Assem, Schiffler et Shramchenko ont émis comme conjecture que toute algèbre amassée est unistructurelle, c'est-à-dire que l'ensemble des variables amassées détermine uniquement la structure d'algèbre amassée. En d'autres mots, il existe une unique décomposition de l'ensemble des variables amassées en amas. Cette conjecture est prouvée dans le cas des algèbres amassées de type Dynkin ou de rang 2. Le but de ce mémoire de la prouver également dans le cas des algèbres amassées de type Ã. Nous utilisons les triangulations de couronnes et l'indépendance algébrique des amas pour prouver l'unistructuralité des algèbres provenant de couronnes, donc de type Ã. Nous prouvons également la conjecture des automorphismes pour les algèbres de type à comme conséquence immédiate.

La combinatoire de Coxeter-Catalan est très jeune. Elle s'est développée dans les deux dernières décennies en lien avec des phénomènes combinatoires reliés aux nombres de Catalan. Entre autres, elle permet d'interpréter certains résultats de la théorie des algèbres amassées, une théorie très vivante ces dernières années. En 2007, N. Reading a donné une interprétation combinatoire des générateurs des algèbres amassées - les amas - à l'aide des groupes de Coxeter et certains éléments - appelés éléments triés - ayant des propriétés combinatoires particulières. Le présent texte rassemble les notions essentielles sur les groupes de Coxeter et la combinatoire sous-jacente, afin de démontrer l'interprétation de N. Reading et d'illustrer certaines conséquences de celle-ci. Tout en introduisant les notions, une attention particulière est accordée à la perspective actuelle des résultats et au cheminement de ceux-ci. Le texte est parsemé d'images pour un apport visuel accru. Celles-ci ont été réalisées à l'aide de la librairie TikZ de LATEX. ______________________________________________________________________________

Dans cette thèse nous donnons une classification des algèbres amassées provenant de l'infini-gone et établissons une relation entre ces algèbres et celles associées aux carquois de type A [indice inférieur infini]. Nous présentons une nouvelle construction des algèbres amassées sur les carquois de type A[indice inférieur infini] qui exhibe la liste complète des variables amassées, chacune étant donnée par une formule explicite. Ensuite nous montrons que si Q est un carquois fini, connexe et acyclique dont le carquois répétitif ZQ contient une tranche locale isomorphe à Q[indice supérieur op], alors il existe un plongement de ZQ dans l'espace et une réflexion oblique de l'espace qui induisent une involution dans ZQ. Comme conséquence immédiate de ce résultat, nous montrons que: si une algèbre amassée contient une graine (x Q) tel que Q est un carquois acyclique équivalent par mutations à Q[indice supérieur op], alors le groupe des automorphismes amassés de cette algèbre est un produit semi-direct du sous-groupe des automorphismes directs et du groupe Z[indice inférieur 2] ce qui est une démonstration de la conjecture d'Assem-Schiffler-Shramchenko sur les automorphismes amassés.

Ce travail peut être divisé en trois partie: 1. Théorie des groupes. Il s'agit ici d'une étude de la structure du groupe T de Thompson. On explique la notion de la mutation linéaire par morceaux et on obtient la nouvelle présentation de ce groupe en termes des génerateurs et relations. 2. Géometrie birationnelle. On étudie en détail le groupe de Cremona qui est un groupe des automorphismes birationnels du plan projectif. En particulier on s'interesse à son sous-groupe Symp des elements qui préserve le crochet de Poisson dit logarithmique, aussi bien qu'à un sous-groupe H engendré par SL(2,Z) et par les mutations. On construit des limites projectives des surfaces sur lesquelles ces groupes agissent régulièrement, et on en déduit les répresentations linéaires de ces groupes dans les limites inductives des groupes de Picard des surfaces. 3. Algèbre homologique. A partir d'une variété algébrique on construit une catégorie triangulée qui ne dépend que de sa classe birationnelle. En utilisant la technique de quotient de dg-catégories, on calcule explicitement cette catégorie pour les surfaces rationnelles. Comme consequence on obtient l'action du groupe de Cremona sur une algébre non-commutative par les automorphismes extérieures. On donne les applications de ces résultats aux formules des mutations des variables non-commutatives.