This report presents and discusses proofs of the Malgrange-Ehrenpreis theorem, which states that every non-zero linear partial differential operator with constant coefficients has a fundamental solution. The main topic is explicit formulae, and more specifically, how they can be used to prove the theorem. Two different formulas will be considered in detail and the aim is to provide a fundamental and elementary description of how to prove the Malgrange-Ehrenpreis theorem using those formulas. In addition to the proofs, an example of how to use one of the formulas for the Cauchy-Riemann operator is shown. Finally, the report also contains a chapter discussing a few different notable methods of proof and their historical signifance.

Le déferlement mondial des services de télécommunications, impose, aux réseaux qui les supportent, d’augmenter de plus en plus leurs capacités afin de subvenir aux besoins de ses utilisateurs dont le nombre ne cesse de croître. Le spectre radio, ressource de base pour les communications sans fils, ne suit malheureusement pas cette croissance. Même si des marges réutilisables sont disponibles, leur accès est limité par des politiques strictes de gestion du spectre radio-fréquentiel. Pour remédier à cette situation, les organismes régulateurs des télécommunications se dirigent vers un paradigme de gestion plus flexible, en autorisant de nouvelles méthodes basées sur l’accès dynamique au spectre (DSA - dynamic spectrum access) et les radio cognitives (CR - cognitive radio). Dans ce travail doctoral, est proposée une nouvelle technique pour traiter la problématique de la disponibilité du spectre radio-fréquentiel. Appelée multiplexage fréquentiel par sous-espace de Vandermonde (VFDM -Vandermonde-subspace frequency division multiplexing), elle permet à deux technologies d’accès radio (RATs - radio access technologies) de fonctionner côte-a-côte dans un environnement de petites cellules CR. Ceci se fait en partageant la bande radio tout en protégeant des interférences les systèmes pour lesquels le spectre radio avait été originellement réservé. VFDM transmet les données pré-codées dans le noyau du canal interférant entre l’émetteur opportuniste et le récepteur originel en utilisant la sélectivité en fréquence des canaux et duplexage temporel (TDD - time division duplexing). Le travail de cette thèse propose une approche exhaustive du développement de la technologie VFDM, en allant des bases théoriques jusqu’à la démonstration de faisabilité. Ainsi, les bases théoriques proposées ont été en premier lieu analysées. Puis, en partant de ces bases théoriques, VFDM a été graduellement développé vers une chaîne émetteur-récepteur complète. Des résultats significatifs sont apparus à mi-chemin dans la phase de développement, comme par exemple, l’établissement de stratégies de précodage optimales ou la mise en évidence d‘aspects critiques lors de l’implémentation. Sous certaines conditions, VFDM permet aux réseaux secondaires opportunistes d’être utilisés en même temps que le réseau originel, aux seules contraintes de la connaissance des canaux et de l’accroissement de la complexité du système. Au travers des résultats obtenus en simulation, il a été démontré que des taux de transfert de données significatifs peuvent être atteints, et ce, malgré que les capacités de VFDM soient toujours limitées par la taille du sous-espace de Vandermonde du canal interfèrent primaire-secondaire. Finalement, la chaîne émetteur-récepteur développée démontre la faisabilité de cette méthode. / The global deployment of PCS is pushing for more and more network capacity to accommodate an exponentially growing user base. Radio spectrum, the basic resource in radio communications, unfortunately does not follow this growth. Even though the current spectrum usage leaves margins for re-use, it is limited by the current fixed spectrum management policies. To remediate this issue, spectrum regulators are switching to a flexible management paradigm, leveraging new DSA schemes based on CR. In this PhD work, a novel CR-DSA technology is introduced to address spectrum scarcity problem. Called VFDM, it allows two RAT to operate side-by-side in a small-cell CR setting, sharing the band while protecting the legacy system from interference. VFDM transmits data pre-coded on the null-space of the interfering cross channel (channel from the opportunistic transmitter to the legacy receiver), assuming frequency selectivity and TDD communications. This PhD work proposes a rather exhaustive approach to the development of VFDM: to go from the theoretical basis up to a proof-of-concept development. Initially the theoretical background, basis of the technique itself was introduced and analyzed. Then, VFDM was gradually developed from a pure mathematical concept up to a full transceiver. During this development, several important mid-way results were developed, such as the multi-user strategy for pre-coding and critical implementation aspects. VFDM, under certain constraints, has been shown to allow a secondary opportunistic network to successfully be installed along with a legacy primary one at merely the cost of channel knowledge and added complexity. By means of numerical examples, it has been shown that significative rates can be attained, even though VFDM's performance is constrained by the size of the Vandermonde-subspace of the interfering channel between the secondary transmitter and primary receiver. Finally, a working VFDM transceiver implementation is shown, providing a proof-of-concept of the technique.

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This thesis consists of two main parts. First of all, the condition number of rectangular Vandermonde matrices with nodes on the complex unit circle is studied. The first time quantitative bounds for the extreme singular values are proven in the multivariate setting and when nodes of the Vandermonde matrix form clusters. In the second part, an optimized presentation of the deterministic stability analysis of the subspace method ESPRIT is given and results from the first part are applied.