[pt] Na antologia que M.E. Szabo realizara dos trabalhos de Gentzen e publicara em 1969 se transcrevem, em um apêndice, algumas passagens apresentadas por Bernays ao editor pertencentes a uma primeira prova de consistência para a Aritmética de Peano realizada por Gentzen que não tinha sido publicada até então. À diferença das outras provas de consistência realizadas por Gentzen e já conhecidas na década de trinta, esta prova não utiliza o procedimento de indução transfinita até e0. Ao contrário, baseia-se na definição de um processo de redução de seqüentes que se associa sistematicamente a todo seqüente derivável permitindo reconhecê-lo como verdadeiro. Nós reconstruímos essa prova realizando algumas variações e estudamos o modo pelo qual a técnica principal utilizada (a definição do processo de redução de seqüentes) pode ser vista em relação a resultados da lógica clássica de primeira ordem tais como provas de completude. A parte central da nossa dissertação é a realização de uma versão desta prova de consistência para um sistema formal para a Aritmética de Heyting. / [en] In the antology of Gentzens works made by M.E.Szabo and published in 1969, we find out in an appendix, some passages presented by Bernays to the editor. These texts belong to a first proof of Peanos Arithmetic consistency that Gentzen did not publish. In a different way from the other proofs of consistency made by Gentzen and already known in the thirties, this proof does not use the procedure of transfinite induction up to e0. On the contrary, it is based on the definition of a reduction process for sequents that is systematically associated to every derivable sequent allowing us to recognize it as a true sequent. We reconstructed this proof making some variations and we studied how the main technique used (the definition of the reduction process) could be seen in relation with other results of first order logic like proofs of completness. The main part of our dissertation is another version of this consistency proof for a formal system for Heyting Arithmetic.

[pt] O tamanho das provas formais possui algumas importantes implicações teóricas na área da complexidade computacional. O problema de determinar se uma fórmula é uma tautologia da Lógica Proposicional Intuicionista e do fragmento puramente implicacional da Lógica Minimal (M(contém)) é PSPACE- Completo. Qualquer lógica proposicional com um sistema de dedução natural que satisfaça o princípio da subfórmula possui o problema de determinar tautologias em PSPACE. Saber se qualquer tautologia em M(contém) admite provas de tamanho polinomialmente limitado está relacionado com saber se NP = PSPACE. Técnicas de compressão de provas reportadas na literatura utilizam duas abordagens principais para comprimir provas: gerar provas já compactadas; comprimir uma prova já gerada. Proposta por Gordeev e Haeusler (6), a Compressão Horizontal é uma técnica de compressão de provas em dedução natural da M(contém) que utiliza grafos direcionados para representar as provas. Dada a prova de uma tautologia qualquer da M(contém), que pode possuir tamanho exponencial em relação ao tamanho da conclusão, o objetivo da Compressão Horizontal é que a prova resultante da compressão possua tamanho polinomialmente limitado em relação ao tamanho da conclusão. Nosso trabalho apresenta a primeira implementação da Compressão Horizontal, juntamente com os primeiros resultados da aplicação da técnica sobre provas de tautologias da M(contém), além disso, compara as taxas de compressão obtidas com técnicas tradicionais de compressão de dados. / [en] The size of formal proofs has some important theoretical implications in computational complexity theory. The problem of determining if some formula of Intuitionistic Propositional Logic and the purely implicational fragment of Minimal Logic (M(contains)) is a tautology is PSPACE-Complete. Any propositional logic with a natural deduction system that satisfies the sub- formula principle is PSPACE. To know if any tautology in M(contains) admits polynomially sized proof is related to whether NP = PSPACE. Proof compression techniques reported in literature use two main approaches to proof compressing: generating already compressed proofs; compressing an already generated proof. Proposed by Gordeev and Haeusler (6), the Horizontal Compression is a natural deduction proof compression technique that uses directed graphs to represent proofs. Given a tautology proof in M(contains), which may have an exponential size in relation to conclusion length, the goal of Horizontal Compression is that the compressed proof has a polynomially limited size in relation to conclusion length. Our work presents the first implementation of Horizontal Compression, together with the first results of the execution of the technique on proofs of M(contains) tautologies.

[pt] A primeira apresentação de um Cálculo de Seqüentes foi feita por Gerhard Gentzen na década de 1930. Neste tipo de sistema, a diferença entre as versões clássica e intuicionista radicardinalidade do sucedente. O sucedente múltiplo foi tradicionalmente considerado como o elemento que representava o aspecto clássico do sistema, enquanto os seqüentes intuicionistas podiam ter, no máximo, uma fórmula no sucedente. Nas décadas seguintes foram formulados diversos cálculos intuicionistas de sucedente múltiplo que atenuaram essa restrição forte na cardinalidade do sucedente. Na década de 1990, estudou-se a relação de conexão ou dependência entre as fórmulas visando assegurar o caráter intuicionista dos sistemas. Nós realizamos uma revisão dos sistemas de se seqüentes intuicionistas e algumas das suas aplicações. Apresentamos a versão do sistema FIL (feita para o caso proposicional por De Paiva e Pereira) para a lógica intuicionista de primeira ordem provando que o mesmo é correto, completo e satisfaz eliminação de corte. / [en] The first Sequent Calculus was presented by Gerhard Gentzen in the thirties. In this system, the difference between intuitionistic logic and classical logic is based on the cardinality of the succedent. Traditionally, the multiple succedent was considered the element that preserved the classical aspect of the system, while intuitionistic sequents have, at most, one formula in the succedent. In the following decades, several multiple succedent intuitionistic calculus were presented that diminish shed this st strong restriction in the cardinality of the su succedent. In the decade of 1990, this cardinality restriction was replaced by a dependency relation between the formula ocurrences in the antecedent and in the succedent of a sequent in order to ensure the intuitionistic character of the system. We make a revision of the intuitionistic systems and some of their applications. We present a version of the system FIL (accomplish shed for the propositional case by De Paiva and Pereira) for first-order logic proving that it is sound, complete and that it satisfies the cut-elimination theorem.

[pt] O objetivo desta dissertação é construir um tableaux linear intuicionista a partir de um cálculo de sequentes relevante clássico. Os passos principais dessa construção são: i) tradução das regras do cálculo dos sequentes relevante clássico para regras de tableaux (capítulo 3), usando a estratégia apresentada por D Agostino et al. em Tableau Methods for Substructural Logic. ii) construção de um tableaux linear clássico através da linearização do tableaux clássico relevante (capítulo 4). iii) apresentar um tableau intuicionista ao estilo Fitting, em que são adicionados rótulos T s e F s às fórmulas (capítulo 5). / [en] The main goal of this master tesis is intuitionistic linear tableaux from a relevant sequent calculus. The central steps are: i) Apply D Agostino et al. strategy to translate classical relevant sequent calculus rules to tableaux rules for classical relevant logic (Chapter 3). ii) Use Meyer et al. strategy to linearize the classical relevant tableaux (Chapter 4). iii) Build a new intuicionistic linear tableaux with Fitting labels.

[pt] É um fato conhecido que provas clássicas podem ser demasiadamente grandes. Estudos em teoria da prova descobriram diferenças exponenciais entre provas normais (ou provas livres do corte) e suas respectivas provas não normais. Por outro lado, provadores automáticos de teorema usualmente se baseiam na construção de provas normais, livres de corte ou provas de corte atômico, pois tais procedimento envolvem menos escolhas. Provas de algumas tautologias são conhecidamente grandes quanto realizadas sem a regra do corte e curtas quando a utilizam. Queremos com este trabalho apresentar procedimentos para reduzir o tamanho de provas proposicionais. Neste sentido, apresentamos dois métodos. O primeiro, denominado método vertical, faz uso de axiomas de extensão e alguns casos é possível uma redução considerável no tamanho da prova. Apresentamos um procedimento que gera tais axiomas de extensão. O segundo, denominado método horizontal, adiciona fórmulas máximas por meio de unificação via substituição de variáveis proposicionais. Também apresentamos um método que gera tal unificação durante o processo de construção da prova. O primeiro método é aplicado a dedução natural enquanto o segundo à Dedução Natural e Cálculo de Seqüentes. As provas produzidas correspondem de certo modo a provas não normais (com a regra do corte). / [en] It is well-known that the size of propositional classical proofs can be huge. Proof theoretical studies discovered exponential gaps between normal or cut-free proofs and their respective non-normal proofs. The task of automatic theorem proving is, on the other hand, usually based on the construction of normal, cut-free or only-atomic-cuts proofs, since this procedure produces less alternative choices. There are familiar tautologies such that the cut-free proof is huge while the non-cut-free is small. The aim of this work is to reduce the weight of proposicional deductions. In this sense we present two methods. The fi first, namely vertical method, uses the extension axioms. We present a method that generates a such extension axiom. The second, namely horizontal method, adds suitable (propositional) unifi fications modulo variable substitutions.We also present a method that generates a such unifi fication during the proving process. The proofs produced correspond in a certain way to non normal proofs (non cut-free proofs).

[pt] Segerberg apresentou uma prova geral da completude para lógicas proposicionais. Para tal, um sistema de dedução foi definido de forma que suas regras sejam regras para um operador booleano arbitrário para uma dada lógica proposicional. Cada regra desse sistema corresponde a uma linha na tabela de verdade desse operador. Na primeira parte desse trabalho, mostramos uma extensão da ideia de Segerberg para lógicas proposicionais finito-valoradas e para lógicas não-determinísticas. Mantemos a ideia de definir um sistema de dedução cujas regras correspondam a linhas de tabelas verdade, mas ao invés de termos um tipo de regra para cada valor de verdade da lógica correspondente, usamos uma representação bivalente que usa a técnica de fórmulas separadoras definidas por Carlos Caleiro e João Marcos. O sistema definido possui tantas regras que pode ser difícil trabalhar com elas. Acreditamos que um sistema de cálculo de sequentes definido de forma análoga poderia ser mais intuitivo. Motivados por essa observação, a segunda parte dessa tese é dedicada à definição de uma tradução entre cálculo de sequentes e dedução natural, onde procuramos definir uma bijeção melhor do que as já existentes. / [en] Segerberg presented a general completeness proof for propositional logics. For this purpose, a Natural Deduction system was defined in a way that its rules were rules for an arbitrary boolean operator in a given propositional logic. Each of those rules corresponds to a row on the operator s truth-table. In the first part of this thesis we extend Segerbergs idea to finite-valued propositional logic and to non-deterministic logic. We maintain the idea of defining a deductive system whose rules correspond to rows of truth-tables, but instead of having n types of rules (one for each truth-value), we use a bivalent representation that makes use of the technique of separating formulas as defined by Carlos Caleiro and João Marcos. The system defined has so many rules it might be laborious to work with it. We believe that a sequent calculus system defined in a similar way would be more intuitive. Motivated by this observation, in the second part of this thesis we work out translations between Sequent Calculus and Natural Deduction, searching for a better bijective relationship than those already existing.

[pt] A teoria da prova tradicional da lógica proposicional trata provas cujos tamanhos podem ser demasiado grandes. Estudos teóricos de prova descobriram diferenças exponenciais entre provas normais ou livres de corte e suas respectivas provas não-normais. Assim, o uso de grafos-de-prova, ao invés de árvores ou listas, para representar provas está se tornando mais popular entre teóricos da prova. Os grafos-de-prova servem como uma forma de proporcionar uma melhor simetria para a semântica de provas e uma maneira de estudar a complexidade das provas proposicionais. O objetivo deste trabalho é reduzir o peso/tamanho de deduções. Apresentamos formalismos de grafos de prova que visam capturar a estrutura lógica de uma dedução e uma forma de facilitar a visualização das propriedades. A vantagem destes formalismos é que as fórmulas e sub-deduções em dedução natural, preservadas na estrutura de grafo, podem ser compartilhadas eliminando sub-deduções desnecessárias resultando na prova reduzida. Neste trabalho, damos uma definição precisa de grafos de prova para a lógica puramente implicacional, logo estendemos esse resultado para a lógica proposicional completa e mostramos como reduzir (eliminando fórmulas máximas) essas representações de tal forma que um teorema de normalização pode ser provado através da contagem do número de fórmulas máximas na derivação original. A normalização forte será uma consequência direta desta normalização, uma vez que qualquer redução diminui as medidas correspondentes da complexidade da derivação. Continuando com o nosso objetivo de estudar a complexidade das provas, a abordagem atual também fornece representações de grafo para lógica de primeira ordem, a inferência profunda e lógica bi-intuitionista. / [en] Traditional proof theory of Propositional Logic deals with proofs which size can be huge. Proof theoretical studies discovered exponential gaps between normal or cut free proofs and their respective non-normal proofs. Thus, the use of proof-graphs, instead of trees or lists, for representing proofs is getting popular among proof-theoreticians. Proof-graphs serve as a way to provide a better symmetry to the semantics of proofs and a way to study complexity of propositional proofs and to provide more efficient theorem provers, concerning size of propositional proofs. The aim of this work is to reduce the weight/size of deductions. We present formalisms of proof-graphs that are intended to capture the logical structure of a deduction and a way to facilitate the visualization. The advantage of these formalisms is that formulas and subdeductions in Natural Deduction, preserved in the graph structure, can be shared deleting unnecessary sub-deductions resulting in the reduced proof. In this work, we give a precise definition of proof-graphs for purely implicational logic, then we extend this result to full propositional logic and show how to reduce (eliminating maximal formulas) these representations such that a normalization theorem can be proved by counting the number of maximal formulas in the original derivation. The strong normalization will be a direct consequence of such normalization, since that any reduction decreases the corresponding measures of derivation complexity. Continuing with our aim of studying the complexity of proofs, the current approach also give graph representations for first order logic, deep inference and bi-intuitionistic logic.

[pt] Existem diferentes estilos de cálculos dedutivos, usados para derivar os teoremas de uma lógica. Os mais habituais são os sistemas axiomáticos; mas, do ponto de vista da teoria da prova, os sistemas em dedução natural parecem ser mais interessantes. Essa é a motivação que leva ao desenvolvimento de técnicas que visam a facilitar a transformação de um cálculo dedutivo para o estilo em dedução natural. Esse trabalho se concentra no aspecto de modelar regras para os quantificadores da linguagem considerada e, para isso, faz uso de rótulos. Após uma apresentação intuitiva da técnica desenvolvida, passa-se à exposição de sistemas lógicos tratados pelo método: lógica de ultrafiltros, lógica de filtros, CTL, lógica de Keisler e CTL*. Em cada caso, analisam-se aspectos de teoria da prova. / [en] There are many kinds of deductive calculus. The axiomatic ones are the more usual. However, from the point of view of proof theory, Natural Deduction systems seem to be more interesting. This is the motivation for developping a technique that aims to ease the transformation from deductive calculus to Natural Deduction style. This work concentrates on the aspect of modeling the rules for the quantifiers of the logic considered, and for this purpose labels are used. After an intuitive presentation of the technique developped, some logical systems are treated by the method: ultrafilter logic, filter logic, CTL, Keisler`s logic and CTL*. For each one of them proof-theoretical aspects are analysed.