Cette note de synthèse pour une Habilitation à Diriger des Recherches présente une modélisation épistémologique de l'activité de définition en mathématiques, en explicitant la dialectique entre définition et preuve. Et cela, bien sûr, dans une perspective didactique, en vue de concevoir, analyser et transmettre des situations de construction de définitions. La première partie présente l'objet d'étude et la méthodologie. Une analyse critique des travaux de recherche internationaux en didactique sur l'étude l'activité de définition en mathématiques est présentée en deuxième partie. Sont soulignés en particulier les points de convergence et de tension, ainsi que les manques - épistémologiques et didactiques - sur la question. La troisième partie présente une modélisation épistémologique de référence de l'activité de définition en mathématiques, activité en dialectique avec la preuve, en prenant appui sur des expérimentations (niveaux secondaire et supérieur), et des entretiens avec des mathématiciens. Différents cadres théoriques issus de la didactique des mathématiques et des mathématiques sont sollicités. La quatrième et dernière partie aborde de nouvelles perspectives de recherche à trois niveaux (épistémologique, théorique, et didactique).