Les écoulements autour de structures en mouvement font l'objet de plusieurs travaux numériques et expérimentaux. L'objectif de ce travail de thèse consiste à montrer la pertinence de la combinaison de la pénalisation volumique avec la méthode de lattice Boltzmann (LBM), dans l'étude du mouvement d'obstacles mobiles dans un écoulement, et de leur interaction avec celui-ci. La LBM,qui est simple et précise à mettre en œuvre, a prouvé ces dernières années son efficacité dans le domaine de la mécanique des fluides. Par ailleurs, la méthode de pénalisation volumique consiste à introduire un terme de pénalisation dans l'équation que l'on souhaite résoudre, afin de prendre en compte l'influence de l'obstacle sur le domaine fluide. Comme cette équation est résolue sur l'ensemble du domaine composé du fluide et du solide, les conditions aux limites à l'interface fluide-solide sont appliquées de façon naturelle. Il semble donc aisé de combiner cette technique avec la méthode de lattice Boltzmann. Nous avons dans un premier temps rappelé les notions de base et les principales caractéristiques de la méthode de lattice Boltzmann. On a présenté quelques exemples d'applications sur des cas tests, que nous avons programmés. Ensuite, une étude bibliographique faisant état des différentes approches qui utilisent la LBM dans l'étude des problèmes d'interaction fluide structure (IFS) a été réalisée. Puis, la combinaison de la pénalisation volumique avec la LBM a été testée avec succès sur l'équation de Burgers monodimensionnelle. La validation s'est portée en premier lieu, sur un écoulement autour d'un solide fixe, puis sur un écoulement autour d'une structure dont le mouvement est imposé, et finalement sur un problème d'IFS de type masse-ressort. La méthode développée a été ensuite testée sur les équations de Navier-Stokes, en considérant un fluide incompressible et une structure rigide. La validation s'est portée tout d'abord sur un écoulement autour d'obstacles immobiles (carré et cylindre), puis autour d'un cylindre mobile en oscillations forcées et libres. Enfin, une dernière application a été portée sur un écoulement entre deux plaques mobiles dans un canal. Nous avons montré que pour tous les cas étudiés, l'approche développée donne de bons résultats, elle reproduit avec précision les résultats de référence. / Flows around moving bodies are the subject of several numerical and experimental studies. The work presented in this document deals with the implementation of a volume penalization technique in a lattice Boltzmann model (LBM), in order to compute flows around moving obstacles. The LBM, which is accurate and easy to implement, has been successfully applied in fluid mechanics during the last decades. It was thus chosen in the present work, for flow computation. Furthermore, the volume penalization technique consists in introducing a volume penalization term into the equation that needs to be solved, in order to take into account the influence of the obstacle on the fluid domain. Since this equation is solved on both fluid and solid domains, the boundary conditions at the fluid-solid interface are naturally applied. Hence this technique seems easy to implement in a lattice Boltzmann framework. In the first chapter, the foundations and the main features of the lattice Boltzmann method are recalled, and several test cases that we simulated are presented. The second chapter deals with a literature review of the techniques developed for the simulation of fluid structure interaction problems in combination with the LBM. In the third chapter, the volume penalization method combined with the LBM was first applied to the one dimensional Burgers equation, considering motionless and moving obstacles (forced motion, and coupling between the fluid force calculated with the penalized Burgers equation and the motion of the obstacle). The combination of the volume penalization approach and the LBM was then employed to solve the incompressible NavierStokes equations, for cases of flows past motionless obstacles (flows over a square obstacle, and past a circular cylinder), and past an oscillating cylinder (where forced and free oscillations of the cylinder were simulated). Finally, this method was also applied to a symmetric Couette flow. For all these simulated cases, a good agreement with numerical results obtained with other techniques, and with results found in literature, was obtained.

Cette thèse concerne l'étude des interactions entre le plasma et la paroi d'un réacteur à fusion nucléaire de type tokamak. L'objectif est de proposer des méthodes de résolution des systèmes d'équations issus de modèles de plasma de bord. Nous nous sommes intéressés au traitement de deux difficultés qui apparaissent lors de la résolution numérique de ces modèles. La première difficulté est liée à la forme complexe de la paroi du tokamak. Pour cela, il a été choisi d'utiliser des méthodes de pénalisation volumique. Des tests numériques de plusieurs méthodes de pénalisation ont été réalisés sur un problème hyperbolique non linéaire avec un domaine 1D. Une de ces méthodes a été étendue à un système hyperbolique quasilinéaire avec bord non caractéristique et conditions aux limites maximales strictement dissipatives sur un domaine multidimensionnel : il est alors démontré que cette méthode de pénalisation ne génère pas de couche limite. La deuxième difficulté provient de la forte anisotropie du plasma, entre la direction parallèle aux lignes de champ magnétique et la direction radiale. Pour le potentiel électrique, cela se traduit par une résistivité parallèle très faible. Afin d'éviter les difficultés liées au fait que le problème devient mal posé quand la résistivité parallèle tend vers 0, nous avons utilisé des méthodes de type asymptotic-preserving (AP). Pour les problèmes non linéaires modélisant le potentiel électrique avec un domaine 1D et 2D, nous avons fait l'analyse théorique ainsi que des tests numériques pour deux méthodes AP. Des tests numériques sur le cas 1D ont permis une étude préliminaire du couplage entre les méthodes de pénalisation volumique et AP. / This thesis deals with the study of wall plasma interactions in a nuclear fusion reactor such as a tokamak. The goal is to propose methods to solve partial differential equations issued from edge plasma models. We focus on two difficulties for the numerical resolution of these models. The first issue concerns the complex shape of the tokamak wall: we choose volume penalty methods. Numerical tests on several penalization methods have been performed on a nonlinear hyperbolic problem. One of these methods has been extended to a quasilinear hyperbolic system with a non characteristic boundary and maximally strictly dissipative boundary conditions on a multidimensional domain: it is proven that this penalty method does not generate any boundary layer. The second question comes from the strong plasma anisotropy between the direction parallel to the magnetic field lines and the radial one. Concerning the electrical potential, this results in a very low parallel resistivity. In order to avoid the troubles due to the ill-posedness of the equations when the parallel resistivity tends to 0, we study asymptotic preserving (AP) methods. For 1D and 2D nonlinear models of the electrical potential, we performed the theoretical analysis and numerical simulations for two AP methods. A preliminary study of the coupling between volume penalty and AP methods is also presented.

La description magnétohydrodynamique est utilisée pour étudier les plasmas de fusion par confinement magnétique dans deux configurations: tokamak et reversed field pinch. Une méthode de Fourier pseudo-spectrale et une technique de pénalisation en volume sont employées pour résoudre les équations. La méthode de pénalisation permet d’introduire des conditions aux limites de Dirichlet et donc de faire varier facilement la géométrie considérée. Les simulations dans des géométries toroïdales de type tokamak montrent l’apparition spontanée de vitesses. Une importante composante toroïdale se développe si le système est peu dissipatif. Il est aussi montré que la brisure de symétrie dans la forme de la section du tore fait apparaitre un moment angulaire toroïdal. Pour le Reversed Field Pinch on montre l’émergence de structures hélicoïdales. La forme de ces structures varie en fonction des coefficients de transport ainsi que du paramètre de pincement du champ magnétique imposé. Pour compléter l’étude on compare les résultats du tore aux calculs dans un cylindre périodique. Les différences dans la dynamique des deux cas sont mises en avant. Finalement les simulations sont confrontées à des expériences et un meilleur accord est observé entre simulation et expérience pour la géométrie toroïdale que pour la géométrie cylindrique. / A magnetohydrodynamic description is used to study magnetic fusion plasmas in two different configurations: tokamak and reversed field pinch. A Fourier pseudo-spectral method with a volume penalization technique are used to solve the system of equations. The penalization method is used to introduce Dirichlet boundary conditions and it al- lows to easily modify the consider geometry. The simulations of a tokamak configuration in a toroidal geometry show the spontaneous appearance of velocities. These velocities are dominated by their toroidal component if the system is little dissipative. It is also shown that the symmetry breaking of the cross section of the torus causes a toroidal angular momentum to develop. For the Reversed Field Pinch configuration we show the appearance of helical structures. The shape of these structures varies with the value of the transport coefficients and with the pinch ratio parameter of the imposed magnetic field. To complete the study, we compare the results of simulations obtained in toroidal and in periodic cylindrical geometries. The differences in the dynamics of these two cases are highlighted. Finally, simulations are compared to experimental data and a significant better agreement is observed between the simulation and the experiment for the toroidal geometry than for the cylindrical case.