Cette thèse propose une rencontre entre un objet stochastique, le processus de Langevin, c'est-à-dire l'intégrale du mouvement brownien, et une équation différentielle, celle du rebond ''au second ordre'', laquelle, à ma connaissance, a été étudiée jusqu'ici presque exclusivement dans un cadre déterministe. Historiquement, le processus de Langevin était un modèle concurrent du mouvement brownien pour décrire les trajectoires erratiques de particules comme celles observées par Brown. Au même titre, les processus de Langevin réfléchis au second ordre sont un modèle concurrent des mouvements browniens réfléchis, lesquels sont toujours réfléchis au premier ordre, selon notre terminologie. Si le processus de Langevin - respectivement le processus de Langevin réfléchi au second ordre - ne prétend pas rivaliser avec le mouvement brownien -- respectivement le mouvement brownien réfléchi -- pour ce qui est de son rayonnement et de son champ d'applications dans des domaines variés, il se prétend néanmoins être un modèle physique plus pertinent. Par ailleurs, pour la réflexion au second ordre déterministe, lorsque la force a un caractère fortement oscillant, l'équation différentielle admet, de manière assez générique, plusieurs solutions. Lorsque c'est un processus de Langevin qui est réfléchi, nous devons considérer l'équation différentielle, stochastique maintenant, lorsque la force est un bruit blanc... Nos prouverons néanmoins toujours l'existence d'une unique solution, au sens faible. Ces résultats contrastent fortement avec les résultats de non-unicité pour l'équation déterministe. Cette thèse s'articule autour de quatre chapitres. Le premier est une large partie introductrice, rédigée en français, dans un style discursif. Les trois suivants sont, tels quels, les articles que j'ai écrits (en anglais) au cours de cette thèse, publiés ou en voie de publication. Dans le premier chapitre, je commence par décrire le contexte historique, ancien comme récent, motivant cette étude. J'introduis d'une part la réflexion au second ordre, d'autre part le processus de Langevin et en particulier ses excursions, rappelant des résultats connus auxquels nous ferons appel. Je donne alors un aperçu de plusieurs notions et outils techniques que nous utiliserons. Il s'agit d'abord, en plus de la célèbre mesure d'excursion d'Itô d'un processus markovien, de la mesure d'excursion de Pitman d'un processus stationnaire. Il s'agit ensuite du principe des h-transformées, au sens de Doob, utilisées pour définir des processus de Markov conditionnés. Enfin, je résume en détail (et en français) les trois chapitres suivants. Le deuxième chapitre comporte d'abord une introduction au processus de Langevin stationnaire, puis une étude de sa mesure d'excursion de Pitman. Ce travail est alors appliqué à l'étude du processus de Langevin réfléchi sur une barrière totalement inélastique. Le troisième chapitre commence l'étude du processus de Langevin réfléchi sur une barrière partiellement élastique. Nous mettons en évidence l'existence de deux régimes bien distincts, selon la valeur du coefficient d'élasticité de la réflexion, comparée à la valeur critique c~0,163. En régime surcritique et critique, la principale difficulté est liée au cas où le processus réfléchi part de zéro avec vitesse nulle. Nous montrons que le processus reste alors bien défini de manière unique. Le quatrième chapitre s'attaque au régime sous-critique, plus difficile. En particulier, quelle que soit la condition initiale, en un temps fini le processus se retrouvera en 0 avec vitesse nulle. Nous montrons encore l'existence d'un unique processus réfléchi, décrit cette fois-ci via sa mesure d'excursion d'Itô.

Cette thèse est constituée de 5 chapitres. Le chapitre 1 est divisé en deux parties; la première autour des généralités sur les processus de Lévy et la deuxième sur le cas particulier des processus symétriques stables. Le chapitre 2 porte sur la théorie des fluctuations dans le cas stable et concentre la plupart des résultats originaux de cette thèse. Dans ce chapitre, on s'intéresse premièrement à la loi conjointe du premier temps de passage au-dessus d'une barrière et de la position du processus en cet instant ainsi qu'à des questions autour de l'absolue continuité de la loi du supremum. Dans un deuxième temps, dans le cas stable, on s'intéresse à la loi conjointe du processus au temps t, de son supremum avant t et du dernier temps d'atteinte du supremum avant t. Le chapitre 3 est aussi constitué des deux parties, une partie sur les temps locaux et une autre partie sur la théorie des excursions. Les deux parties sont traitées dans le cas des processus symétriques stables d'indice supérieur à 1. Concernant les temps locaux, on rappelle leur définition et leurs principales propriétés. Concernant la théorie des excursions, on présente la théorie de façon semblable aux cas classiques en passant entre autres par les définitions d'excursion normalisée et de méandre, et en donnant des constructions simples pour ces objets. On présente aussi quelques développements récents de la théorie dus à K.Yano, Y. Yano et M. Yor. Les chapitres 4 et 5 portent sur des applications (dans le cas symétrique stable) de la théorie des excursions à l'étude respectif des temps passés positif et négatif et des valeurs principales généralisées.

Dans le premier chapitre, nous étudions le conditionnement d'un processus de Lévy complètement asymétrique à demeurer dans un intervalle fini. <br /><br />Les deux suivants sont consacrés aux processus de branchement à espace d'états continu, qui sont des processus de Lévy sans saut négatif changés de temps : généalogie (deuxième chapitre), dont nous dérivons des théorèmes de type Ray-Knight, et conditionnement à ne jamais s'éteindre (troisième chapitre). <br /><br />Enfin, le dernier chapitre traite de théorie du renouvellement multivariée dans deux cas naturels d'ensembles aléatoires emboîtés.

La première partie de cette thèse s’inscrit dans le domaine des cartes aléatoires, qui est un sujet à la frontière des probabilités, de la combinatoire et de la physique statistique. Nos travaux complètent une série de résultats de convergence de différents modèles de cartes aléatoires vers la carte brownienne, qui est un espace métrique compact aléatoire. Plus précisément, on montre que la limite d’échelle d’une carte de loi uniforme sur l’ensemble des cartes biparties enracinées à n arêtes, munie de la distance de graphe renormalisée par (2n)^(−1/4), est, au sens de Gromov–Hausdorff, la carte brownienne. Pour prouver ce résultat, les arguments importants sont d’une part l’utilisation d’une bijection combinatoire entre cartes biparties et arbres multitypes, et d’autre part des théorèmes de convergence pour les arbres de Galton–Watson multitypes étiquetés. Dans un deuxième temps, le but est de présenter une théorie des excursions pour le mouvement brownien indexé par l’arbre brownien. De manière analogue à la théorie d’Itô des excursions pour le mouvement brownien, chaque excursion correspond à une composante connexe du complémentaire des zéros du mouvement brownien indexé par l’arbre, et l’excursion est définie comme un processus indexé par un arbre continu. On explique comment mesurer la longueur de la frontière de ces excursions, de sorte que la famille de ces longueurs coïncide avec les sauts d’un processus de branchement à temps continu de mécanisme de branchement stable d’indice 3/2. De plus, conditionnellement aux longueurs des frontières, les excursions sont indépendantes et leur loi conditionnelle est déterminée à l’aide d’une mesure d’excursion explicite que l’on introduit et décrit. Dans ce travail, le serpent brownien apparaît comme un outil particulièrement important. / The first part of this thesis concerns the area of random maps, which is a topic in between probability theory, combinatorics and statistical physics. Our work complements several results of convergence of various classes of random maps to the Brownian map, which is a random compact metric space. More precisely, we prove that the scaling limit of a map which is uniformly distributed over the class of rooted planar maps with n edges, equipped with the graph distance rescaled by (2n)^(−1/4), is, in the Gromov-Hausdorff sense, the Brownian map. To establish this result, the main arguments are the use of a combinatorial bijection between bipartite maps and multitype trees, together with convergence theorems for Galton-Watson multitype trees. We then aim to develop an excursion theory for Brownian motion indexed by the Brownian tree. Analogous to the Itô excursion theory for Brownian motion, each excursion corresponds to a connected component of the complement of the zero set of the tree-indexed Brownian motion, and the excursion is defined as a process indexed by a continuous tree. We explain how to measure the length of the boundary of these excursions, in a way that the collection of these lengths coincides with the collection of jumps of a continuous-state branching process with a 3/2-stable branching mechanism. Moreover, conditionally on the boundary lengths, the excursions are independent and their conditional distribution is determined in terms of an excursion measure that we introduce and study. In this work, the Brownian snake appears as a particularly important tool.