Kreisbögen. Solche Rekonstruktionsprobleme treten in diversen Anwendungen auf wie der Bildgebung mittels Compton-Kamera, Magnetresonanztomografie, fotoakustischen Tomografie, Radar-Bildgebung sowie der Tomografie seismischer Wellen. Weiterhin nutzen wir unsere Ergebnisse über sphärische Mittelwerte, um eine Singulärwertzerlegung für die Kegelstrahltomografie zu zeigen.

Cette étude est consacrée aux distributions de partons généralisées (GPDs, de l'anglais Generalised Parton Distributions). Dans un premier temps, les principales propriétés des GPDs sont rappelées. On insiste notamment sur les propriétés dites de support et sur la polynomialité. Cette dernière est automatiquement respectée lorsque l'on modélise les GPDs au travers des doubles distributions (DDs), les GPDs s'écrivant comme la transformée de Radon des DDs.Dans le cas scalaire, deux DDs, notées F et G, sont nécessaires pour décrire la GPD H. Du fait de la relation intégrale existant entre H d'un côté, et F et G de l'autre, F et G sont définies de manière ambiguë. Cette ambiguïté est exploitée dans le présent travail afin de développer une nouvelle paramétrisation phénoménologique. Utilisant l'Ansatz de Radyushkin, il est possible d'obtenir un modèle réaliste de GPD, et de le comparer aux données expérimentales disponibles. Dans le cas présent, deux types de modèles, l'un négligeant la GPD E, l'autre en tenant compte, sont comparés aux données de diffusion Compton profondément virtuelle (DVCS) de la collaboration Hall A au Jeffeson Laboratory (JLab). Dans le premier cas, on observe une plus grande flexibilité de la paramétrisation par rapport aux précédentes, ce qui permet une meilleure comparaison aux données sur les sections efficaces indépendantes de l'hélicité du faisceau. Dans le second cas, seule la GPD E est profondément modifiée. De ce fait la comparaison aux données change peu par rapport aux modèles précédents. Seules des données plus sensibles à E permettront de trancher entre les paramétrisations.Afin de dépasser les paramétrisations phénoménologiques, un premier pas a été fait vers la description dynamique des hadrons. En utilisant les équations de Dyson-Schwinger, il a été possible de calculer analytiquement la GPD de pion dans le cadre de l'approximation du diagramme triangle. La comparaison aux données expérimentales disponibles (facteur de forme et PDF) s'est révélée très bonne. Il est également possible de montrer que l'approximation du diagramme triangle permet de retrouver le théorème de pion mou. Néanmoins, ce premier modèle ne respecte pas l'ensemble des propriétés des GPDs. Elle viole la symétrie d'échange x, 1-x, et par conséquent des termes supplémentaires, précédemment négligés, sont pris en compte. On peut ainsi obtenir la densité de probabilité de trouver un quark portant une fraction d'impulsion x dans le plan transverse. Des perspectives de calculs sur le cône de lumière sont présentés dans le dernier chapitre. / This study is devoted to generalised parton distributions (GPDs). First, the main properties of GPDs are given to the reader. One can stress the so-called support properties and the polynomiality property. The latter is automatically fulfiled when modeling GPDs from double distributions (DDs), GPDs being considered as the Radon transform of DDs. In the scalar case, two DDs denoted by F and G are required to describe the GPD H. Due to the integral relation existing between H on one hand, and F and G on the other hand, F and G are not defnied unambiguously. This ambiguity is exploited in the present work in order to develop a new phenomenological parametrisation. Using the Radyushkin Ansatz, it is then possible get a realistic model of GPDs, and to compare it with available experimental data. In the present case, two types of models, one neglecting the GPD E, the other taking it into account are compared with the Jlab Hall A DVCS data. In the former cae, one can notice a better flexibility allowing to better reproduced the beam-helicity independent cross sections. In the latter one, only the GPD E is deeply modified, and thus the comparison with available data does not change significantly with respect to previous parametrisations. Only data more sensitive to E will allow one to selet the most relevant parametrisation.In order to go beyond phenomenological parametrisations, a first step has been done toward a dynamical description of hadron structure. Using the Dyson-Schwinger equations, it has been possible to compute analytically the pion GPD within the triangle diagram approximation. The comparison with available data (Form factor and PDF) appears to be very good. Nevertheless, this first model does not fulfil all the required properties. Especially the soft pion theorem, which corresponds to a specific kinematical limit. It has been shown in this work that this is due to the violation of the Axial-Vector Ward-Takahashi identity, and that the triangle approximation is sufficient to ensure the sof pion theorem. Still it violates the exchange symmetry x, 1-x, and thus additional terms, previously neglected, are taken into account. It is then possible to compute the probability density to find a quark at a given position in the transverse plan carrying a given momentum fraction. Finally, perspective on lightcone computations are given in the last chapter.