Esta tese teve como objetivo estudar problemas cinéticos de clustering, ou seja, problemas de clustering nos quais os objetos se movimentam. O trabalho se concentrou no caso unidimensional, em que os objetos são pontos se movendo na reta real. Diversas variantes desse caso foram abordadas. Em termos do movimento, consideramos o caso em que cada ponto se move com uma velocidade constante num dado intervalo de tempo, o caso em que os pontos se movem arbitrariamente e temos apenas as suas posições em instantes discretos de tempo, o caso em que os pontos se movem com uma velocidade aleatória em que se conhece apenas o valor esperado da velocidade, e o caso em que, dada uma partição do intervalo de tempo, os pontos se movem com velocidades constantes em cada subintervalo. Em termos do tipo de clustering buscado, nos concentramos no caso em que o número de clusters é um dado do problema e consideramos diferentes medidas de qualidade para o clustering. Duas delas são tradicionais para problemas de clustering: a soma dos diâmetros dos clusters e o diâmetro máximo de um cluster. A terceira medida considerada leva em conta a característica cinética do problema, e permite, de uma maneira controlada, que o clustering mude com o tempo. Para cada uma das variantes do problema, são apresentados algoritmos, exatos ou de aproximação, alguns resultados de complexidade obtidos, e questões que ficaram em aberto. / This work aimed to study kinetic problems of clustering, i.e., clustering problems in which the objects are moving. The study focused on the unidimensional case, where the objects are points moving on the real line. Several variants of this case have been discussed. Regarding the movement, we consider the case where each point moves at a constant velocity in a given time interval, the case where the points move arbitrarily and we only know their positions in discrete time instants, the case where the points move at a random velocity in which only the expected value of the velocity is known, and the case where, given a partition of the time interval, the points move at constant velocities in each sub-interval. Regarding the kind of clustering sought, we focused in the case where the number of clusters is part of the input of the problem and we consider different measures of quality for the clustering. Two of them are traditional measures for clustering problems: the sum of the cluster diameters and the maximum diameter of a cluster. The third measure considered takes into account the kinetic characteristic of the problem, and allows, in a controlled manner, that a cluster change along time. For each of the variants of the problem, we present algorithms, exact or approximation, some obtained complexity results, and open questions.

Neste projeto estudamos algoritmos de aproximação para o problema da árvore de Steiner com coleta de prêmios. Trata-se de uma generalização do problema da árvore de Steiner, onde é dado um grafo com custos positivos nas arestas e penalidades positivas nos vértices. O objetivo é encontrar uma subárvore do grafo que minimize a soma dos custos das arestas mais a soma das penalidades dos vértices que não pertencem à subárvore. Em 2009, os autores Archer, Bateni, Hajiaghayi e Karloff obtiveram pela primeira vez um algoritmo com fator de aproximação estritamente menor do que 2. Além de analisarmos este algoritmo, estudamos também a implementação de algoritmos 2-aproximação para o problema da árvore de Steiner e da árvore de Steiner com coleta de prêmios. / In this project we analyze approximation algorithms for the prize-collecting Steiner tree problem. This is a generalization of the Steiner tree problem, in which it is given a graph with positive costs in edges and positive penalties in vertices. The goal is to find a subtree of the graph that minimizes the sum of costs of edges plus the sum of the penalties of the vertices that don\'t belong to the subtree. In 2009, the authors Archer, Bateni, Hajiaghayi e Karloff described, for the first time an algorithm with approximation factor strictly less than 2. Besides analyzing this algorithm, we also study the implementation of 2-approximation algorithms to the Steiner tree problem and prize-collecting Steiner tree problem.

Esta tese teve como objetivo estudar problemas cinéticos de clustering, ou seja, problemas de clustering nos quais os objetos se movimentam. O trabalho se concentrou no caso unidimensional, em que os objetos são pontos se movendo na reta real. Diversas variantes desse caso foram abordadas. Em termos do movimento, consideramos o caso em que cada ponto se move com uma velocidade constante num dado intervalo de tempo, o caso em que os pontos se movem arbitrariamente e temos apenas as suas posições em instantes discretos de tempo, o caso em que os pontos se movem com uma velocidade aleatória em que se conhece apenas o valor esperado da velocidade, e o caso em que, dada uma partição do intervalo de tempo, os pontos se movem com velocidades constantes em cada subintervalo. Em termos do tipo de clustering buscado, nos concentramos no caso em que o número de clusters é um dado do problema e consideramos diferentes medidas de qualidade para o clustering. Duas delas são tradicionais para problemas de clustering: a soma dos diâmetros dos clusters e o diâmetro máximo de um cluster. A terceira medida considerada leva em conta a característica cinética do problema, e permite, de uma maneira controlada, que o clustering mude com o tempo. Para cada uma das variantes do problema, são apresentados algoritmos, exatos ou de aproximação, alguns resultados de complexidade obtidos, e questões que ficaram em aberto. / This work aimed to study kinetic problems of clustering, i.e., clustering problems in which the objects are moving. The study focused on the unidimensional case, where the objects are points moving on the real line. Several variants of this case have been discussed. Regarding the movement, we consider the case where each point moves at a constant velocity in a given time interval, the case where the points move arbitrarily and we only know their positions in discrete time instants, the case where the points move at a random velocity in which only the expected value of the velocity is known, and the case where, given a partition of the time interval, the points move at constant velocities in each sub-interval. Regarding the kind of clustering sought, we focused in the case where the number of clusters is part of the input of the problem and we consider different measures of quality for the clustering. Two of them are traditional measures for clustering problems: the sum of the cluster diameters and the maximum diameter of a cluster. The third measure considered takes into account the kinetic characteristic of the problem, and allows, in a controlled manner, that a cluster change along time. For each of the variants of the problem, we present algorithms, exact or approximation, some obtained complexity results, and open questions.

Neste projeto estudamos algoritmos de aproximação para o problema da árvore de Steiner com coleta de prêmios. Trata-se de uma generalização do problema da árvore de Steiner, onde é dado um grafo com custos positivos nas arestas e penalidades positivas nos vértices. O objetivo é encontrar uma subárvore do grafo que minimize a soma dos custos das arestas mais a soma das penalidades dos vértices que não pertencem à subárvore. Em 2009, os autores Archer, Bateni, Hajiaghayi e Karloff obtiveram pela primeira vez um algoritmo com fator de aproximação estritamente menor do que 2. Além de analisarmos este algoritmo, estudamos também a implementação de algoritmos 2-aproximação para o problema da árvore de Steiner e da árvore de Steiner com coleta de prêmios. / In this project we analyze approximation algorithms for the prize-collecting Steiner tree problem. This is a generalization of the Steiner tree problem, in which it is given a graph with positive costs in edges and positive penalties in vertices. The goal is to find a subtree of the graph that minimizes the sum of costs of edges plus the sum of the penalties of the vertices that don\'t belong to the subtree. In 2009, the authors Archer, Bateni, Hajiaghayi e Karloff described, for the first time an algorithm with approximation factor strictly less than 2. Besides analyzing this algorithm, we also study the implementation of 2-approximation algorithms to the Steiner tree problem and prize-collecting Steiner tree problem.

O foco central desta tese é o desenvolvimento de algoritmos para o problema de recoloração convexa de caminhos. Neste problema, é dado um caminho cujos vértices estão coloridos arbitrariamente, e o objetivo é recolorir o menor número possível de vértices de modo a obter uma coloração convexa. Dizemos que uma coloração de um grafo é convexa se, para cada cor, o subgrafo induzido pelos vértices dessa cor é conexo. Sabe-se que este problema é NP-difícil. Associamos a este problema um poliedro, e estudamos sua estrutura facial, com vistas ao desenvolvimento de um algoritmo. Mostramos várias inequações válidas para este poliedro, e provamos que várias delas definem facetas. Apresentamos um algoritmo de programação dinâmica que resolve em tempo polinomial o problema da separação para uma classe grande de inequações que definem facetas. Implementamos um algoritmo branch-and-cut baseado nesses resultados, e realizamos testes computacionais com instâncias geradas aleatoriamente. Apresentamos adicionalmente uma heurística baseada numa formulação linear que obtivemos. Estudamos também um caso especial deste problema, no qual as instâncias consistem em caminhos coloridos, onde cada cor ocorre no máximo duas vezes. Apresentamos um algoritmo de 3/2-aproximação para este caso, que é também NP-difícil. Para o caso geral, é conhecido na literatura um algoritmo de 2-aproximação. / The focus of this thesis is the design of algorithms for the convex recoloring problem on paths. In this problem, the instance consists of a path whose vertices are arbitrarily colored, and the objective is to recolor the least number of vertices so as to obtain a convex coloring.Acoloring of a graph is convex if, for each color, the subgraph induced by the vertices of this color is connected. This problem is known to be NP-hard. We associate a polyhedron to this problem and investigate its facial structure. We show various classes of valid inequalities for this polyhedron and prove that many of them define facets.We present a polynomial-time dynamic programming algorithm that solves, in polynomial time, the separation problem for a large class of facet-defining inequalities.We report on the computational experiments with a branch-and-cut algorithm that we propose for the problem. Additionally, we present a heuristic that is based on a linear formulation for the problem. We also study a special case of this problem, restricted to instances consisting of colored paths in which each color occurs at most twice. For this case, which is also NP-hard, we present a 3/2-approximation algorithm. For the general case, it is known a 2-approximation algorithm.

Nesta dissertação estudamos --- do ponto de vista algorítmico --- o seguinte problema, conhecido como problema da partição conexa balanceada. Dado um grafo conexo G com pesos atribuídos a seus vértices, e um inteiro q >= 2, encontrar uma partição dos vértices de G em q classes, de forma que cada classe da partição induza um grafo conexo e que, ao considerar as somas dos pesos dos vértices de cada classe, a menor das somas seja o maior possível. Em outras palavras, o objetivo é encontrar q classes cujos pesos sejam tão balanceados quanto possível. Sabe-se que este problema é NP-difícil. Mencionamos alguns resultados sobre complexidade computacional e algoritmos que são conhecidos para este problema. Apresentamos algumas heurísticas que desenvolvemos, todas elas baseadas no uso do algoritmo polinomial para árvores, devido a Perl e Schach, que apresentamos com detalhe. Implementamos quatro heurísticas e um algoritmo de 3/4-aproximação conhecido para o caso q=2. Exibimos os resultados obtidos com os vários testes computacionais conduzidos com instâncias aleatórias, com grafos de diferentes pesos e densidades. Os resultados computacionais indicam que o desempenho dessas heurísticas --- todas elas polinomiais --- é bem satisfatório. No caso especial em que q=2, observamos que a heurística mais onerosa sistematicamente produziu soluções melhores ou iguais às do algoritmo de aproximação / In this dissertation we study algorithmic aspects of the following problem, known as the balanced connected partition. Given a connected graph G with weights defined on its vertices, and an integer q >= 2, find a partition of the vertices of G into q classes such that each class induces a connected graph, and furthermore, when we consider the sum of the weights of the vertices in each class, the smallest sum is as large as possible. In other words, the q classes must have weights that are as balanced as possible. This problem is known to be NP-hard. We mention some computational complexity and algorithmic results that are known for this problem. We present some heuristics that we designed, all of them based on the use of the polynomial algorithm for trees, due to Perl and Schach, which we show in detail. We implemented four heuristics and a 3/4-approximation algorithm that is known for q=2. We run tests on many random instances, of graphs with different weights and densities. The computational results indicate that the performance of these heuristics --- all of polynomial time complexity --- are very satisfactory. For q=2, we observed that the most expensive heuristic produced solutions with values which are systematically better or equal to those produced by the approximation algorithm.

O foco central desta tese é o desenvolvimento de algoritmos para o problema de recoloração convexa de caminhos. Neste problema, é dado um caminho cujos vértices estão coloridos arbitrariamente, e o objetivo é recolorir o menor número possível de vértices de modo a obter uma coloração convexa. Dizemos que uma coloração de um grafo é convexa se, para cada cor, o subgrafo induzido pelos vértices dessa cor é conexo. Sabe-se que este problema é NP-difícil. Associamos a este problema um poliedro, e estudamos sua estrutura facial, com vistas ao desenvolvimento de um algoritmo. Mostramos várias inequações válidas para este poliedro, e provamos que várias delas definem facetas. Apresentamos um algoritmo de programação dinâmica que resolve em tempo polinomial o problema da separação para uma classe grande de inequações que definem facetas. Implementamos um algoritmo branch-and-cut baseado nesses resultados, e realizamos testes computacionais com instâncias geradas aleatoriamente. Apresentamos adicionalmente uma heurística baseada numa formulação linear que obtivemos. Estudamos também um caso especial deste problema, no qual as instâncias consistem em caminhos coloridos, onde cada cor ocorre no máximo duas vezes. Apresentamos um algoritmo de 3/2-aproximação para este caso, que é também NP-difícil. Para o caso geral, é conhecido na literatura um algoritmo de 2-aproximação. / The focus of this thesis is the design of algorithms for the convex recoloring problem on paths. In this problem, the instance consists of a path whose vertices are arbitrarily colored, and the objective is to recolor the least number of vertices so as to obtain a convex coloring.Acoloring of a graph is convex if, for each color, the subgraph induced by the vertices of this color is connected. This problem is known to be NP-hard. We associate a polyhedron to this problem and investigate its facial structure. We show various classes of valid inequalities for this polyhedron and prove that many of them define facets.We present a polynomial-time dynamic programming algorithm that solves, in polynomial time, the separation problem for a large class of facet-defining inequalities.We report on the computational experiments with a branch-and-cut algorithm that we propose for the problem. Additionally, we present a heuristic that is based on a linear formulation for the problem. We also study a special case of this problem, restricted to instances consisting of colored paths in which each color occurs at most twice. For this case, which is also NP-hard, we present a 3/2-approximation algorithm. For the general case, it is known a 2-approximation algorithm.

Nesta dissertação estudamos --- do ponto de vista algorítmico --- o seguinte problema, conhecido como problema da partição conexa balanceada. Dado um grafo conexo G com pesos atribuídos a seus vértices, e um inteiro q >= 2, encontrar uma partição dos vértices de G em q classes, de forma que cada classe da partição induza um grafo conexo e que, ao considerar as somas dos pesos dos vértices de cada classe, a menor das somas seja o maior possível. Em outras palavras, o objetivo é encontrar q classes cujos pesos sejam tão balanceados quanto possível. Sabe-se que este problema é NP-difícil. Mencionamos alguns resultados sobre complexidade computacional e algoritmos que são conhecidos para este problema. Apresentamos algumas heurísticas que desenvolvemos, todas elas baseadas no uso do algoritmo polinomial para árvores, devido a Perl e Schach, que apresentamos com detalhe. Implementamos quatro heurísticas e um algoritmo de 3/4-aproximação conhecido para o caso q=2. Exibimos os resultados obtidos com os vários testes computacionais conduzidos com instâncias aleatórias, com grafos de diferentes pesos e densidades. Os resultados computacionais indicam que o desempenho dessas heurísticas --- todas elas polinomiais --- é bem satisfatório. No caso especial em que q=2, observamos que a heurística mais onerosa sistematicamente produziu soluções melhores ou iguais às do algoritmo de aproximação / In this dissertation we study algorithmic aspects of the following problem, known as the balanced connected partition. Given a connected graph G with weights defined on its vertices, and an integer q >= 2, find a partition of the vertices of G into q classes such that each class induces a connected graph, and furthermore, when we consider the sum of the weights of the vertices in each class, the smallest sum is as large as possible. In other words, the q classes must have weights that are as balanced as possible. This problem is known to be NP-hard. We mention some computational complexity and algorithmic results that are known for this problem. We present some heuristics that we designed, all of them based on the use of the polynomial algorithm for trees, due to Perl and Schach, which we show in detail. We implemented four heuristics and a 3/4-approximation algorithm that is known for q=2. We run tests on many random instances, of graphs with different weights and densities. The computational results indicate that the performance of these heuristics --- all of polynomial time complexity --- are very satisfactory. For q=2, we observed that the most expensive heuristic produced solutions with values which are systematically better or equal to those produced by the approximation algorithm.

Nessa tese consideramos problemas de alocação e precificação de itens, onde temos um conjunto de itens e um conjunto de compradores interessados em tais itens. Nosso objetivo é escolher uma alocação de itens a compradores juntamente com uma precificação para tais itens para maximizar o lucro obtido, considerando o valor máximo que um comprador está disposto a pagar por um determinado item. Em particular, focamos em três problemas: o Problema da Compra Máxima, o Problema da Precificação Livre de Inveja e o Leilão de Anúncios de Segundo Preço. O Problema da Compra Máxima e o Problema da Precificação Livre de Inveja modelam o problema que empresas que vendem produtos ou serviços enfrentam na realidade, onde é necessário escolher corretamente os preços dos produtos ou serviços disponíveis para os clientes para obter um lucro interessante. Já o Leilão de Anúncios de Segundo Preço modela o problema enfrentado por empresas donas de ferramentas de busca que desejam vender espaço para anunciantes nos resultados das buscas dos usuários. Ambas as questões, tanto a precificação de produtos e serviços quanto a alocação de anunciantes em resultados de buscas, são de grande relevância econômica e, portanto, são interessantes de serem atacadas dos pontos de vista teórico e prático. Nosso foco nesse trabalho é considerar algoritmos de aproximação e algoritmos de programação inteira mista para os problemas mencionados, apresentando novos resultados superiores àqueles conhecidos previamente na literatura, bem como determinar a complexidade computacional destes problemas ou de alguns de seus casos particulares de interesse. / In this thesis we consider allocation and pricing problems, where we have a set of items and a set of consumers interested in such items. Our objective is to choose an allocation of items to consumers, considering the maximum value a consumer is willing to pay in a specific item. In particular, we focus in three problems: the Max-Buying Problem, the Envy-Free Pricing Problem and the Second-Price Ad Auction. The Max-Buying Problem and the Envy-Free Pricing Problem model a problem faced in reality by companies that sell products or services, where it is necessary to correctly choose the price of the products or services available to clients in order to obtain an interesting profit. The Second-Price Ad Auction models the problem faced by companies that own search engines and desire to sell space for advertisers in the search results of the users. Both questions, the pricing of items and services and the allocation of advertisers in search results are of great economical relevance and, for this, are interesting to be attacked from a theoretical and a practical perspective. Our focus in this work is to consider approximation algorithms and mixed integer programming algorithms for the aforementioned problems, presenting new results superior than the previously known in the literature, as well as to determine the computational complexity of such problems or some of their interesting particular cases.

Nessa tese consideramos problemas de alocação e precificação de itens, onde temos um conjunto de itens e um conjunto de compradores interessados em tais itens. Nosso objetivo é escolher uma alocação de itens a compradores juntamente com uma precificação para tais itens para maximizar o lucro obtido, considerando o valor máximo que um comprador está disposto a pagar por um determinado item. Em particular, focamos em três problemas: o Problema da Compra Máxima, o Problema da Precificação Livre de Inveja e o Leilão de Anúncios de Segundo Preço. O Problema da Compra Máxima e o Problema da Precificação Livre de Inveja modelam o problema que empresas que vendem produtos ou serviços enfrentam na realidade, onde é necessário escolher corretamente os preços dos produtos ou serviços disponíveis para os clientes para obter um lucro interessante. Já o Leilão de Anúncios de Segundo Preço modela o problema enfrentado por empresas donas de ferramentas de busca que desejam vender espaço para anunciantes nos resultados das buscas dos usuários. Ambas as questões, tanto a precificação de produtos e serviços quanto a alocação de anunciantes em resultados de buscas, são de grande relevância econômica e, portanto, são interessantes de serem atacadas dos pontos de vista teórico e prático. Nosso foco nesse trabalho é considerar algoritmos de aproximação e algoritmos de programação inteira mista para os problemas mencionados, apresentando novos resultados superiores àqueles conhecidos previamente na literatura, bem como determinar a complexidade computacional destes problemas ou de alguns de seus casos particulares de interesse. / In this thesis we consider allocation and pricing problems, where we have a set of items and a set of consumers interested in such items. Our objective is to choose an allocation of items to consumers, considering the maximum value a consumer is willing to pay in a specific item. In particular, we focus in three problems: the Max-Buying Problem, the Envy-Free Pricing Problem and the Second-Price Ad Auction. The Max-Buying Problem and the Envy-Free Pricing Problem model a problem faced in reality by companies that sell products or services, where it is necessary to correctly choose the price of the products or services available to clients in order to obtain an interesting profit. The Second-Price Ad Auction models the problem faced by companies that own search engines and desire to sell space for advertisers in the search results of the users. Both questions, the pricing of items and services and the allocation of advertisers in search results are of great economical relevance and, for this, are interesting to be attacked from a theoretical and a practical perspective. Our focus in this work is to consider approximation algorithms and mixed integer programming algorithms for the aforementioned problems, presenting new results superior than the previously known in the literature, as well as to determine the computational complexity of such problems or some of their interesting particular cases.