Ce travail porte sur la dynamique de la matière granulaire dans l'état fluide, et sa réponse à une excitation localisée dans deux limites : une faible perturbation suite à laquelle le système relaxe rapidement vers un état homogène, ou une agitation intense donnant lieu à une onde de choc telle qu'un souffle d'explosion. Cette réponse est affectée par deux caractéristiques des fluides granulaires : les particules macroscopiques qui les composent sont d'une part inélastiques, de sorte que leur dynamique est dissipative et ne possède pas d'état d'équilibre, et d'autre part polydisperses, c'est-à-dire hétérogènes en taille et en masse. Nous isolons d'abord un effet dynamique de la polydispersité en montrant qu'il existe un mélange optimal qui minimise le temps de relaxation du fluide vers son état asymptotique. Nous nous intéressons ensuite au cas où une seule des espèces est perturbée par l'application d'un champ extérieur, et étudions l'état stationnaire hors d'équilibre ainsi établi, dans la limite du traceur où les autres espèces constituent un bain stationnaire. Enfin, nous modélisons la croissance de formes autosimilaires dans ce bain suite à une intense libération ponctuelle d'énergie, que nous comparons au souffle d'une explosion dans un gaz moléculaire. / This work focuses on the dynamics of the fluid state of granular matter, and its response to a localized perturbation in two limiting cases : relaxation toward a homogeneous state or growth of a blast wave. This response is shaped by two distinctive features of granular media: their macroscopic constituent particles are both inelastic, entailing intrinsically non-equilibrium dynamics, and polydisperse or heterogeneous in their material properties. First, we isolate the effects of polydispersity in the return of a gas to its homogeneous asymptotic state, and evidence the existence of an optimal mixture for which the relaxation time is minimal. We then restrict the perturbation to accelerating a single species with an external field in order to study the induced non-equilibrium stationary state in the tracer limit, where other species are undisturbed by this process. Finally, we model the self-similar shock wave generated in such a dissipative bath by an intense yet localized release of energy, and contrast it with blast waves in molecular gases.

L'autosimilarité et l'évolution asymptotique intermédiaire sont des caractéristiques fondamentales de divers phénomènes physiques. Les recherches dans le domaine de l'optique ont mené à la prévision et à l'observation du similariton, nouvelle classe d'impulsions optiques ultracourtes présentant un profil d'intensité parabolique et développé par celles-ci au cours de leur propagation dans un amplificateur fibré à dispersion normale. Au delà de leur intérêt scientifique, les similaritons optiques sont d'une importance pratique primordiale du fait que leur profil peut être maintenu sans distorsion dans toute fibre à dispersion normale active ou passive et parce qu'ils possèdent un chirp strictement linéaire facilitant leur compression. Ce mémoire s'attache à mettre en évidence les possibilités d'obtention de ce profil dans un amplificateur à fibre dopée erbium. Les impulsions expérimentales caractérisées à l'aide d'un dispositif FROG présentent un profil d'intensité ainsi qu'une dérive fréquentielle en accord avec les résultats issus d'un modèle numérique. Nous avons aussi été en mesure d'étudier la formation des ailes du similariton durant son régime asymptotique intermédiaire. Une application typique des similaritons consiste dans le développement de sources impulsionnelles ultracourtes; expérimentalement nous avons développé un dispositif femtoseconde totalement fibré combinant un amplificateur à similaritons et une fibre à bandes interdites photoniques.

Ce travail porte sur l'estimation des indices d'autosimilarité et de stabilité d'un processus ou champ stable fractionnaire et autosimilaire ou d'un processus stable multifractionnaire.Plus précisément, soit X un processus ou un champ stable H-autosimilaire à accroissements stationnaires (H-sssi) ou un processus stable multifractionnaire. Nous observons X aux points k/n, k=0,..., n.Nos estimations sont basées sur des variations de puissances négatives beta avec -1/2<beta<0: en effet, ces variations ont une espérance et une variance.Nous obtenons des estimateurs consistants, avec les vitesses de convergence, pour plusieurs processus H-sssi alpha-stables classiques (mouvement brownien fractionnaire, mouvement stable fractionnaire linéaire, processus de Takenaka, movement de Lévy).De plus, nous obtenons la normalité asymptotique de nos estimations pour le mouvement brownien fractionnaire et le mouvement de Lévy.Ce nouveau cadre nous permet de donner une estimation pour le paramètre d'autosimilarité H sans hypothèse sur alpha et, vice versa, nous pouvons estimer l'indice stable alpha sans hypothèse sur H.En généralisant, pour le cas d'une dimension supérieure à 1, nous obtenons également des estimateurs consistants pour H et alpha. Les résutats sont illustrés par des exemples: champ de Lévy fractionnaire, champ stable fractionnaire linéaire, champ de Takenaka.Pour les processus stables multifractionnaires, nous nous concentrons sur le mouvement brownien multifractionnaire et le processus stable multifractionnaire linéaire. Dans ces deux cas, nous obtenons la consistance des estimateurs pour la fonction d'autosimilarité à un temps donné u et pour l'indice stable alpha. / This work is concerned with the estimation of the self-similarity and the stability indices of a H-self-similarity stable process (field) or a multifractional stable process.More precisely, let X be a H-sssi (self-similar stationary increments) symmetric alpha-stable process (field) or a multifractional stable process. We observe X at points k/n, k=0,...,n.Our estimates are based on beta-negative power variations with -1/2<beta<0, thanks to the existence of expectations and covariances of these variations.We get consistent estimators, with rates of convergence, for several classical H-sssi alpha-stable processes(fractional Brownian motion, well-balanced linear fractional stable motion, Takenaka's processes, Lévy motion). Moreover, we get asymptotic normality of our estimates for fractional Brownian motion and Lévy motion.This new framework allows us to give an estimator for the self-similarity parameter H without assumptions on alpha and, vice versa, we can estimate the stable index alpha without assumptions on H.Generalizing for the case of high dimensions, we also obtain consistent estimators for H and alpha. The results are illustrated with some familiar examples: Lévy fractional Brownian field, well-balanced linear fractional stable field and Takenaka random field.For multifractional stable process, we concentrate on multifractional Brownian motion and linear multifractional stable process. In these two cases, we get the consistency of the estimators for the value of self-similarity function H at a fixed time u and for the stability index alpha.

Cette thèse se divise en deux parties. Nous nous intéressons dans un premier temps à des fragmentations d'arbres aléatoires, et aux arbres des coupes associés. Dans le cadre discret, les modèles étudiés sont des arbres de Galton-Watson, fragmentés en enlevant successivement des arêtes choisies au hasard. Nous étudions également leurs analogues continus, l'arbre brownien et les arbres stables, que l'on fragmente en supprimant des points donnés par des processus ponctuels de Poisson. L'arbre des coupes associé à l'un de ces processus, discret ou continu, décrit la généalogie des composantes connexes créées au fur et à mesure de la dislocation. Pour une fragmentation qui se concentre autour de nœuds de grand degré, nous montrons que l'arbre des coupes continu est la limite d'échelle des arbres des coupes discrets correspondants. Dans les cas brownien et stable, nous montrons également que l'on peut reconstruire l'arbre initial à partir de son arbre des coupes et d'un étiquetage bien choisi de ses points de branchement. Nous étudions ensuite un problème portant sur les cartes aléatoires, et plus précisément sur la quadrangulation uniforme infinie du plan (UIPQ). De récents résultats montrent que dans l'UIPQ, toutes les géodésiques infinies issues de la racine sont essentiellement similaires. Nous déterminons la quadrangulation limite obtenue en ré-enracinant l'UIPQ ''à l'infini'' sur de l'une de ces géodésiques. Cette étude se fait en découpant l'UIPQ le long de cette géodésique. Nous étudions les deux parties ainsi créées via une correspondance avec des arbres discrets, puis nous obtenons la limite souhaitée par recollement. / This PhD thesis is divided into two parts. First, we study some fragmentations of random trees and the associated cut-trees. The discrete models we are interested in are Galton-Watson trees, which are cut down by recursively removing random edges. We also consider their continuous counterparts, the Brownian and stable trees, which are fragmented by deleting the atoms of Poisson point processes. For these discrete and continuous models, the associated cut-tree describes the genealogy of the connected components which appear during the cutting procedure. We show that for a ''vertex-fragmentation'', in which the nodes having a large degree are more susceptible to be deleted, the continuous cut-tree is the scaling limit of the corresponding discrete cut-trees. In the Brownian and stable cases, we also give a transformation which rebuilds the initial tree from its cut-tree and a well chosen labeling of its branchpoints. The second part relates to random maps, and more precisely the uniform infinite quadrangulation of the plane (UIPQ). Recent results show that in the UIPQ, all infinite geodesic rays originating from the root are essentially similar. We identify the limit quadrangulation obtained by rerooting the UIPQ at a point ''at infinity'' on one of these geodesics. To do this, we split the UIPQ along this geodesic ray. Using a correspondence with discrete trees, we study the two sides, and obtain the desired limit by gluing them back together.