Assumindo a existência de $\\mathfrak c$ ultrafiltros seletivos dois a dois incomparáveis (segundo a ordem de Rudin-Keisler) provamos que o grupo abeliano livre de cardinalidade $\\mathfrak c$ admite uma topologia de grupo enumeravelmente compacta com uma seqüência não trivial convergente. Sob as mesmas hipóteses, mostramos que um grupo topológico abeliano quase livre de torção $(G, +, \\tau)$ com $|G| = |\\tau| = \\mathfrak c$ admite uma topologia independente de $\\tau$ que o torna um grupo topológico e caracterizamos algebricamente os grupos abelianos de não torção que têm cardinalidade $\\mathfrak c$ e que admitem uma topologia de grupo enumeravelmente compacta (sem seqüências não triviais convergentes). Provamos, ainda, que o grupo abeliano livre de cardinalidade $\\mathfrak c$ admite uma topologia de grupo que torna seu quadrado enumeravelmente compacto e construímos um semigrupo de Wallace cujo quadrado é, também, enumeravelmente compacto. Por fim, assumindo a existência de $2^{\\mathfrak c}$ ultrafiltros seletivos, garantimos que se um grupo abeliano de não torção e cardinalidade $\\mathfrak c$ admite uma topologia de grupo enumeravelmente compacta, então o mesmo admite $2^{\\mathfrak c}$ topologias de grupo enumeravelmente compactas (duas a duas não homeomorfas). / Assuming the existence of $\\mathfrak c$ pairwise incomparable selective ultrafilters (according to the Rudin-Keisler ordering) we prove that the free abelian group of cardinality $\\mathfrak c$ admits a countably compact group topology that contains a non-trivial convergent sequence. Under the same hypothesis, we show that an abelian almost torsion-free topological group $(G, +, \\tau)$ with $|G| = |\\tau| = \\mathfrak c$ admits a group topology independent of $\\tau$ and we algebraically characterize the non-torsion abelian groups of cardinality $\\mathfrak c$ which admit a countably compact group topology (without non-trivial convergent sequences). We also prove that the free abelian group of cardinality $\\mathfrak c$ admits a group topology that makes its square countably compact and we construct a Wallace\'s semigroup whose square is countably compact. Finally, assuming the existence of $2^$ selective ultrafilters, we ensure that if a non-torsion abelian group of cardinality $\\mathfrak c$ admits a countably compact group topology, then it admits $2^$ (pairwise non-homeomorphic) countably compact group topologies.

Assumindo a existência de $\\mathfrak c$ ultrafiltros seletivos dois a dois incomparáveis (segundo a ordem de Rudin-Keisler) provamos que o grupo abeliano livre de cardinalidade $\\mathfrak c$ admite uma topologia de grupo enumeravelmente compacta com uma seqüência não trivial convergente. Sob as mesmas hipóteses, mostramos que um grupo topológico abeliano quase livre de torção $(G, +, \\tau)$ com $|G| = |\\tau| = \\mathfrak c$ admite uma topologia independente de $\\tau$ que o torna um grupo topológico e caracterizamos algebricamente os grupos abelianos de não torção que têm cardinalidade $\\mathfrak c$ e que admitem uma topologia de grupo enumeravelmente compacta (sem seqüências não triviais convergentes). Provamos, ainda, que o grupo abeliano livre de cardinalidade $\\mathfrak c$ admite uma topologia de grupo que torna seu quadrado enumeravelmente compacto e construímos um semigrupo de Wallace cujo quadrado é, também, enumeravelmente compacto. Por fim, assumindo a existência de $2^{\\mathfrak c}$ ultrafiltros seletivos, garantimos que se um grupo abeliano de não torção e cardinalidade $\\mathfrak c$ admite uma topologia de grupo enumeravelmente compacta, então o mesmo admite $2^{\\mathfrak c}$ topologias de grupo enumeravelmente compactas (duas a duas não homeomorfas). / Assuming the existence of $\\mathfrak c$ pairwise incomparable selective ultrafilters (according to the Rudin-Keisler ordering) we prove that the free abelian group of cardinality $\\mathfrak c$ admits a countably compact group topology that contains a non-trivial convergent sequence. Under the same hypothesis, we show that an abelian almost torsion-free topological group $(G, +, \\tau)$ with $|G| = |\\tau| = \\mathfrak c$ admits a group topology independent of $\\tau$ and we algebraically characterize the non-torsion abelian groups of cardinality $\\mathfrak c$ which admit a countably compact group topology (without non-trivial convergent sequences). We also prove that the free abelian group of cardinality $\\mathfrak c$ admits a group topology that makes its square countably compact and we construct a Wallace\'s semigroup whose square is countably compact. Finally, assuming the existence of $2^$ selective ultrafilters, we ensure that if a non-torsion abelian group of cardinality $\\mathfrak c$ admits a countably compact group topology, then it admits $2^$ (pairwise non-homeomorphic) countably compact group topologies.

A área conhecida como Análise Não Standard consiste na aplicação dos métodos da Teoria dos Modelos e da Teoria dos Ultrafiltros para a obtenção de extensões peculiares de sistemas matemáticos infinitos. As novas estruturas construídas segundo esse procedimento satisfazem ao Princípio da Transferência, uma propriedade de suma importância e influência a qual afirma que as mesmas sentenças de primeira ordem com quantificadores limitados são verdadeiras para o sistema original e a sua extensão. Concebida em 1961 por Abraham Robinson e aprimorada por vários matemáticos nos anos subsequentes, tal área de pesquisa provou ser bastante proveitosa e esclarecedora para diversas outras partes da Matemática, como a Topologia, a Teoria das Probabilidades, a Análise Funcional e a Análise Complexa. Manifesta-se uma reavaliação da Teoria dos Domínios Ordenados seguida de um tratamento completo e gradual das fundações da Análise Não Standard assumindo a perspectiva dos Monomorfismos Não Standard, onde adota-se como metateoria a teoria dos conjuntos de Neumann-Bernays-Gödel com o Axioma da Escolha. A fim de impulsionar a assimilação da metodologia abordada, o estudo explora as propriedades do corpo não arquimediano dos números hiper-reais de maneira intuitiva e informal, utilizando-se destas para revelar demonstrações alternativas e relativamente diretas de alguns dos principais resultados do Cálculo Diferencial e Integral, como o Teorema do Valor Intermediário, o Teorema de Bolzano-Weierstrass, o Teorema do Ponto Crítico, o Teorema da Função Inversa e o Teorema Fundamental do Cálculo. / The field known as Non-standard Analysis consists in the application of the methods of Model Theory and Ultrafilter Theory to the attainment of peculiar extensions of infinite mathematical systems. The new structures produced under that procedure satisfy the Transfer Principle, a property of the utmost importance and influence which states that the same first-order sentences with bounded quantifiers are true for the original system and its extension. Conceived in 1961 by Abraham Robinson and improved by a number of mathematicians in the following years, such area of research has proved to be very fruitful and illuminating to many other parts of Mathematics, such as Topology, Probability Theory, Functional Analysis and Complex Analysis. The work presents a reexamination of the Theory of Ordered Domains followed by a thorough and gradual treatment of the foundations of Non-standard Analysis under the perspective of Non-standard Monomorphisms, where Neumann-Bernays-Gödels set theory with the Axiom of Choice is adopted as metatheory. In order to boost the assimilation of the methodology put forward, the study explores the properties of the non-archimedean field of hyperreal numbers in an intuitive and informal fashion, employing them to reveal alternative and relatively direct proofs of some of the main results of Differential and Integral Calculus, such as the Intermediate Value Theorem, the Bolzano-Weierstrass Theorem, the Extreme Value Theorem, the Inverse Function Theorem and the Fundamental Theorem of Calculus.

A área conhecida como Análise Não Standard consiste na aplicação dos métodos da Teoria dos Modelos e da Teoria dos Ultrafiltros para a obtenção de extensões peculiares de sistemas matemáticos infinitos. As novas estruturas construídas segundo esse procedimento satisfazem ao Princípio da Transferência, uma propriedade de suma importância e influência a qual afirma que as mesmas sentenças de primeira ordem com quantificadores limitados são verdadeiras para o sistema original e a sua extensão. Concebida em 1961 por Abraham Robinson e aprimorada por vários matemáticos nos anos subsequentes, tal área de pesquisa provou ser bastante proveitosa e esclarecedora para diversas outras partes da Matemática, como a Topologia, a Teoria das Probabilidades, a Análise Funcional e a Análise Complexa. Manifesta-se uma reavaliação da Teoria dos Domínios Ordenados seguida de um tratamento completo e gradual das fundações da Análise Não Standard assumindo a perspectiva dos Monomorfismos Não Standard, onde adota-se como metateoria a teoria dos conjuntos de Neumann-Bernays-Gödel com o Axioma da Escolha. A fim de impulsionar a assimilação da metodologia abordada, o estudo explora as propriedades do corpo não arquimediano dos números hiper-reais de maneira intuitiva e informal, utilizando-se destas para revelar demonstrações alternativas e relativamente diretas de alguns dos principais resultados do Cálculo Diferencial e Integral, como o Teorema do Valor Intermediário, o Teorema de Bolzano-Weierstrass, o Teorema do Ponto Crítico, o Teorema da Função Inversa e o Teorema Fundamental do Cálculo. / The field known as Non-standard Analysis consists in the application of the methods of Model Theory and Ultrafilter Theory to the attainment of peculiar extensions of infinite mathematical systems. The new structures produced under that procedure satisfy the Transfer Principle, a property of the utmost importance and influence which states that the same first-order sentences with bounded quantifiers are true for the original system and its extension. Conceived in 1961 by Abraham Robinson and improved by a number of mathematicians in the following years, such area of research has proved to be very fruitful and illuminating to many other parts of Mathematics, such as Topology, Probability Theory, Functional Analysis and Complex Analysis. The work presents a reexamination of the Theory of Ordered Domains followed by a thorough and gradual treatment of the foundations of Non-standard Analysis under the perspective of Non-standard Monomorphisms, where Neumann-Bernays-Gödels set theory with the Axiom of Choice is adopted as metatheory. In order to boost the assimilation of the methodology put forward, the study explores the properties of the non-archimedean field of hyperreal numbers in an intuitive and informal fashion, employing them to reveal alternative and relatively direct proofs of some of the main results of Differential and Integral Calculus, such as the Intermediate Value Theorem, the Bolzano-Weierstrass Theorem, the Extreme Value Theorem, the Inverse Function Theorem and the Fundamental Theorem of Calculus.

[pt] Existem diferentes estilos de cálculos dedutivos, usados para derivar os teoremas de uma lógica. Os mais habituais são os sistemas axiomáticos; mas, do ponto de vista da teoria da prova, os sistemas em dedução natural parecem ser mais interessantes. Essa é a motivação que leva ao desenvolvimento de técnicas que visam a facilitar a transformação de um cálculo dedutivo para o estilo em dedução natural. Esse trabalho se concentra no aspecto de modelar regras para os quantificadores da linguagem considerada e, para isso, faz uso de rótulos. Após uma apresentação intuitiva da técnica desenvolvida, passa-se à exposição de sistemas lógicos tratados pelo método: lógica de ultrafiltros, lógica de filtros, CTL, lógica de Keisler e CTL*. Em cada caso, analisam-se aspectos de teoria da prova. / [en] There are many kinds of deductive calculus. The axiomatic ones are the more usual. However, from the point of view of proof theory, Natural Deduction systems seem to be more interesting. This is the motivation for developping a technique that aims to ease the transformation from deductive calculus to Natural Deduction style. This work concentrates on the aspect of modeling the rules for the quantifiers of the logic considered, and for this purpose labels are used. After an intuitive presentation of the technique developped, some logical systems are treated by the method: ultrafilter logic, filter logic, CTL, Keisler`s logic and CTL*. For each one of them proof-theoretical aspects are analysed.