Το αντικείμενο αυτής της εργασίας είναι η μελέτη κάποιων κλάσεων καθολικών συναρτήσεων. Οι κλάσεις αυτές περιέχουν συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής, οι οποίες πραγματοποιούν εντυπωσιακές προσεγγίσεις πάνω σε συμπαγή υποσύνολα του μιγαδικού επιπέδου. Πιο συγκεκριμένα, θα ασχοληθούμε με δύο κλάσεις καθολικών σειρών Taylor, και με μία κλάση καθολικών συναρτήσεων ως προς τις παραγώγους. Καθολική σειρά Taylor, με την έννοια του Β. Νεστορίδη, ονομάζουμε μία συνάρτηση f , ολόμορφη σε κάποιο ανοιχτό σύνολο Ω ⊂ 􀀀 , η οποία με τη βοήθεια των μερικών αθροισμάτων του αναπτύγματος Taylor γύρω από ένα κέντρο ζ∈Ω, προσεγγίζει όλα τα πολυώνυμα ομοιόμορφα στα συμπαγή υποσύνολα του Ωc , με συνεκτικό συμπλήρωμα. Αυτή την κλάση συναρτήσεων την συμβολίζουμε με U(Ω,ζ). Επιπλέον υπάρχει η ασθενέστερη κλάση 1 U (Ω,ζ) , των καθολικών σειρών Taylor με την έννοια του Luh, η οποία περιέχει συναρτήσεις που πραγματοποιούν του ίδιου τύπου προσεγγίσεις, αλλά μόνο σε συμπαγή υποσύνολα του c Ω . Στο πρώτο κεφάλαιο, παρουσιάζουμε κάποια γενικά αποτελέσματα, που είναι προαπαιτούμενα για ότι θα ακολουθήσει. Πιο συγκεκριμένα, διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε το κλασσικό θεώρημα Baire που ισχύει σε πλήρεις χώρους καθώς και κάποια τοπολογικά λήμματα που ισχύουν στο μιγαδικό επίπεδο. Το πρώτο λήμμα είναι ένα κλασσικό αποτέλεσμα που μας εξασφαλίζει την ύπαρξη εξαντλούσας ακολουθίας συμπαγών συνόλων ενός ανοιχτού υποσυνόλου του 􀀀 , με κατάλληλες ιδιότητες. Το δεύτερο λήμμα είναι ένα πιο ειδικό και τεχνικό αποτέλεσμα, οφείλεται στον Β.Νεστορίδη και θεωρείται σημαντικό βήμα στην μελέτη των καθολικών σειρών Taylor. Επίσης, αναφέρουμε τα γνωστά προσεγγιστικά θεωρήματα των Runge και Mergelyan με την βοήθεια των οποίων, μπορούμε να μελετάμε μόνο τα πολυώνυμα και να έχουμε αποτελέσματα που ισχύουν σε γενικότερες συναρτήσεις. Στο δεύτερο κεφάλαιο θα παρουσιάσουμε την απόδειξη του Β. Νεστορίδη, ότι η κλάση U(Ω,ζ) είναι Gδ και πυκνό υποσύνολο του Η(Ω), με την τοπολογία που αναφέραμε παραπάνω. Το αποτέλεσμα αυτό είναι ιδιαίτερα εντυπωσιακό, διότι μας αποκαλύπτει ότι με μερικά αθροίσματα αναπτύγματος της ίδιας συνάρτησης, μπορούμε να προσεγγίσουμε όλα τα πολυώνυμα πάνω σε μια πολύ μεγάλη κλάση συμπαγών υποσυνόλων. Στο κεφάλαιο 3, θα παρουσιάσουμε την απόδειξη ότι η κλάση (Ω) der U είναι Gδ και πυκνό υποσύνολο στο Η(Ω). Όπως το παραπάνω αποτέλεσμα, έτσι και αυτό έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον, αφού μας εξασφαλίζει την ύπαρξη πολλών συναρτήσεων στην κλάση (Ω) der U . Το τελευταίο κεφάλαιο αποτελεί το κύριο μέρος της παρούσας εργασίας. Βασικός στόχος μας είναι να αποδείξουμε την ύπαρξη 1-1 συναρτήσεων στην τομή των κλάσεων 1( , ) ( ) der UΩζ IU Ω (βλ.[5]). Σημειώνουμε ότι για αυτό το αποτέλεσμα πρέπει το Ω να είναι ειδικότερα χωρίο Jordan. Στην 3 βιβλιογραφία έχει αποδειχτεί ότι η κλάση U(D,0) δεν περιέχει 1-1 συναρτήσεις, και μάλιστα είναι ξένη με την κλάση Nevanlinna οπότε δεν περιμένουμε από τις συναρτήσεις αυτές να έχουν καλές ιδιότητες (βλ.[14]). Αντίθετα το αποτέλεσμα που παρουσιάζουμε υποδηλώνει ότι το φαινόμενο αυτό δεν εμφανίζεται στις υπόλοιπες δύο κλάσεις καθολικών συναρτήσεων και δείχνει πόσο διαφορετική είναι η κλάση U(Ω,ζ) από την κλάση U1(Ω,ζ ). / -

The limits of the current micro-scale electronics technology have been approaching rapidly. At nano-scale, however, the physical phenomena involved are fundamentally different than in micro-scale. Classical and semi-classical physical principles are no longer powerful enough or even valid to describe the phenomena involved. The rich and powerful concepts in quantum mechanics have become indispensable. There are several commercial software packages already available for modeling and simulation of the electrical, magnetic, and mechanical characteristics and properties of the nano-scale devices. However, our objective here is to go one step further and create a physics-based problem-adapted solution methodology. We carry out computation for eigenfunctions of canonical and the associated perturbed quantum systems and utilize them as co-ordinate functions for solving more complex problems. We have profoundly worked with the infinite quantum potential-well problem, since they have closed-form solutions and therefore are analytically known eigenfunctions. Perturbation of the infinite quantum potential-well was done through a single box function, multiple box functions, and with a triangular function. The proposed solution concept utilizes the notion of

- / -