Orientador: Alice Kimie Miwa Libardi / Banca: Suzinei Aparecida Siqueira Marconato / Banca: Karina Schiabel Silva / Resumo: O objetivo deste trabalho é apresentar uma demonstração combinatória dos teore- mas de Índice de Poincaré, a saber: "Sejam D um disco e γ seu bordo. Seja V um campo vetorial contínuo sobre D com pontos críticos isolados P1, P2, . . . , Pn pertencentes ao interior de D. Se V nunca se anula em γ, então W(γ) = I(P1) + I(P2) + . . . + I(Pn), onde I(Pi) é o índice do ponto crítico Pi e W(γ) o número de voltas de V sobre γ." "Seja V um campo vetorial tangente contínuo sobre uma superfície compacta, co- nexa e orientável S. Então a soma dos índices dos pontos críticos de V é igual à característica de Euler de S." / Abstract: bstract In this work we present a combinatorial proof for the Poincaré index theorems. "Let V be a continuous vector field. Let D be a cell and γ its boundary. Supposing that V is not zero on γ, then W(γ) = I(P1) + I(P2) + . . . + I(Pn) where P1, P2, . . . , Pn are the critical points of V inside D, I(Pi) is the index of Pi, and W(γ) is the winding number of V on γ." "Let V be a continuous tangent vector field on a compact, connected, orientable surface S. Then the sum of the indexes of the critical points of V equals the Euler characteristic of S." / Mestre

Orientador: Paulo Ricardo da Silva / Banca: Weber Flavio Pereira / Banca: Marcelo Messias / Resumo: Consideramos dois casos principais de bifurcação de órbitas periódicas não hiperbólicas que dão origem a ciclos limite. Nosso estudo é feito para sistemas lineares por partes com três zonas em sua fórmula mais geral, que inclui situações sem simetria. Obtemos estimativas tanto para a amplitude como para o período do ciclo limite e apresentamos uma aplicação de interesse em engenharia: sistemas de controle. / Abstract: We consider two main cases of bifurcation of non hyperbolic periodic orbits that give rise to limit cycles. Our study is done concerning piecewise linear systems with three zones in the more general formula that includes situations without symmetry. We obtain estimates for both the amplitude and the period of limit cycles and we present a applications of interest in engineering: control systems. / Mestre