In this paper, we initiate the study of a variant of Roman dominating functions. For a graph G=(V,E), a Roman {2}-dominating function f:V→{0,1,2} has the property that for every vertex v∈V with f(v)=0, either v is adjacent to a vertex assigned 2 under f, or v is adjacent to least two vertices assigned 1 under f. The weight of a Roman {2}-dominating function is the sum Σv∈Vf(v), and the minimum weight of a Roman {2}-dominating function f is the Roman {2}-domination number. First, we present bounds relating the Roman {2}-domination number to some other domination parameters. In particular, we show that the Roman {2}-domination number is bounded above by the 2-rainbow domination number. Moreover, we prove that equality between these two parameters holds for trees and cactus graphs with no even cycles. Finally, we show that associated decision problem for Roman {2}-domination is NP-complete, even for bipartite graphs.

We mainly study two related dominating functions, namely, the weak Roman and 2-rainbow dominating functions. We show that for all graphs, the weak Roman domination number is bounded above by the 2-rainbow domination number. We present bounds on the weak Roman domination number and the secure domination number in terms of the total domination number for specific families of graphs, and we show that the 2-rainbow domination number is bounded below by the total domination number for trees and for a subfamily of cactus graphs.

De nombreux problèmes algorithmiques sont « difficiles », dans le sens où on ne sait pas les résoudre en temps polynomial par rapport à la taille de l’entrée, soit parce qu’ils sont NP-difficiles, soit, pour certains problèmes d’énumération, à cause du nombre exponentiel d'objets à énumérer. Depuis une quinzaine d’années on trouve un intérêt grandissant dans la littérature pour la conception d'algorithmes exacts sophistiqués afin de les résoudre le plus efficacement possible. Dans le cadre de cette thèse, nous nous intéressons à la conception d'algorithmes exacts exponentiels autour de trois problèmes difficiles. Nous étudions tout d'abord le problème d'optimisation Ensemble Connexe Tropical pour lequel nous décrivons un algorithme afin de le résoudre en général, puis un algorithme de branchement plus rapide pour le résoudre sur les arbres, ce problème restant difficile même dans ce cas. Nous nous intéressons ensuite au problème d'énumération Ensembles Dominants Minimaux, pour lequel nous donnons des algorithmes résolvant ce problème dans les graphes splits, cobipartis, ainsi que dans les graphes d'intervalles. Nous déduisons des bornes supérieures sur le nombre d'ensembles dominants minimaux admis par de tels graphes. La dernière étude de cette thèse concerne le problème d'optimisation Domination Romaine Faible dans lequel, étant donné un graphe nous cherchons à construire une fonction de pondération selon certaines propriétés. Le problème est NP-difficile en général, mais nous donnons un algorithme glouton linéaire calculant une telle fonction pour les graphes d'intervalles. / Many algorithmic problems are « hard », in the sense of we do not know how to solve them in polynomialtime, either because they are NP-hard, or, for some enumeration problems, because the number of objectsto be produced is exponential. During the last fifteen years there was a growing interest in the design of exact algorithms to solve such problems as efficiently as possible. In the context of this thesis, we focus on the design of exponential exact algorithms for three hard problems. First, we study the optimisation problem Tropical Connected Set for which we describe an algorithm to solve it in the general case, then a faster branch-and-reduce algorithm to solve it on trees; the problem remains difficult even in this case. Secondly we focus on the Minimal Dominating Sets enumeration problem, for which we give algorithms to solve it on split, cobipartite and intervals graphs. As a byproduct, we establish upper bounds on the number of minimal dominating sets in such graphs. The last focus of this thesis concerns the Weak Roman Domination optimisation problem for which, given a graph, the goal is to build a weight function under some properties. The problem is NP-hard in general, but we give a linear greedy algorithm which computes such a function on interval graphs.