Cette thèse est consacrée à l'étude du comportement asymptotique de grands graphes et arbres aléatoires. Le premier modèle étudié est un modèle de graphe aléatoire inhomogène introduit par Bo Söderberg. Un chapitre de ce manuscrit est consacré à l'étude asymptotique de la taille des composantes connexes à proximité de la fenêtre critique, en le reliant à la longueur des excursions d'un mouvement brownien avec dérive parabolique, étendant les résultats obtenus par Aldous. Le chapitre suivant est consacré à un processus de graphes aléatoires proposé par Itai Benjamini, défini ainsi : les arêtes sont ajoutées indépendamment, à taux fixe. Lorsqu'un sommet atteint le degré k, toutes les arêtes adjacentes à ce sommet sont immédiatement supprimées. Ce processus n'est pas croissant, ce qui empêche d'utiliser directement certaines approches usuelles. L'utilisation de limites locales permet de montrer la présence (resp. l'absence) d'une composante géante à certaines étapes dans le cas k>=5 (resp. k<=3). Dans le cas k=4, ces résultats permettent de caractériser la présence d'une composante géante en fonction du caractère surcritique ou non d'un processus de branchement associé. Dans le dernier chapitre est étudiée la hauteur d'un arbre de Lyndon associé à un mot de Lyndon choisi uniformément parmi les mots de Lyndon de longueur n, prouvant que cette hauteur est approximativement c ln n, avec c=5,092... la solution d'un problème d'optimisation. Afin d'obtenir ce résultat, nous couplons d'abord l'arbre de Lyndon à un arbre de Yule, que nous étudions ensuite à l'aide de techniques provenant des théories des marches branchantes et des grandes déviations. / This thesis is dedicated to the study of the asymptotic behavior of some large random graphs and trees. First is studied a random graph model introduced by Bo Söderberg in 2002. One chapter of this manuscript is devoted to the study of the asymptotic behavior of the size of the connected components near the critical window, linking it to the lengths of excursion of a Brownian motion with parabolic drift. The next chapter talks about a random graph process suggested by Itai Benjamini, defined as follows: edges are independently added at a fixe rate. Whenever a vertex reaches degree k, all adjacent edges are removed. This process is non-increasing, preventing the use of some commonly used methods. By using local limits, in the spirit of the PWIT, we were able to prove the presence (resp. absence) of a giant component at some stages of the process when k>=5 (resp. k<=3). In the case k=4, these results allows to link the presence (resp. absence) of a giant component to the supercriticality (resp. criticality or subcriticality) of an associated branching process. In the last chapter, the height of random Lyndon tree is studied, and is proven to be approximately c ln n, in which c=5.092... the solution of an optimization problem. To obtain this result, we couple the Lyndon tree with a Yule tree, then studied with the help of branching walks and large deviations

Cette thèse se compose de plusieurs travaux portant sur deux branches de la théorie des probabilités: processus de particules et cartes planaires aléatoires. Un premier travail concerne les aspects algébriques des mesures invariantes des processus de particules. Nous obtenons des conditions nécessaires et suffisantes sous lesquelles un processus de particules en temps continu avec espace d’états local discret possède une mesure invariante simple. Dans un deuxième travail nous étudions un modèle "biologique" de coexistence de 2 espèces en compétition sur un espace partagé, et soumis à des épidémies modélisées par un modèle probabiliste appelé "feux de forêts". Notre résultat principal montre que pour deux espèces, il existe des régions explicites de paramètres pour lesquelles une espèce domine ou les deux espèces coexistent. Il s’agit d’un des premiers modèles pour lesquels la coexistence d’espèces sur le long terme est prouvée. Les troisièmes et quatrièmes travaux. portent sur les cartes planaires décorées par des arbres. Dans le troisième nous présentons une bijection entre l’ensemble des cartes décorées par des arbres et le produit Cartésien entre l’ensemble des arbres planaires et l’ensemble de cartes à bord simple. Nous obtenons quelques formules de comptage et quelques outils pour l’étude de cartes aléatoires décorées par un arbre. Le quatrième travail montre que les triangulations et quadrangulations aléatoires uniformes avec f faces, bord simple de taille p et décorées par un arbre avec a arêtes, convergent en loi pour la topologie locale vers différentes limites, dépendant du comportement fini ou infini de la limite de f, p et a. / This thesis consists in several works exploring some models belonging to two branches of probability theory: interacting particle systems and random planar maps. A first work concerns algebraic aspects of interacting particle systems invariant measures. We obtain some necessary and sufficient conditions for some continuous time particle systems with discrete local state space, to have a simple invariant measure. In a second work we investigate the effect on survival and coexistence of introducing forest fire epidemics to a certain two-species spatial competition model. Our main results show that, for the two-type model, there are explicit parameter regions where either one species dominates or there is coexistence; contrary to the same model without forest fires, for which the fittest species alwaysdominates. The third and fourth works are related to tree-decorated planar maps. In the third work we present a bijection between the set of tree-decorated maps and the Cartesian product between the set of trees and the set of maps with a simple boundary. We obtain some counting results and some tools to study random decorated map models. In the fourth work we prove that uniform tree-decorated triangulations and quadrangulations with f faces, boundary of length p and decorated by a tree of size a converge weakly for the local topology to different limits, depending on the finite or infinite behavior of f, p and a.

Dans cette thèse, nous étudions les propriétés quantitatives de récurrence de certains systèmes dynamiques préservant une mesure infinie. Nous nous intéressons au premier temps de retour des orbites d'un système dynamique dans un petit voisinage de leurs points de départ. Tout d'abord, nous commençons par considérer un modèle jouet probabilistique pour éclairer la stratégie de nos preuves. On s'intéresse particulièrement au cas où la mesure est infinie, plus précisément, nous considérons les Z -extensions des sous-shift de type fini. Nous étudions le comportement asymptotique du premier temps de retour au voisinage de l'origine, et nous établissons des résultats de type de convergence presque partout, et aussi de convergence en loi par rapport à toute mesure de probabilité absolument continue par rapport à la mesure infinie. Dans ce travail, nous nous également intéressons à d'autres systèmes dynamiques. Nous considérons un flot Axiome A(gt)t sur une variété riemannienne M munie d'une mesure σ -finie μ. Nous supposerons que la mesure μ est une mesure d'équilibre pour (gt)t. Afin d'établir nos résultats, nous introduisons des notions de dynamique hyperbolique. En particulier, nous considérons la section de Markov qui a été introduite par Bowen et Ratner. / In this thesis, we study the quantitative recurrence properties of some dynamical systems preserving an infinite measure. We are interested in the first return time of the orbits of a dynamical system into a small neighborhood of their starting points. First, we start by considering a toy probabilistic model to clarify the strategy of our proofs. Our interest is when the measure is indeed infinite, more precisely we consider the Z-extensions of subshifts of finite type. We study the asymptotic behavior of the first return time near the origin, and we establish results of an almost everywhere convergence kind, and a convergence in distribution with respect to any probability measure absolutely continuous with respect to the infinite measure. In this work, we are also interested in another dynamicals systems. We consider an Axiom A flow (gt)t on a Riemannian manifold M endowed with a σ-finite measure μ. We will assume that the measure μ is an equilibrium measure for (gt)t. In order to establish our results, we introduce notions from hyperbolic dynamics. In particular, we consider the Markov section which was constructed by Bowen and Ratner.

Dans cette thèse nous nous sommes intéressés de trois types de problèmes : 1 -Existence et unicité d’une fonction harmonique strictement positive associée à une marche aléatoire inhomogène confinée dans un orthant. 2 -Etude de la convergence en loi des arbres de Galton Watson critiques conditionnés à avoir un nombre assez grand de noeuds protégés. 3 -Etude de la convergence en loi des arbres de Galton Watson conditionnés à avoir une génération anormalement grande. / In this thesis we are interested in three types of problems: 1-Existence and uniqueness of a positive harmonic function associated with an inhomogeneous random walk confined in an orthant. 2-Study of convergence in distribution of critical Galton Watson trees conditioned to have a large enoughnumber of protected nodes. 3-Study of the convergence in distribution of Galton Watson trees conditioned to have a large generation.

Cette thèse vise à améliorer notre compréhension des cartes planaires aléatoires décorées par les modèles de physique statistique. On examine trois modèles particuliers à l'aide des outils provenant de l'analyse, de la combinatoire et des probabilités. Dans une perspective géométrique, on se concentre sur les propriétés des interfaces et les limites locales des cartes aléatoires décorées. Le premier modèle consiste en une famille de quadrangulations aléatoires du disque décorées par un modèle de boucles O(n). Après avoir complété la preuve de son diagramme de phase initiée par [BBG12c] (chap. II), on étudie les longueurs et la structure d'imbrication des boucles dans la phase critique non-générique (chap. III). On montre que ces statistiques, décrites par un arbre étiqueté, convergent en loi vers une cascade multiplicative explicite lorsque le périmètre du disque tend vers l'infini. Le deuxième modèle (chap. IV) consiste en une carte planaire aléatoire décorée par la percolation de Fortuin-Kasteleyn. On complète la preuve de la convergence du modèle esquissée dans [She16b] et établit un certain nombre de propriétés de la limite. Le troisième modèle (chap. V) est celui des triangulations aléatoires du disque décorées par le modèle d'Ising. Il est étroitement lié au modèle des quadrangulations décorées par un modèle O(n) quand n=1. On calcule explicitement la fonction de partition du modèle muni des conditions au bord de Dobrushin au point critique, sous une forme exploitable pour les asymptotiques. À l'aide de ces asymptotiques, on étudie le processus d'épluchage le long de l'interface d'Ising dans la limite où le périmètre du disque tend vers l'infini. Mots clés. Carte planaire aléatoire, modèle de boucles O(n), percolation de Fortuin-Kasteleyn, modèle d'Ising, limite locale, géométrie d'interfaces. / The aim of this thesis is to improve our understanding of random planar maps decorated by statistical physics models. We examine three particular models using tools coming from analysis, combinatorics and probability. From a geometric perspective, we focus on the interface properties and the local limits of the decorated random maps. The first model defines a family of random quadrangulations of the disk decorated by an O(n)-loop model. After completing the proof of its phase diagram initiated in [BBG12c] (Chap. II), we look into the lengths and the nesting structure of the loops in the non-generic critical phase (Chap. III). We show that these statistics, described as a labeled tree, converge in distribution to an explicit multiplicative cascade when the perimeter of the disk tends to infinity. The second model (Chap. IV) consists of random planar maps decorated by the Fortuin-Kasteleyn percolation. We complete the proof of its local convergence sketched in [She16b] and establish a number of properties of the limit. The third model (Chap. V) is that of random triangulations of the disk decorated by the Ising model. It is closely related to the O(n)-decorated quadrangulation when n=1. We compute explicitly the partition function of the model with Dobrushin boundary conditions at its critical point, in a form ameneable to asymptotics. Using these asymptotics, we study the peeling process along the Ising interface in the limit where the perimeter of the disk tends to infinity.Key words. Random planar map, O(n) loop model, Fortuin-Kasteleyn percolation, Ising model, local limit, interface geometry.

Cette thèse se divise en deux parties. Nous nous intéressons dans un premier temps à des fragmentations d'arbres aléatoires, et aux arbres des coupes associés. Dans le cadre discret, les modèles étudiés sont des arbres de Galton-Watson, fragmentés en enlevant successivement des arêtes choisies au hasard. Nous étudions également leurs analogues continus, l'arbre brownien et les arbres stables, que l'on fragmente en supprimant des points donnés par des processus ponctuels de Poisson. L'arbre des coupes associé à l'un de ces processus, discret ou continu, décrit la généalogie des composantes connexes créées au fur et à mesure de la dislocation. Pour une fragmentation qui se concentre autour de nœuds de grand degré, nous montrons que l'arbre des coupes continu est la limite d'échelle des arbres des coupes discrets correspondants. Dans les cas brownien et stable, nous montrons également que l'on peut reconstruire l'arbre initial à partir de son arbre des coupes et d'un étiquetage bien choisi de ses points de branchement. Nous étudions ensuite un problème portant sur les cartes aléatoires, et plus précisément sur la quadrangulation uniforme infinie du plan (UIPQ). De récents résultats montrent que dans l'UIPQ, toutes les géodésiques infinies issues de la racine sont essentiellement similaires. Nous déterminons la quadrangulation limite obtenue en ré-enracinant l'UIPQ ''à l'infini'' sur de l'une de ces géodésiques. Cette étude se fait en découpant l'UIPQ le long de cette géodésique. Nous étudions les deux parties ainsi créées via une correspondance avec des arbres discrets, puis nous obtenons la limite souhaitée par recollement. / This PhD thesis is divided into two parts. First, we study some fragmentations of random trees and the associated cut-trees. The discrete models we are interested in are Galton-Watson trees, which are cut down by recursively removing random edges. We also consider their continuous counterparts, the Brownian and stable trees, which are fragmented by deleting the atoms of Poisson point processes. For these discrete and continuous models, the associated cut-tree describes the genealogy of the connected components which appear during the cutting procedure. We show that for a ''vertex-fragmentation'', in which the nodes having a large degree are more susceptible to be deleted, the continuous cut-tree is the scaling limit of the corresponding discrete cut-trees. In the Brownian and stable cases, we also give a transformation which rebuilds the initial tree from its cut-tree and a well chosen labeling of its branchpoints. The second part relates to random maps, and more precisely the uniform infinite quadrangulation of the plane (UIPQ). Recent results show that in the UIPQ, all infinite geodesic rays originating from the root are essentially similar. We identify the limit quadrangulation obtained by rerooting the UIPQ at a point ''at infinity'' on one of these geodesics. To do this, we split the UIPQ along this geodesic ray. Using a correspondence with discrete trees, we study the two sides, and obtain the desired limit by gluing them back together.