Cette thèse est une contribution à l'étude combinatoire des groupes de Coxeter et des groupes d'Artin-Tits. Dans la première partie, nous complétons la description du groupe des automorphismes d'un groupe de Coxeter à angles droits en étudiant le second des deux sous-groupes qui apparaissent dans la décomposition en produit semi-direct établie par Tits (le premier est décrit par Mühlherr). Nous retrouvons ainsi le résultat de Radcliffe sur la rigidité des groupes de Coxeter à angles droits. Dans la deuxième partie, nous introduisons et étudions la notion de sous-monoïde d'un monoïde d'Artin-Tits induit par une partition admissible du graphe de Coxeter, au sens de Mühlherr. Nous montrons qu'un tel sous-monoïde est un monoïde d'Artin-Tits, et que cette notion généralise et unifie les situations des sous-monoïdes des points fixes d'un monoïde d'Artin-Tits sous l'action d'automorphismes du graphe, et des LCM-homomorphismes de Crisp et Godelle. Nous achevons la classification des partitions admissibles des graphes de Coxeter sphériques, commencée par Mühlherr ; elle nous fournit la classification des LCM-homomorphismes de Crisp. Dans la troisième partie, nous étudions la représentation de Krammer-Paris d'un monoïde d'Artin-Tits de type simplement lacé et sans triangle. Le sous-monoïde des points fixes d'un tel monoïde sous l'action d'un groupe d'automorphismes du graphe stabilise le sous-espace des points fixes de l'espace de la représentation sous l'action de ce groupe. Nous utilisons des notions développées par Hée pour prouver que la représentation ainsi obtenue est fidèle. Cela généralise, en évitant tout cas par cas, des résultats établis par Digne dans les cas sphériques.

Le travail de recherche présenté dans ce mémoire porte sur l'analyse théorique de l'approche fréquentielle d'(in-)validation de modèle de systèmes incertains qui consiste à caractériser les écarts objet/modèle par l'introduction non seulement de bruits perturbateurs, mais aussi d'opérateurs d'incertitude dans la relation fonctionnelle associée au modèle choisi. En supposant que les incertitudes et le bruit sont de norme bornée nous avons défini la notion de l'ensemble de modèles. Ceux que nous avons considérés sont formés à partir d'une représentation linéaire fractionnaire. La question générique du problème de validation de modèle de systèmes incertains ainsi étudiée dans cette thèse est la suivante : Etant données des mesures expérimentales et un ensemble de modèles, existe t il un modèle dans l'ensemble de modèles qui pourrait produire les données entrées/sorties observées? Ceci a demandé simplement de trouver un élément de l'ensemble de modèles et un élément de l'ensemble signal d'entrée inconnu tels que les informations observées sont produites exactement. <br />Le problème de trouver un tel membre de l'ensemble de modèles a été formulé selon deux stratégies. La première est de déterminer un signal de bruit de norme minimale tel que les données observées soient générées par le modèle entaché d'une incertitude de norme inférieure à 1. L'inconvénient de cette méthode est que le problème d'optimisation posé ne peut être résolu par le formalisme LMI que pour des cas spéciaux de l'ensemble de modèles. La deuxième stratégie étudiée est de déterminer simultanément la plus petite norme d'incertitude et la plus petite norme du signal de bruit telles que le modèle obtenu génère les données observées. Nous avons mené une étude comparative de ces deux problématiques et nous avons montré que la solution apportée par la valeur singulière structurée généralisée permet non seulement de répondre à la question générique pour une classe plus générale des ensembles de modèles mais aussi de prendre en compte la nature structurée du bloc d'incertitude.<br />Le procédé expérimental de trois cuves ainsi qu'un exemple académique de simulation ont fourni une excellente validation des méthodologies étudiées.

Ce travail peut être divisé en trois partie: 1. Théorie des groupes. Il s'agit ici d'une étude de la structure du groupe T de Thompson. On explique la notion de la mutation linéaire par morceaux et on obtient la nouvelle présentation de ce groupe en termes des génerateurs et relations. 2. Géometrie birationnelle. On étudie en détail le groupe de Cremona qui est un groupe des automorphismes birationnels du plan projectif. En particulier on s'interesse à son sous-groupe Symp des elements qui préserve le crochet de Poisson dit logarithmique, aussi bien qu'à un sous-groupe H engendré par SL(2,Z) et par les mutations. On construit des limites projectives des surfaces sur lesquelles ces groupes agissent régulièrement, et on en déduit les répresentations linéaires de ces groupes dans les limites inductives des groupes de Picard des surfaces. 3. Algèbre homologique. A partir d'une variété algébrique on construit une catégorie triangulée qui ne dépend que de sa classe birationnelle. En utilisant la technique de quotient de dg-catégories, on calcule explicitement cette catégorie pour les surfaces rationnelles. Comme consequence on obtient l'action du groupe de Cremona sur une algébre non-commutative par les automorphismes extérieures. On donne les applications de ces résultats aux formules des mutations des variables non-commutatives.