Num problema de espalhamento temos partículas incidentes sobre uma região de espalhamento que, depois de interagir por algum tempo nessa região, escapam para o infinito. Quando o espalhamento é caótico, a função de espalhamento (que é a relação entre uma variável antes do espalhamento e outra variável depois do espalhamento), apresenta singularidades sobre um conjunto de Cantor de condições iniciais. O espalhamento caótico pode ser dividido em dois tipos: espalhamento não-hiperbólico e hiperbólico. No espalhamento não-hiperbólico, o conjunto invariante contém órbitas estáveis. O decaimento das partículas que escapam do conjunto invariante é regido por uma lei de potência com relação ao tempo. No caso do espalhamento hiperbólico, a sela caótica é hiperbólica e todas as órbitas que a compõem são instáveis. O decaimento das partículas na região de espalhamento segue uma exponencial decrescente. Investigamos a transição do espalhamento não-hiperbólico para o hiperbólico quando ruído é adicionado à dinâmica do sistema. Isto porque prevíamos que o ruído reduzisse o efeito de aprisionamento (stickness) dos conjuntos de órbitas estáveis, provocando um decaimento exponencial. Introduzimos perturbações randômicas a fim de simular flutuações reais que ocorrem em sistemas físicos, como por exemplo, um vórtex que depende irregularmente do tempo no estudo de fluidos. Assim, usamos o conceito de mapas randômicos, que são mapas onde um ou mais parâmetros são variados aleatoriamente a cada iteração. Estudamos então, os efeitos provocados por perturbações randômicas em um sistema com espalhamento caótico não-hiperbólico. / In a scattering problem we have particles inciding on a scattering region and these particles, after spending some time in this region, escape towards infinity. When the scattering is chaotic, the scattering function (a function that relates an input variable with an output variable), is singular on a Cantor set of initial conditions. The chaotic scattering can be either non-hyperbolic or hyperbolic. In the non-hyperbolic scattering, the invariant set has stable orbits. This decay is governed by a power law in time. In the hyperbolic case, the chaotic saddle is hyperbolic and all the orbits are unstable. The decay of the particles is a decreasing exponential in the time. We investigate the transition from non-hyperbolic to hyperbolic scattering as noise is added to the system. One expects that noise will reduce the stickness of the regular regions, resulting in an exponential decay law, typical of hyperbolic systems. We apply random perturbations in order to simulate the real fluctuations that occur in physical systems, for example, an aperiodic vortex in a fluid flow. So, we work with random maps, where we change randomly one or more parameters on each iteration. We study thus, the effects of the random perturbations on a system having non-hyperbolic scattering.

Num problema de espalhamento temos partículas incidentes sobre uma região de espalhamento que, depois de interagir por algum tempo nessa região, escapam para o infinito. Quando o espalhamento é caótico, a função de espalhamento (que é a relação entre uma variável antes do espalhamento e outra variável depois do espalhamento), apresenta singularidades sobre um conjunto de Cantor de condições iniciais. O espalhamento caótico pode ser dividido em dois tipos: espalhamento não-hiperbólico e hiperbólico. No espalhamento não-hiperbólico, o conjunto invariante contém órbitas estáveis. O decaimento das partículas que escapam do conjunto invariante é regido por uma lei de potência com relação ao tempo. No caso do espalhamento hiperbólico, a sela caótica é hiperbólica e todas as órbitas que a compõem são instáveis. O decaimento das partículas na região de espalhamento segue uma exponencial decrescente. Investigamos a transição do espalhamento não-hiperbólico para o hiperbólico quando ruído é adicionado à dinâmica do sistema. Isto porque prevíamos que o ruído reduzisse o efeito de aprisionamento (stickness) dos conjuntos de órbitas estáveis, provocando um decaimento exponencial. Introduzimos perturbações randômicas a fim de simular flutuações reais que ocorrem em sistemas físicos, como por exemplo, um vórtex que depende irregularmente do tempo no estudo de fluidos. Assim, usamos o conceito de mapas randômicos, que são mapas onde um ou mais parâmetros são variados aleatoriamente a cada iteração. Estudamos então, os efeitos provocados por perturbações randômicas em um sistema com espalhamento caótico não-hiperbólico. / In a scattering problem we have particles inciding on a scattering region and these particles, after spending some time in this region, escape towards infinity. When the scattering is chaotic, the scattering function (a function that relates an input variable with an output variable), is singular on a Cantor set of initial conditions. The chaotic scattering can be either non-hyperbolic or hyperbolic. In the non-hyperbolic scattering, the invariant set has stable orbits. This decay is governed by a power law in time. In the hyperbolic case, the chaotic saddle is hyperbolic and all the orbits are unstable. The decay of the particles is a decreasing exponential in the time. We investigate the transition from non-hyperbolic to hyperbolic scattering as noise is added to the system. One expects that noise will reduce the stickness of the regular regions, resulting in an exponential decay law, typical of hyperbolic systems. We apply random perturbations in order to simulate the real fluctuations that occur in physical systems, for example, an aperiodic vortex in a fluid flow. So, we work with random maps, where we change randomly one or more parameters on each iteration. We study thus, the effects of the random perturbations on a system having non-hyperbolic scattering.

Since the introduction of Pollard's rho method for integer factorisation in 1975 there has been great interest in understanding the dynamics of quadratic maps over finite fields. One avenue for this, and indeed the heuristic on which Pollard bases the proof of the method's efficacy, is the idea that quadratic maps behave roughly like random maps. We explore this heuristic from the perspective of comparing the number of periodic points. We find that empirically random maps appear to model the number of periodic points of quadratic maps well, and moreover prove that the number of periodic points of random maps satisfy an interesting asymptotic behaviour that we have observed experimentally for quadratic maps.

La première partie de cette thèse s’inscrit dans le domaine des cartes aléatoires, qui est un sujet à la frontière des probabilités, de la combinatoire et de la physique statistique. Nos travaux complètent une série de résultats de convergence de différents modèles de cartes aléatoires vers la carte brownienne, qui est un espace métrique compact aléatoire. Plus précisément, on montre que la limite d’échelle d’une carte de loi uniforme sur l’ensemble des cartes biparties enracinées à n arêtes, munie de la distance de graphe renormalisée par (2n)^(−1/4), est, au sens de Gromov–Hausdorff, la carte brownienne. Pour prouver ce résultat, les arguments importants sont d’une part l’utilisation d’une bijection combinatoire entre cartes biparties et arbres multitypes, et d’autre part des théorèmes de convergence pour les arbres de Galton–Watson multitypes étiquetés. Dans un deuxième temps, le but est de présenter une théorie des excursions pour le mouvement brownien indexé par l’arbre brownien. De manière analogue à la théorie d’Itô des excursions pour le mouvement brownien, chaque excursion correspond à une composante connexe du complémentaire des zéros du mouvement brownien indexé par l’arbre, et l’excursion est définie comme un processus indexé par un arbre continu. On explique comment mesurer la longueur de la frontière de ces excursions, de sorte que la famille de ces longueurs coïncide avec les sauts d’un processus de branchement à temps continu de mécanisme de branchement stable d’indice 3/2. De plus, conditionnellement aux longueurs des frontières, les excursions sont indépendantes et leur loi conditionnelle est déterminée à l’aide d’une mesure d’excursion explicite que l’on introduit et décrit. Dans ce travail, le serpent brownien apparaît comme un outil particulièrement important. / The first part of this thesis concerns the area of random maps, which is a topic in between probability theory, combinatorics and statistical physics. Our work complements several results of convergence of various classes of random maps to the Brownian map, which is a random compact metric space. More precisely, we prove that the scaling limit of a map which is uniformly distributed over the class of rooted planar maps with n edges, equipped with the graph distance rescaled by (2n)^(−1/4), is, in the Gromov-Hausdorff sense, the Brownian map. To establish this result, the main arguments are the use of a combinatorial bijection between bipartite maps and multitype trees, together with convergence theorems for Galton-Watson multitype trees. We then aim to develop an excursion theory for Brownian motion indexed by the Brownian tree. Analogous to the Itô excursion theory for Brownian motion, each excursion corresponds to a connected component of the complement of the zero set of the tree-indexed Brownian motion, and the excursion is defined as a process indexed by a continuous tree. We explain how to measure the length of the boundary of these excursions, in a way that the collection of these lengths coincides with the collection of jumps of a continuous-state branching process with a 3/2-stable branching mechanism. Moreover, conditionally on the boundary lengths, the excursions are independent and their conditional distribution is determined in terms of an excursion measure that we introduce and study. In this work, the Brownian snake appears as a particularly important tool.

Cette thèse se situe à l'interface entre combinatoire et probabilités,et contribue à l'étude de différents modèles issus de la mécanique statistique : polymères, marches aléatoires inter-agissantes ou en milieu aléatoire, cartes aléatoires. Le premier modèle que nous étudions est une famille de mesures de probabilités sur les chemins auto-évitants de longueur infinie sur un réseau régulier, construites à partir de marches aléatoires biaisées sur l'arbre des chemins auto-évitants finis. Ces mesures, introduites par Beretti et Sokal, existent pour tout biais strictement supérieur à l'inverse de la constante de connectivité, et leur limite en ce biais critique serait l'un des définitions naturelles de la marche aléatoire uniforme en longueur infinie. Le but de ce travail, en collaboration avec Vincent Beffara, est de comprendre le lien entre cette limite, si elle existe, et d'autres chemins aléatoires notamment la mesure de Kesten (qui est la limite faible de la marche auto-évitante uniforme dans le demi-plan) et les interfaces de percolation de Bernoulli critique; d'une certaine façon le modèle constitue une interpolation entre les deux. Dans une deuxième partie, nous considérons des marches aléatoires en conductances aléatoires sur un arbre quelconque, dans le cas où la loi des conductances est à queue lourde. L’objectif de notre travail, en collaboration avec Andrea Collevecchio et Daniel Kious, est de montrer une transition de phase par rapport au paramètre de la queue; on exprime le paramètre critique comme une fonction explicite de l'arbre sous-jacent. Parallèlement, nous étudions des modèles de marches aléatoires excitées sur des arbres et leurs transitions de phase. En particulier, nous étendons une conjecture de Volkov et généralisons des résultats de Bas devant et Singh. Enfin, une troisième partie en collaboration avec Vincent Beffara et Benjamin Lévêque porte sur les cartes aléatoires en genre supérieur : nous montrons l'existence de limites d'échelle, le long de sous-suites, pour les triangulations simples uniformes sur le tore, étendant à ce cas les résultats d'Adario-Berri et Albenque (sur les triangulations simples de la sphère) et de Bettinelli (sur les quadrangulations du tore). La question de l'unicité de la limite et de son universalité restent ouvertes, mais nous obtenons des résultats partiels dans ce sens. / This thesis is at the interface between combinatorics and probability,and contributes to the study of a few models stemming from statisticalmechanics: polymers, self-interacting random walks and random walks inrandom environment, random maps.bigskipThe first model that we investigate is a one-parameter family ofprobability measures on self-avoiding paths of infinite length on aregular lattice, constructed from biased random walks on the tree offinite self-avoiding paths. These measures, initially introduced byBeretti and Sokal, exist for every bias larger than the inverseconnectivity constant, and their limit at the critical bias would beaamong the natural definitions of the uniform self-avoiding walk ofinfinite length. The aim of our work, in collaboration with VincentBeffara, is to understand the link between this limit, if it indeedexists, and other random infinite paths such as Kesten's measure(which is the weak limit of uniformly random finite self-avoidingwalks in the half-plane) and critical Bernoulli percolationinterfaces; the model can be seen as an interpolation between thesetwo.In a second part, we consider random walks with random conductances ona tree, in the case when the law of the conductances has heavy tail.Our aim, in collabration with Andrea Collevecchio and Daniel Kious, isto show a phase transition in the tail parameter; we express thecritical point as an explicit function of the underlying tree.In parallel, we study excited random walks on trees and their phasetransitions: we extend a conjecture of Volkov's and generalize resultsby Basdevant and Singh.Finally, a third part in collaboration with Vincent Beffara andBenjamin Lévêque contributes to the study of random maps of highergenus: we show the existence of subsequential scaling limits foruniformly random simple triangulations of the torus, extending to thatsetup fromer results by Adario-Berri and Albenque (on simpletriangulations of the sphere) and by Bettinelli (on quadrangulationsof the torus). The question of uniqueness and universality of thelimit remain open, but we obtain partial results in that direction.

L'unification de la mécanique quantique et de la relativité générale est un des grands problèmes ouverts en physique théorique. Une des approches possibles est de définir des espaces géométriques aléatoires avec des bonnes propriétés, qui peuvent être interprétés comme des espaces-temps quantiques. Cette thèse aborde des aspects mathématiques des modèles de tenseurs colorés, un type de modèle de physique théorique qui s'inscrit dans cette approche. Ces modèles décrivent des espaces linéaires par morceaux appelés trisps colorés, en toute dimension.Au cours de cette thèse, nous avons tout d'abord étudié des modèles aléatoires uniformes sur les trisps colorés, en toute dimension. Nous prouvons que ces modèles ont une limite singulière, ce qui a aussi donné lieu à un théorème central limite sur le genre d'une grande carte aléatoire uniforme.Nous avons ensuite étudié le cas particulier de la dimension 2, où les trisps colorés sont un type particulier de cartes, les triangulations eulériennes. Nous montrons que les triangulations eulériennes planaires convergent vers la carte brownienne, qui est un objet aléatoire continu universel en dimension 2. Ce résultat est particulièrement remarquable étant donnée la complexité de la structure des triangulations eulériennes, en comparaison avec les autres familles de cartes qui convergent vers la carte brownienne / The unification of quantum mechanics and general relativity is one the great open problems of theoretical physics. A possible approach is to define random geometric spaces with nice properties, that can be interpreted as quantum spacetimes.This thesis tackles mathematical aspects of colored tensor models, a type of theoretical physics model that is inscribed in this approach. These models describe piecewise-linear spaces called colored trisps, in any dimension.In this thesis, we first studied random uniform models of colored trisps, in any dimension. We prove that these models have a singular limit, which also entails a central limit theorem for the genus of a large uniform map. We then studied the particular case of dimension 2, where colored trisps are a particular case of maps, Eulerian triangulations. We show that planar Eulerian triangulations converge to the Brownian map, which is a universal continuum object in dimension 2. This result is of particular interest, as Eulerian triangulations have a much more complex structure than the other families that are known to converge to the Brownian map

Cette thèse porte sur des limites de grandes cartes à bord aléatoires. Dans un premier temps, nous nous intéressons aux propriétés géométriques de telles cartes. Nous montrons d'abord des résultats concernant les limites d'échelle et les limites locales du bord de cartes de Boltzmann dont le périmètre tend vers l'infini, que nous appliquons à l'étude du modèle O(n) rigide sur les quadrangulations. Ensuite, nous introduisons une famille de quadrangulations du demi-plan aléatoires avec un paramètre de torsion, dont on étudie les limites d'échelle et la structure de branchement. Enfin, nous établissons une propriété de confluence des géodésiques dans les cartes uniformes infinies du demi-plan, qui sont des limites locales de triangulations et quadrangulations à bord uniformes.Dans un second temps, nous considérons des modèles de percolation de Bernoulli sur les cartes uniformes infinies du demi-plan. Nous calculons le seuil de percolation par site critique pour les quadrangulations, et établissons une propriété d'universalité de ces modèles de percolation au point critique à partir des probabilités de croisement. Pour finir, nous étudions la limite locale de grands amas de percolation critiques en construisant l'amas critique émergent, une triangulation uniforme infinie du demi-plan munie d'un amas de percolation critique infini. / This thesis deals with limits of large random planar maps with a boundary. First, we are interested in geometric properties of such maps. We prove scaling and local limit results for the boundary of Boltzmann maps whose perimeter goes to infinity, which we apply to the study of the rigid O(n) loop model on quadrangulations. Next, we introduce a family of random half-planar quadrangulations with a skewness parameter, and study their scaling limits and branching structure. Finally, we establish a confluence property of geodesics in uniform infinite half-planar maps, which are local limits of uniform triangulations and quadrangulations with a boundary.Second, we consider Bernoulli percolation models on uniform infinite half-planar maps. We compute the critical site percolation threshold for quadrangulations, and prove a universality property of these percolation models at criticality involving crossing probabilities. To conclude, we study the local limit of large critical percolation clusters by defining the incipient infinite cluster, a uniform infinite half-planar triangulation equipped with an infinite critical percolation cluster.

Cette thèse se compose de plusieurs travaux portant sur deux branches de la théorie des probabilités: processus de particules et cartes planaires aléatoires. Un premier travail concerne les aspects algébriques des mesures invariantes des processus de particules. Nous obtenons des conditions nécessaires et suffisantes sous lesquelles un processus de particules en temps continu avec espace d’états local discret possède une mesure invariante simple. Dans un deuxième travail nous étudions un modèle "biologique" de coexistence de 2 espèces en compétition sur un espace partagé, et soumis à des épidémies modélisées par un modèle probabiliste appelé "feux de forêts". Notre résultat principal montre que pour deux espèces, il existe des régions explicites de paramètres pour lesquelles une espèce domine ou les deux espèces coexistent. Il s’agit d’un des premiers modèles pour lesquels la coexistence d’espèces sur le long terme est prouvée. Les troisièmes et quatrièmes travaux. portent sur les cartes planaires décorées par des arbres. Dans le troisième nous présentons une bijection entre l’ensemble des cartes décorées par des arbres et le produit Cartésien entre l’ensemble des arbres planaires et l’ensemble de cartes à bord simple. Nous obtenons quelques formules de comptage et quelques outils pour l’étude de cartes aléatoires décorées par un arbre. Le quatrième travail montre que les triangulations et quadrangulations aléatoires uniformes avec f faces, bord simple de taille p et décorées par un arbre avec a arêtes, convergent en loi pour la topologie locale vers différentes limites, dépendant du comportement fini ou infini de la limite de f, p et a. / This thesis consists in several works exploring some models belonging to two branches of probability theory: interacting particle systems and random planar maps. A first work concerns algebraic aspects of interacting particle systems invariant measures. We obtain some necessary and sufficient conditions for some continuous time particle systems with discrete local state space, to have a simple invariant measure. In a second work we investigate the effect on survival and coexistence of introducing forest fire epidemics to a certain two-species spatial competition model. Our main results show that, for the two-type model, there are explicit parameter regions where either one species dominates or there is coexistence; contrary to the same model without forest fires, for which the fittest species alwaysdominates. The third and fourth works are related to tree-decorated planar maps. In the third work we present a bijection between the set of tree-decorated maps and the Cartesian product between the set of trees and the set of maps with a simple boundary. We obtain some counting results and some tools to study random decorated map models. In the fourth work we prove that uniform tree-decorated triangulations and quadrangulations with f faces, boundary of length p and decorated by a tree of size a converge weakly for the local topology to different limits, depending on the finite or infinite behavior of f, p and a.

Cette thèse explore divers aspects des cartes aléatoires par l'étude de trois modèles. Dans un premier temps, nous examinons les propriétés d’une mesure définie sur l’ensemble des triangulations de Delaunay planaires comportant n sommets, qui est un modèle de cartes où les arêtes sont décorées par des angles. Nous montrons ainsi que la mesure est égale à la mesure de Weil-Petersson sur l’espace des modules des surfaces de Riemann planaires marquées. Sont aussi montrées deux propriétés de la mesures, premiers pas d'une étude de la limite continue de ce modèle. Dans un deuxième temps, nous définissons des fonctions de corrélations sur les graphes de Strebel planaires isopérimétriques à n faces, qui sont des cartes métriques trivalentes. Les périmètres des faces sont fixés. Nous recourons au théorème de Kontsevich pour calculer les fonctions de corrélations en termes de nombres d’intersection de classes de Chern sur l’espace des modules des surfaces de Riemann. Pour la fonction à une face marquée, la limite des grandes cartes est examinée via l’approximation du point-selle, pour différents régimes du périmètre de la face marquée, et nous déduisons le régime où le comportement de la fonction de corrélation n’est pas trivial. Les fonctions de corrélations peuvent être calculées de manière systématique par la récurrence topologique. Partant, nous calculons la courbe spectrale de notre modèle, ce qui nous permet de montrer qu’il existe une courbe spectrale critique. Nous déduisons de cette courbe critique que la limite continue des graphes de Strebel isopérimétriques est un modèle minimal de type (3,2), habillé par la théorie de Liouville. Cela correspond bien à la gravité pure. Enfin, nous abordons la question des symétries dans le modèle d’Ising sur cartes aléatoires. Certaines fonctions de corrélations de ce modèle comptent le nombre de cartes bicolores avec des faces marquées, les bords, ayant des conditions aux bords mixtes, calculées par récurrence à partir de la courbe spectrale du modèle. Nous prouvons ici que, pour des courbes spectrales génériques, les fonctions de corrélations des cartes à un bord mixte sont symétriques par rotation et par inversion du bord mixte. Nous décrivons ensuite les conséquences de telles symétries, suggérant une possible reformulation du modèle en termes de chaînes de spins. / This thesis explore several aspects of random maps through the study of three models. First, we examine the properties of a measure defined on the set of planar Delaunay triangulations with n vertices, a model in which the edges of the maps are decorated with angles. We show that the measure is the Weil-Petersson volume form on the moduli space of planar Riemann surfaces having n marked points. Two other properties, first steps toward the continuous limit study of the model, are also shown. Second, we define correlation functions on isoperimetric planar Strebel graphs with n faces, which are trivalent maps whose edges are decorated by positive lengths, and whose faces have a fixed perimeter. Kontsevich's theorem allows us to compute the correlation functions in terms of the intersection numbers of Chern classes of moduli space of Riemann surfaces. The continuous limit of the one-point function is computed in different regimes for the perimeter of the marked face via the saddle-point approximation. We identify the regime in which the behaviour of the one-point function is not trivial. The correlation functions can be computed in a systematic way by the Topological Recursion. To do so, we compute the spectral curve of the model, and show that there exists a critical spectral curve. We deduce from the latter that the continuous limit of isoperimetric Strebel graphs is a (3,2) minimal model dressed by Liouville theory: it corresponds to pure gravity. Last, we address the problem of symmetries in the Ising model on random maps. Some correlation functions of this model count the bi-colored maps with marked faces having mixed boundary conditions. They are computed via a recursive formula and the spectral curve of the model. We prove here that the correlation functions of maps with one mixed boundary, computed from the recursive relation with generic spectral curve, are invariant under rotation and inversion of the mixed boundary. We describe the consequences of such symmetries, suggesting a possible reformulation of the model in terms of spin chains.

Les cartes planaires sont des graphes planaires dessinés sur la sphère et vus à déformation près. De nombreuses propriétés des cartes sont supposées universelles, dans le sens où elles ne dépendent pas des détails du modèle choisi. Nous commençons par établir une inégalité isopérimétrique dans la quadrangulation infinie du plan. Nous confirmons également une conjecture de Krikun portant sur la longueur des cycles les plus courts séparant la boule de rayon $r$ de l'infini. Dans un deuxième temps, nous nous intéressons à l'effet de modifications de distances sur la géométrie à grande échelle des quadrangulations uniformes, élargissant la classe d'universalité de la carte brownienne. Nous montrons également que la bijection de Tutte, entre quadrangulations et cartes planaires, est asymptotiquement une isométrie. Enfin, nous établissons une borne supérieure sur le temps de mélange de la marche aléatoire dans les cartes aléatoires. / Planar maps are planar graphs drawn on the sphere and seen up to deformation. Many properties of maps are conjectured to be universal, in the sense that they do not depend on the details of the model.We begin by establishing an isoperimetric inequality in the infinite quadrangulation of the plane. We also confirm a conjecture by Krikun concerning the length of the shortest cycles separating the ball of radius $r$ from infinity. We then consider the effect of modifications of distances on the large-scale geometry of uniform quadrangulations, extending the universality class of the Brownian map. We also show that the Tutte bijection, between quadrangulations and planar maps, is asymptotically an isometry. Finally, we establish an upper bound on the mixing time of the random walk in random maps.