Dans la cryptographie à clé privée l'arithmétique joue un rôle important. En particulier, l'arithmétique des corps finis doit être très rapide étant donnée la quantité de calculs effectués en nécessitant des ressources limitées (surface de circuit, taille mémoire, consommation d'énergie) mais aussi tout en offrant un bon niveau de robustesse vis à vis des attaques physiques. L'objectif de cette thèse etait d'étudier, comparer, concevoir en matériel et enfin de valider expérimentalement et théoriquement des opérateurs arithmétiques matériels pour la cryptographie sur courbes elliptiques (ECC) sur des extensions du corps fini binaire (GF(2m)) à la fois performants, peu gourmands en énergie et robustes d'un point de sécurité contre les attaques physiques par canaux cachés (p.ex. mesure de la consommation d'énergie). Des travaux effectues aboutissent à la proposition d'opérateurs de multiplication performants (rapides, surface de circuit limitée) dans une architecture modulaire (pouvant être adaptée à des besoins spécifiques sans perte de performance). Les calculs requis par ces opérateurs sont complexes car les éléments du corps sont grands (160-580 bits) et la multiplication s'effectue modulo un polynôme irréductible. En plus la thèse presente des modification et l'optimisation des opérateurs pour les rendre plus robustes à certaines attaques par canaux cachés (de type mesure de consommation) sans perte de performance. Sécurisation d'opérateurs arithmétiques pour ECC au niveau des calculs sur le corps fini est particulièrement intéressant car c'est la première proposition de ce type. Ce travail complète un état de l'art en protections aux niveaux supérieurs (courbes, protocoles).

Dans cette thèse, je propose des architectures de coprocesseurs haute performance pour implémenter les primitives de cryptographie asymétrique, comme le RSA, les courbes elliptiques ou le couplage. Les coprocesseurs décrits dans cette thèse ont été implémentés dans des FPGA, et présentent des performances jamais égalées auparavant dans la littérature publique sur ce type de technologie. La particularité de ces architectures est l'utilisation du Residue Number System, un mode de représentation alternatif qui utilise les restes chinois pour calculer efficacement les opérations arithmétiques sur les grands nombres. Ces travaux permettent de confirmer expérimentalement les avantages théoriques de ce mode de représentation pour l'arithmétique modulaire, issus de [14, 13, 43]. Au bénéfice théorique que le RNS apporte s'ajoute une forte capacité de parallélisation qui permet d'obtenir des designs réguliers et pipelinés, proposant une fréquence maximale importante tout en réalisant les opérations modulaires dans un nombre très faible de cycles, et ce quelle que soit la taille des nombres. A titre d'exemple, une multiplication scalaire sur une courbe de 160 bits s'effectue en 0.57 ms sur un Altera Stratix, et en 4 ms pour une courbe de 512 bits, là ou les techniques de représentation classiques réalisent la même opération en le double de temps, à technologie équivalente (excepté pour des courbes particulières). Dans le cas du couplage, le gain est encore plus intéressant, puisqu'il a permis une division par 4 de latence de la meilleure implémentation sur corps de grande caractéristique au moment de la publication de [35], et la première implémentation d'un couplage à 128 bits de sécurité sur corps de grande caractéristique à descendre en dessous de la milliseconde. Enfin, je démontre la capacité du RNS à sécuriser une implémentation haute performance, en proposant 2 contre-mesures contre les canaux auxiliaires et les fautes s'adaptant efficacement sur les coprocesseurs et pouvant être utilisées pour toutes les primitives cryptographiques basées sur l'arithmétique modulaire de grands nombres.

Avec le développement des communications et de l'Internet, l'échange des informations cryptées a explosé. Cette évolution a été possible par le développement des protocoles de la cryptographie asymétrique qui font appel à des opérations arithmétiques telles que l'exponentiation modulaire sur des grands entiers ou la multiplication scalaire de point de courbe elliptique. Ces calculs sont réalisés par des plates-formes diverses, depuis la carte à puce jusqu'aux serveurs les plus puissants. Ces plates-formes font l'objet d'attaques qui exploitent les informations recueillies par un canal auxiliaire, tels que le courant instantané consommé ou le rayonnement électromagnétique émis par la plate-forme en fonctionnement.Dans la thèse, nous améliorons les performances des opérations résistantes à l'attaque Simple Power Analysis. Sur l'exponentiation modulaire, nous proposons d'améliorer les performances par l'utilisation de multiplications modulaires multiples avec une opérande commune optimisées. Nous avons proposé trois améliorations sur la multiplication scalaire de point de courbe elliptique : sur corps binaire, nous employons des améliorations sur les opérations combinées AB,AC et AB+CD sur les approches Double-and-add, Halve-and-add et Double/halve-and-add et l'échelle binaire de Montgomery ; sur corps binaire, nous proposons de paralléliser l'échelle binaire de Montgomery ; nous réalisons l'implantation d'une approche parallèle de l'approche Right-to-left Double-and-add sur corps premier et binaire, Halve-and-add et Double/halve-and-add sur corps binaire. / The development of online communications and the Internet have made encrypted data exchange fast growing. This has been possible with the development of asymmetric cryptographic protocols, which make use of arithmetic computations such as modular exponentiation of large integer or elliptic curve scalar multiplication. These computations are performed by various platforms, including smart-cards as well as large and powerful servers. The platforms are subject to attacks taking advantage of information leaked through side channels, such as instantaneous power consumption or electromagnetic radiations.In this thesis, we improve the performance of cryptographic computations resistant to Simple Power Analysis. On modular exponentiation, we propose to use multiple multiplications sharing a common operand to achieve this goal. On elliptic curve scalar multiplication, we suggest three different improvements : over binary fields, we make use of improved combined operation AB,AC and AB+CD applied to Double-and-add, Halve-and-add and Double/halve-and-add approaches, and to the Montgomery ladder ; over binary field, we propose a parallel Montgomery ladder ; we make an implementation of a parallel approach based on the Right-to-left Double-and-add algorithm over binary and prime fields, and extend this implementation to the Halve-and-add and Double/halve-and-add over binary fields.