Dans cette thèse nous avons étudié certaines questions mathématiques associées au calcul de l'action spectrale de Chamseddine--Connes sur des exemples fondamentaux de triplets spectraux non commutatifs, tels que le tore non commutatif et la 3-sphère quantique SUq(2). Nous avons montré en particulier qu'une condition diophantienne sur la matrice de déformation du tore est cruciale pour obtenir l'action spectrale en tenant compte de la structure réelle. <br />Nous avons aussi étudié la question de l'existence de tadpoles (termes linéaires par rapport au potentiel de jauge de la fluctuation de la métrique dans l'action spectrale) dans le cas de géométries riemanniennes commutatives, et la construction d'un calcul pseudodifférentiel global permettant une généralisation du produit de Weyl--Moyal sur un espace de Schwartz de sections rapidement décroissantes sur un fibré cotangent d'une variété avec linéarisation.