[pt] É um fato conhecido que provas clássicas podem ser demasiadamente grandes. Estudos em teoria da prova descobriram diferenças exponenciais entre provas normais (ou provas livres do corte) e suas respectivas provas não normais. Por outro lado, provadores automáticos de teorema usualmente se baseiam na construção de provas normais, livres de corte ou provas de corte atômico, pois tais procedimento envolvem menos escolhas. Provas de algumas tautologias são conhecidamente grandes quanto realizadas sem a regra do corte e curtas quando a utilizam. Queremos com este trabalho apresentar procedimentos para reduzir o tamanho de provas proposicionais. Neste sentido, apresentamos dois métodos. O primeiro, denominado método vertical, faz uso de axiomas de extensão e alguns casos é possível uma redução considerável no tamanho da prova. Apresentamos um procedimento que gera tais axiomas de extensão. O segundo, denominado método horizontal, adiciona fórmulas máximas por meio de unificação via substituição de variáveis proposicionais. Também apresentamos um método que gera tal unificação durante o processo de construção da prova. O primeiro método é aplicado a dedução natural enquanto o segundo à Dedução Natural e Cálculo de Seqüentes. As provas produzidas correspondem de certo modo a provas não normais (com a regra do corte). / [en] It is well-known that the size of propositional classical proofs can be huge. Proof theoretical studies discovered exponential gaps between normal or cut-free proofs and their respective non-normal proofs. The task of automatic theorem proving is, on the other hand, usually based on the construction of normal, cut-free or only-atomic-cuts proofs, since this procedure produces less alternative choices. There are familiar tautologies such that the cut-free proof is huge while the non-cut-free is small. The aim of this work is to reduce the weight of proposicional deductions. In this sense we present two methods. The fi first, namely vertical method, uses the extension axioms. We present a method that generates a such extension axiom. The second, namely horizontal method, adds suitable (propositional) unifi fications modulo variable substitutions.We also present a method that generates a such unifi fication during the proving process. The proofs produced correspond in a certain way to non normal proofs (non cut-free proofs).

[pt] A teoria da prova tradicional da lógica proposicional trata provas cujos tamanhos podem ser demasiado grandes. Estudos teóricos de prova descobriram diferenças exponenciais entre provas normais ou livres de corte e suas respectivas provas não-normais. Assim, o uso de grafos-de-prova, ao invés de árvores ou listas, para representar provas está se tornando mais popular entre teóricos da prova. Os grafos-de-prova servem como uma forma de proporcionar uma melhor simetria para a semântica de provas e uma maneira de estudar a complexidade das provas proposicionais. O objetivo deste trabalho é reduzir o peso/tamanho de deduções. Apresentamos formalismos de grafos de prova que visam capturar a estrutura lógica de uma dedução e uma forma de facilitar a visualização das propriedades. A vantagem destes formalismos é que as fórmulas e sub-deduções em dedução natural, preservadas na estrutura de grafo, podem ser compartilhadas eliminando sub-deduções desnecessárias resultando na prova reduzida. Neste trabalho, damos uma definição precisa de grafos de prova para a lógica puramente implicacional, logo estendemos esse resultado para a lógica proposicional completa e mostramos como reduzir (eliminando fórmulas máximas) essas representações de tal forma que um teorema de normalização pode ser provado através da contagem do número de fórmulas máximas na derivação original. A normalização forte será uma consequência direta desta normalização, uma vez que qualquer redução diminui as medidas correspondentes da complexidade da derivação. Continuando com o nosso objetivo de estudar a complexidade das provas, a abordagem atual também fornece representações de grafo para lógica de primeira ordem, a inferência profunda e lógica bi-intuitionista. / [en] Traditional proof theory of Propositional Logic deals with proofs which size can be huge. Proof theoretical studies discovered exponential gaps between normal or cut free proofs and their respective non-normal proofs. Thus, the use of proof-graphs, instead of trees or lists, for representing proofs is getting popular among proof-theoreticians. Proof-graphs serve as a way to provide a better symmetry to the semantics of proofs and a way to study complexity of propositional proofs and to provide more efficient theorem provers, concerning size of propositional proofs. The aim of this work is to reduce the weight/size of deductions. We present formalisms of proof-graphs that are intended to capture the logical structure of a deduction and a way to facilitate the visualization. The advantage of these formalisms is that formulas and subdeductions in Natural Deduction, preserved in the graph structure, can be shared deleting unnecessary sub-deductions resulting in the reduced proof. In this work, we give a precise definition of proof-graphs for purely implicational logic, then we extend this result to full propositional logic and show how to reduce (eliminating maximal formulas) these representations such that a normalization theorem can be proved by counting the number of maximal formulas in the original derivation. The strong normalization will be a direct consequence of such normalization, since that any reduction decreases the corresponding measures of derivation complexity. Continuing with our aim of studying the complexity of proofs, the current approach also give graph representations for first order logic, deep inference and bi-intuitionistic logic.