In this thesis we investigate strongly-correlated states of ultracold bosonic atoms in rotating ring lattices and arrays of double-well potentials. In the first part of the thesis, we study the tunneling dynamics of ultracold bosons in double-well potentials. In the non-interacting limit single-particle transitions dominate, while in the interaction-dominated regime correlated tunneling of all particles prevails. At intermediate times of the many-particle flopping process correlated states occur, but the timescales of these processes increase dramatically with the number of particles. Using an array of double-well potentials, a large number of such few-particle superposition states can be produced in parallel. In the second part of the thesis, we study the effects of rotation on ultracold bosons confined to one-dimensional ring lattices. We find that at commensurate filling there exists a critical rotation frequency, at which the ground state of the weakly-interacting gas is fragmented into a macroscopic superposition of different quasi-momentum states. We demonstrate that the generation of such superposition states using slightly non-uniform ring lattices has several practical advantages. Moreover, we show that different quasi-momentum states can be distinguished in time-of-flight absorption imaging and propose to probe correlations via the many-body oscillations induced by a sudden change in the rotation frequency. Finally, we compare these macroscopic superposition states to those occurring in superconducting quantum interference devices. In the third part of the thesis, we demonstrate the creation of entangled states with ultracold bosonic atoms by dynamical manipulation of the shape of the lattice potential. To this end, we consider an optical superlattice that allows both the splitting of each site into a double-well potential and the variation of the height of the potential barrier between the sites. We show how to use this array of double-well potentials to perform entangling operations between neighboring qubits encoded on the Zeeman levels of the atoms. As one possible application, we present a method of realizing a resource state for measurement-based quantum computation via Bell-pair measurements. In the final part of the thesis, we study ultracold bosons on a two-dimensional square lattice in the presence of an effective magnetic field and point out a couple of features this system has in common with ultracold bosons in one-dimensional rotating ring lattices.

Die Dynamik anfänglich aus dem Gleichgewicht gebrachter wechselwirkender Quantenvielteilchensysteme wirft aktuell noch spannende Fragen auf. In Bezug auf die Thermalisierung ist z.B. nach wie vor ungeklärt, in welcher Form sie überhaupt stattfindet und in welchen Observablen bzw. auf welcher Zeitskala sie zu beobachten ist. Eine ideale Grundlage zur Erforschung von Relaxationsdynamiken in wechselwirkenden Vielteilchensystemen bieten ultrakalte Quantengase aufgrund ihrer guten Kontrollier- und Variierbarkeit. Ein allgemeiner theoretischer Rahmen, auf dessen Basis solche Prozesse zu untersuchen sind, steht jedoch infolge der großen Anzahl der beteiligten Freiheitsgrade bisher nicht zur Verfügung. Für ultrakalte bosonische Gase stellt die Gross-Pitaevskii-Gleichung eines der wichtigsten theoretischen Werkzeuge dar, eine klassische Feldgleichung für die Kondensatwellenfunktion in Molekularfeldnäherung. Die ihr zugrunde liegende Näherung erlaubt jedoch keine nicht-trivialen Aussagen über den vollen N-Teilchenzustand, dessen Kenntnis für die Untersuchung einer möglichen Relaxationsdynamik unabdingbar ist. Um der theoretischen Beschreibung des vollen bosonischen Feldes einen Schritt näher zu kommen, untersucht die vorliegende Arbeit die Anwendung semiklassischer Methoden auf ultrakalte Bosegase. Diese sind in der Regel dann sehr genau, wenn die beteiligten Wirkungen groß gegenüber dem Planckschen Wirkungsquantum sind. Für bosonische Felder wird dieser Grenzfall durch die Bedingung einer großen Teilchenzahl ersetzt. Die immense Anzahl an Teilchen in den hier behandelten Vielteilchensystemen macht die Anwendung semiklassischer Methoden auf diesem Gebiet also vielversprechend. Als zentrales Modellsystem wird ein anfänglich aus dem Gleichgewicht gebrachtes ultrakaltes bosonisches Doppelmuldensystem betrachtet, das eine hochinteressante Dynamik aufweist, die auf das Wechselspiel der Tunneldynamik einerseits und der Wechselwirkung der Teilchen untereinander andererseits zurückzuführen ist. Als Referenz lassen sich aufgrund der speziellen Fallengeometrie im Rahmen der Zwei-Moden-Näherung die Ergebnisse einer numerisch exakten Untersuchung heranziehen. Durch den Einsatz der namhaften WKB-Quantisierung und des besonders aus der Molekülphysik bekannten Reflexionsprinzips wird hier ein geschlossener analytischer Ausdruck für die sogenannte Populationsdifferenz im Doppelminimum hergeleitet, der ausschließlich von den wenigen relevanten Systemparametern abhängt. Diese mächtige Formel erlaubt es nun zum ersten Mal, in quantitativer Weise die charakteristische Sequenz aus Oszillationen, Kollapsen und Revivals in Abhängigkeit der vorausgesetzten Parameter zu untersuchen. Nach dieser ersten erfolgreichen Anwendung semiklassischer Methoden im Modellsystem wird über die reduzierte Dynamik der Populationsdifferenz hinausgegangen. Mithilfe des semiklassischen Herman-Kluk-Propagators lässt sich selbst der volle N-Teilchenzustand untersuchen. Da es letztlich um die Beschreibung ultrakalter Bosonen in beliebigen Potentialen gehen soll, wird zunächst der Herman-Kluk-Propagator für eine Feldtheorie vorgestellt. Im Doppelmuldensystem zeigt sich dann in der Anwendung die semiklassische Propagation in der Lage, für alle untersuchten Parameterregime gute Übereinstimmung mit den numerisch exakten Ergebnissen zu liefern. Zusätzlich findet ein Abgleich der Resultate mit der Truncated Wigner Approximation statt, auf die im Forschungsgebiet ultrakalter Bosonen häufig zurück gegriffen wird. Diese beschreibt die Zeitentwicklung einer Wignerverteilung unter Aussparung der Quanteninterferenzen. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, dass die Herman-Kluk-Propagation unter Berücksichtigung der Phasen weit über die Truncated Wigner Approximation hinausgeht: Sie gibt alle wichtigen Charakteristika der Dynamik im Doppelmuldensystem wieder. Um die Semiklassik auf ihre Aussagefähigkeit in Bezug auf eine noch komplexere Dynamik zu untersuchen, wird zum Abschluss das Drei-Topf-System betrachtet, das zusätzlich chaotische Regionen im Phasenraum aufweist. Auch hier zeigt sich, dass die semiklassische Berücksichtigung der Phasen die Truncated Wigner Approximation in den Schatten stellt. Allerdings ergeben sich durch die Instabilität der Trajektorien für stark chaotische Regime numerische Probleme, die es in der Zukunft zu lösen gilt. / The dynamics of initially non equilibrium interacting quantum many body systems is an ongoing and interesting field of research. It is still an open question in which form relaxation occurs in such systems, and in which observables and on which timescales a possible thermalization might appear. A perfect playground for the investigations of relaxation dynamics in interacting many body schemes is provided by ultracold quantum gases, which are easily to be controlled and varied in experiments. However, a general theoretical framework for the investigation of such processes is still missing, due to the huge amount of involved degrees of freedom. One of the main theoretical tools in the field of ultracold bosonic gases represents the famous Gross-Pitaevskii equation, a field equation for the Bose-Einstein condensate wave function in terms of a mean-field approximation. However, the underlying approximation prevents the possibility to draw non-trivial conclusions about the full N-particle state, the information of which is necessary for the analysis of relaxation processes. To gain the theoretical description of the full bosonic field, the present thesis deals with the application of semiclassical methods to ultracold boson gases. Those techniques become in general exact, as long as the involved actions are large compared to Planck's constant. For many body systems it turns out that semiclassics are expected to give good results also for the condition of high particle numbers, which is precisely fulfilled in these schemes, making the semiclassical approaches promising. As an essential model system an initially out of equilibrium ultracold bosonic double-well system is investigated. This configuration provides highly interesting dynamics due to the interplay of the tunneling dynamics on the one hand and the interaction amongst the particles on the other. The special trap geometry makes exact numerical calculations in the framework of the two-mode approximation available, which serve in the following as reference data. By applying the common semiclassical WKB approximation and the reflection principle known from molecule physics, a closed analytical expression for the so-called population imbalance of the bosons in the double-well is derived, depending only on the few relevant system parameters. This mighty formula allows for the first time the quantitative investigation of the characteristic sequence consisting of oscillations, collapse and revivals in dependence on the parameters of the system. Since the semiclassical approaches succeeded for the double-well model so far the so-called Herman-Kluk propagator is adopted, to go beyond the reduced dynamics of the population imbalance. The propagator provides the possibility to treat the full N-particle state theoretically and is introduced for the most general case of a bosonic quantum field. Its application to the double-well system yields for all investigated parameter regimes very good agreement with the numerical exact results. Furthermore the outcomes are compared to the Truncated Wigner approximation, which is frequently used in the research field of ultracold bosons. This approach pictures the time evolution of a Wigner distribution, without taking into account the quantum interferences. In the present thesis it is shown that the Herman-Kluk propagation goes clearly beyond the truncated Wigner approach by considering in addition the quantum phases: The propagator is able to reproduce all of the distinctive features of the double-well dynamics. In order to test the performance of semiclassical methods in matters of even more complex systems, the ultracold bosonic triple-well model is finally considered, which exhibits unlike the double-well scheme chaotic regions in phase space. It turns out that the semiclassical propagation outplays again the truncated Wigner approximation. On the other hand the instability of the highly chaotic trajectories causes numerical problems, which have to be solved in the future.

Cold bosonic atoms trapped in optical lattices formed by standing wave interference patterns of multiple laser beams constitute excellent emulators of models of strongly correlated quantum systems of bosons. In this thesis, we develop and deploy strong-coupling expansion (i.e., an expansion in terms of the ratio of the inter-site hopping amplitude of the bosons to the strength of their interactions) techniques for studying the properties of three different instances of such systems. In the first instance, we have used strong coupling expansion techniques to calculate the density pro le for bosonic atoms trapped in an optical lattice with an overall harmonic trap at finite temperatures and large on site interaction in the presence of super fluid regions. Our results match well with quantum Monte Carlo simulations at finite temperature. We present calculations for the entropy per particle as a function of temperature which can be used to calibrate the temperature in experiments. Our calculations for the scaled density in the vacuum-to-super fluid transition agree well with the experimental data for appropriate temperatures. We also discuss issues connected with the demonstration of universal quantum critical scaling in the experiments. Experimental realizations of “atomtronic" Josephson junctions have recently been created in annular traps in relative rotation with respect to potential barriers that generate the weak links. If these devices are additionally subjected to optical lattice potentials, then they can incorporate strong-coupling Mott physics within the design, which can modify the behaviour and can allow for interesting new configurations of system generated barriers and of super fluid ow patterns. we have examined theoretically the behavior of a Bose super fluid in an optical lattice in the presence of an annular trap and a barrier across the annular region which acts as a Josephson junction. As the fluid is rotated relative to the barrier, it generates circulating super-currents until, at larger speeds of rotation, it develops phase slips which are typically accompanied by vortices. We use a finite temperature strong-coupling expansion about the mean- held solution of the Bose Hubbard model to calculate various properties of the device. In addition, we discuss some of the rich behavior that can result when there are Mott regions within the system. Rubidium-Cesium dipolar molecule formation through Feshbach resonance is an area of great current interest, for, the dipolar molecules, once formed, interact via v long range dipolar forces, leading to possibilities of novel phases. Experimentalists currently make such systems mostly using trial and error, and the resulting efficiencies for molecule formation tend to be low. With a goal to assist cold-atom experimentalists to achieve higher e ciencies of molecule formation, we have estimated the trap parameters for Rb and Cs atoms in a 3D optical lattice required to create single occupancy per site Mott phase for both the species in the same regions of the trap. We thus identify the ne tuning of the external magnetic held near Rb-Cs Feshbach resonance required to achieve highest probability for creating single Rb-Cs Feshbach molecules in the system. We have used the Falicov-Kimball model to describe the relevant system and strong-coupling expansions about the mean- held solution to calculate the density pro les for both species and efficiency for molecule formation, determined by overlapping regions of single occupancy for both Rb and Cs, up to second order in the expansion. We also calculate the entropy per particle which serves as an estimation of the temperature in the experimental system

Die Dynamik anfänglich aus dem Gleichgewicht gebrachter wechselwirkender Quantenvielteilchensysteme wirft aktuell noch spannende Fragen auf. In Bezug auf die Thermalisierung ist z.B. nach wie vor ungeklärt, in welcher Form sie überhaupt stattfindet und in welchen Observablen bzw. auf welcher Zeitskala sie zu beobachten ist. Eine ideale Grundlage zur Erforschung von Relaxationsdynamiken in wechselwirkenden Vielteilchensystemen bieten ultrakalte Quantengase aufgrund ihrer guten Kontrollier- und Variierbarkeit. Ein allgemeiner theoretischer Rahmen, auf dessen Basis solche Prozesse zu untersuchen sind, steht jedoch infolge der großen Anzahl der beteiligten Freiheitsgrade bisher nicht zur Verfügung. Für ultrakalte bosonische Gase stellt die Gross-Pitaevskii-Gleichung eines der wichtigsten theoretischen Werkzeuge dar, eine klassische Feldgleichung für die Kondensatwellenfunktion in Molekularfeldnäherung. Die ihr zugrunde liegende Näherung erlaubt jedoch keine nicht-trivialen Aussagen über den vollen N-Teilchenzustand, dessen Kenntnis für die Untersuchung einer möglichen Relaxationsdynamik unabdingbar ist. Um der theoretischen Beschreibung des vollen bosonischen Feldes einen Schritt näher zu kommen, untersucht die vorliegende Arbeit die Anwendung semiklassischer Methoden auf ultrakalte Bosegase. Diese sind in der Regel dann sehr genau, wenn die beteiligten Wirkungen groß gegenüber dem Planckschen Wirkungsquantum sind. Für bosonische Felder wird dieser Grenzfall durch die Bedingung einer großen Teilchenzahl ersetzt. Die immense Anzahl an Teilchen in den hier behandelten Vielteilchensystemen macht die Anwendung semiklassischer Methoden auf diesem Gebiet also vielversprechend. Als zentrales Modellsystem wird ein anfänglich aus dem Gleichgewicht gebrachtes ultrakaltes bosonisches Doppelmuldensystem betrachtet, das eine hochinteressante Dynamik aufweist, die auf das Wechselspiel der Tunneldynamik einerseits und der Wechselwirkung der Teilchen untereinander andererseits zurückzuführen ist. Als Referenz lassen sich aufgrund der speziellen Fallengeometrie im Rahmen der Zwei-Moden-Näherung die Ergebnisse einer numerisch exakten Untersuchung heranziehen. Durch den Einsatz der namhaften WKB-Quantisierung und des besonders aus der Molekülphysik bekannten Reflexionsprinzips wird hier ein geschlossener analytischer Ausdruck für die sogenannte Populationsdifferenz im Doppelminimum hergeleitet, der ausschließlich von den wenigen relevanten Systemparametern abhängt. Diese mächtige Formel erlaubt es nun zum ersten Mal, in quantitativer Weise die charakteristische Sequenz aus Oszillationen, Kollapsen und Revivals in Abhängigkeit der vorausgesetzten Parameter zu untersuchen. Nach dieser ersten erfolgreichen Anwendung semiklassischer Methoden im Modellsystem wird über die reduzierte Dynamik der Populationsdifferenz hinausgegangen. Mithilfe des semiklassischen Herman-Kluk-Propagators lässt sich selbst der volle N-Teilchenzustand untersuchen. Da es letztlich um die Beschreibung ultrakalter Bosonen in beliebigen Potentialen gehen soll, wird zunächst der Herman-Kluk-Propagator für eine Feldtheorie vorgestellt. Im Doppelmuldensystem zeigt sich dann in der Anwendung die semiklassische Propagation in der Lage, für alle untersuchten Parameterregime gute Übereinstimmung mit den numerisch exakten Ergebnissen zu liefern. Zusätzlich findet ein Abgleich der Resultate mit der Truncated Wigner Approximation statt, auf die im Forschungsgebiet ultrakalter Bosonen häufig zurück gegriffen wird. Diese beschreibt die Zeitentwicklung einer Wignerverteilung unter Aussparung der Quanteninterferenzen. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, dass die Herman-Kluk-Propagation unter Berücksichtigung der Phasen weit über die Truncated Wigner Approximation hinausgeht: Sie gibt alle wichtigen Charakteristika der Dynamik im Doppelmuldensystem wieder. Um die Semiklassik auf ihre Aussagefähigkeit in Bezug auf eine noch komplexere Dynamik zu untersuchen, wird zum Abschluss das Drei-Topf-System betrachtet, das zusätzlich chaotische Regionen im Phasenraum aufweist. Auch hier zeigt sich, dass die semiklassische Berücksichtigung der Phasen die Truncated Wigner Approximation in den Schatten stellt. Allerdings ergeben sich durch die Instabilität der Trajektorien für stark chaotische Regime numerische Probleme, die es in der Zukunft zu lösen gilt. / The dynamics of initially non equilibrium interacting quantum many body systems is an ongoing and interesting field of research. It is still an open question in which form relaxation occurs in such systems, and in which observables and on which timescales a possible thermalization might appear. A perfect playground for the investigations of relaxation dynamics in interacting many body schemes is provided by ultracold quantum gases, which are easily to be controlled and varied in experiments. However, a general theoretical framework for the investigation of such processes is still missing, due to the huge amount of involved degrees of freedom. One of the main theoretical tools in the field of ultracold bosonic gases represents the famous Gross-Pitaevskii equation, a field equation for the Bose-Einstein condensate wave function in terms of a mean-field approximation. However, the underlying approximation prevents the possibility to draw non-trivial conclusions about the full N-particle state, the information of which is necessary for the analysis of relaxation processes. To gain the theoretical description of the full bosonic field, the present thesis deals with the application of semiclassical methods to ultracold boson gases. Those techniques become in general exact, as long as the involved actions are large compared to Planck's constant. For many body systems it turns out that semiclassics are expected to give good results also for the condition of high particle numbers, which is precisely fulfilled in these schemes, making the semiclassical approaches promising. As an essential model system an initially out of equilibrium ultracold bosonic double-well system is investigated. This configuration provides highly interesting dynamics due to the interplay of the tunneling dynamics on the one hand and the interaction amongst the particles on the other. The special trap geometry makes exact numerical calculations in the framework of the two-mode approximation available, which serve in the following as reference data. By applying the common semiclassical WKB approximation and the reflection principle known from molecule physics, a closed analytical expression for the so-called population imbalance of the bosons in the double-well is derived, depending only on the few relevant system parameters. This mighty formula allows for the first time the quantitative investigation of the characteristic sequence consisting of oscillations, collapse and revivals in dependence on the parameters of the system. Since the semiclassical approaches succeeded for the double-well model so far the so-called Herman-Kluk propagator is adopted, to go beyond the reduced dynamics of the population imbalance. The propagator provides the possibility to treat the full N-particle state theoretically and is introduced for the most general case of a bosonic quantum field. Its application to the double-well system yields for all investigated parameter regimes very good agreement with the numerical exact results. Furthermore the outcomes are compared to the Truncated Wigner approximation, which is frequently used in the research field of ultracold bosons. This approach pictures the time evolution of a Wigner distribution, without taking into account the quantum interferences. In the present thesis it is shown that the Herman-Kluk propagation goes clearly beyond the truncated Wigner approach by considering in addition the quantum phases: The propagator is able to reproduce all of the distinctive features of the double-well dynamics. In order to test the performance of semiclassical methods in matters of even more complex systems, the ultracold bosonic triple-well model is finally considered, which exhibits unlike the double-well scheme chaotic regions in phase space. It turns out that the semiclassical propagation outplays again the truncated Wigner approximation. On the other hand the instability of the highly chaotic trajectories causes numerical problems, which have to be solved in the future.