[pt] Neste trabalho investigou-se o emprego dos recentes algoritmos de minimização de funções não diferenciáveis para a resolução do problema da síntese de filtros digitais FIR de fase não linear. O problema desta síntese correspondente a um problema de Aproximações de Funções quando o domínio e o contradomínio da função são corpos diferentes, i.e. real e complexo respectivamente. Serão revistos definições e propriedades dos filtros FIR, as técnicas de síntese para o caso de resposta de fase linear e não linear, para a seguir, apresentar a teoria e implementação da Otimização de Funções não Diferenciáveis. Exemplos e extensões desta teoria também serão apresentados. / [en] This work will describes the use of the recent techniques of non smooth optimization to the synthesis of non-linear phase FIR filters. The problem of such synthesis corresponds to a problem of Approximation of Functions when the domain and the image sets of the function are different fields, i.e. real and complex respectively. A revision of the theory of FIR filters with a survey of the linear and non linear phase usual synthesis non-smooth optimization theory and implementation. Together with design examples will follow. An extension of these theories will be suggested.

[pt] É um fato conhecido que provas clássicas podem ser demasiadamente grandes. Estudos em teoria da prova descobriram diferenças exponenciais entre provas normais (ou provas livres do corte) e suas respectivas provas não normais. Por outro lado, provadores automáticos de teorema usualmente se baseiam na construção de provas normais, livres de corte ou provas de corte atômico, pois tais procedimento envolvem menos escolhas. Provas de algumas tautologias são conhecidamente grandes quanto realizadas sem a regra do corte e curtas quando a utilizam. Queremos com este trabalho apresentar procedimentos para reduzir o tamanho de provas proposicionais. Neste sentido, apresentamos dois métodos. O primeiro, denominado método vertical, faz uso de axiomas de extensão e alguns casos é possível uma redução considerável no tamanho da prova. Apresentamos um procedimento que gera tais axiomas de extensão. O segundo, denominado método horizontal, adiciona fórmulas máximas por meio de unificação via substituição de variáveis proposicionais. Também apresentamos um método que gera tal unificação durante o processo de construção da prova. O primeiro método é aplicado a dedução natural enquanto o segundo à Dedução Natural e Cálculo de Seqüentes. As provas produzidas correspondem de certo modo a provas não normais (com a regra do corte). / [en] It is well-known that the size of propositional classical proofs can be huge. Proof theoretical studies discovered exponential gaps between normal or cut-free proofs and their respective non-normal proofs. The task of automatic theorem proving is, on the other hand, usually based on the construction of normal, cut-free or only-atomic-cuts proofs, since this procedure produces less alternative choices. There are familiar tautologies such that the cut-free proof is huge while the non-cut-free is small. The aim of this work is to reduce the weight of proposicional deductions. In this sense we present two methods. The fi first, namely vertical method, uses the extension axioms. We present a method that generates a such extension axiom. The second, namely horizontal method, adds suitable (propositional) unifi fications modulo variable substitutions.We also present a method that generates a such unifi fication during the proving process. The proofs produced correspond in a certain way to non normal proofs (non cut-free proofs).

[pt] Segerberg apresentou uma prova geral da completude para lógicas proposicionais. Para tal, um sistema de dedução foi definido de forma que suas regras sejam regras para um operador booleano arbitrário para uma dada lógica proposicional. Cada regra desse sistema corresponde a uma linha na tabela de verdade desse operador. Na primeira parte desse trabalho, mostramos uma extensão da ideia de Segerberg para lógicas proposicionais finito-valoradas e para lógicas não-determinísticas. Mantemos a ideia de definir um sistema de dedução cujas regras correspondam a linhas de tabelas verdade, mas ao invés de termos um tipo de regra para cada valor de verdade da lógica correspondente, usamos uma representação bivalente que usa a técnica de fórmulas separadoras definidas por Carlos Caleiro e João Marcos. O sistema definido possui tantas regras que pode ser difícil trabalhar com elas. Acreditamos que um sistema de cálculo de sequentes definido de forma análoga poderia ser mais intuitivo. Motivados por essa observação, a segunda parte dessa tese é dedicada à definição de uma tradução entre cálculo de sequentes e dedução natural, onde procuramos definir uma bijeção melhor do que as já existentes. / [en] Segerberg presented a general completeness proof for propositional logics. For this purpose, a Natural Deduction system was defined in a way that its rules were rules for an arbitrary boolean operator in a given propositional logic. Each of those rules corresponds to a row on the operator s truth-table. In the first part of this thesis we extend Segerbergs idea to finite-valued propositional logic and to non-deterministic logic. We maintain the idea of defining a deductive system whose rules correspond to rows of truth-tables, but instead of having n types of rules (one for each truth-value), we use a bivalent representation that makes use of the technique of separating formulas as defined by Carlos Caleiro and João Marcos. The system defined has so many rules it might be laborious to work with it. We believe that a sequent calculus system defined in a similar way would be more intuitive. Motivated by this observation, in the second part of this thesis we work out translations between Sequent Calculus and Natural Deduction, searching for a better bijective relationship than those already existing.

[pt] Esta tese apresenta um novo cálculo de sequente, correto e completo para a Lógica Proposicional Minimal Implicacional (M →). LMT → destina-se a ser usado para a busca de provas em M →, em uma abordagem bottom-up. A Terminação do cálculo é garantida por uma estratégia de aplicação de regras que força uma maneira ordenada no procedimento de busca de provas de tal forma que todas as combinações possíveis são exploradas. Para uma fórmula inicial α, as provas em LMT→ têm um limite superior de |α|.2 |α|+1+2·log2|α|, que juntamente com a estratégia do sistema, garantem a decidibilidade do mesmo. As regras do sistema são concebidas para lidar com a necessidade de repetição de hipóteses e a natureza de perda de contexto da regra → esquerda , evitando a ocorrência de loops e o uso de backtracking. Portanto, a busca de prova em LMT → é determinística, sempre executando buscas no sentido forward. LMT → tem a propriedade de permitir a extração de contramodelos a partir de buscas de prova que falharam (bicompletude), isto é, a árvore de tentativa de prova de um ramo totalmente expandido produz um modelo de Kripke que falsifica a fórmula inicial. A geração de contra-modelo (usando a semântica Kripke) é obtida como consequência da completude do sistema. LMT→ é implementado como um provador de teoremas interativo baseado no cálculo proposto aqui. Comparamos nosso cálculo com outros sistemas dedutivos conhecidos para M →, especialmente com Tableaux no estilo Fitting, um método que também tem a propriedade de ser bicompleto. Também propomos aqui uma tradução de LMT → para o verificador de prova Dedukti como uma forma de avaliar a correção da implementação que desenvolvemos, no que diz respeito à especificação do sistema, além de torná-lo mais fácil de comparar com outros sistemas existentes. / [en] This thesis presents a new sequent calculus called LMT→ that has the properties to be terminating, sound and complete for Propositional Implicational Minimal Logic (M →). LMT→ is aimed to be used for proof search in M →, in a bottom-up approach. Termination of the calculus is guaranteed by a strategy of rule application that forces an ordered way to search for proofs such that all possible combinations are stressed. For an initial formula α, proofs in LMT→ has an upper bound of |α|.2 |α|+1+2·log2|α|, which together with the system strategy ensure decidability. System rules are conceived to deal with the necessity of hypothesis repetition and the contextsplitting nature of → left, avoiding the occurrence of loops and the usage of backtracking. Therefore, LMT→ steers the proof search always in a forward, deterministic manner. LMT→ has the property to allow extractability of counter-models from failed proof searches (bicompleteness), i.e., the attempt proof tree of an expanded branch produces a Kripke model that falsifies the initial formula. Counter-model generation (using Kripke semantics) is achieved as a consequence of the completeness of the system. LMT→ is implemented as an interactive theorem prover based on the calculus proposed here. We compare our calculus with other known deductive systems for M →, especially with Fitting s Tableaux, a method that also has the bicompleteness property. We also proposed here a translation of LMT→ to the Dedukti proof checker as a way to evaluate the correctness of the implementation regarding the system specification and to make our system easier to compare to others.