Cette thèse propose une rencontre entre un objet stochastique, le processus de Langevin, c'est-à-dire l'intégrale du mouvement brownien, et une équation différentielle, celle du rebond ''au second ordre'', laquelle, à ma connaissance, a été étudiée jusqu'ici presque exclusivement dans un cadre déterministe. Historiquement, le processus de Langevin était un modèle concurrent du mouvement brownien pour décrire les trajectoires erratiques de particules comme celles observées par Brown. Au même titre, les processus de Langevin réfléchis au second ordre sont un modèle concurrent des mouvements browniens réfléchis, lesquels sont toujours réfléchis au premier ordre, selon notre terminologie. Si le processus de Langevin - respectivement le processus de Langevin réfléchi au second ordre - ne prétend pas rivaliser avec le mouvement brownien -- respectivement le mouvement brownien réfléchi -- pour ce qui est de son rayonnement et de son champ d'applications dans des domaines variés, il se prétend néanmoins être un modèle physique plus pertinent. Par ailleurs, pour la réflexion au second ordre déterministe, lorsque la force a un caractère fortement oscillant, l'équation différentielle admet, de manière assez générique, plusieurs solutions. Lorsque c'est un processus de Langevin qui est réfléchi, nous devons considérer l'équation différentielle, stochastique maintenant, lorsque la force est un bruit blanc... Nos prouverons néanmoins toujours l'existence d'une unique solution, au sens faible. Ces résultats contrastent fortement avec les résultats de non-unicité pour l'équation déterministe. Cette thèse s'articule autour de quatre chapitres. Le premier est une large partie introductrice, rédigée en français, dans un style discursif. Les trois suivants sont, tels quels, les articles que j'ai écrits (en anglais) au cours de cette thèse, publiés ou en voie de publication. Dans le premier chapitre, je commence par décrire le contexte historique, ancien comme récent, motivant cette étude. J'introduis d'une part la réflexion au second ordre, d'autre part le processus de Langevin et en particulier ses excursions, rappelant des résultats connus auxquels nous ferons appel. Je donne alors un aperçu de plusieurs notions et outils techniques que nous utiliserons. Il s'agit d'abord, en plus de la célèbre mesure d'excursion d'Itô d'un processus markovien, de la mesure d'excursion de Pitman d'un processus stationnaire. Il s'agit ensuite du principe des h-transformées, au sens de Doob, utilisées pour définir des processus de Markov conditionnés. Enfin, je résume en détail (et en français) les trois chapitres suivants. Le deuxième chapitre comporte d'abord une introduction au processus de Langevin stationnaire, puis une étude de sa mesure d'excursion de Pitman. Ce travail est alors appliqué à l'étude du processus de Langevin réfléchi sur une barrière totalement inélastique. Le troisième chapitre commence l'étude du processus de Langevin réfléchi sur une barrière partiellement élastique. Nous mettons en évidence l'existence de deux régimes bien distincts, selon la valeur du coefficient d'élasticité de la réflexion, comparée à la valeur critique c~0,163. En régime surcritique et critique, la principale difficulté est liée au cas où le processus réfléchi part de zéro avec vitesse nulle. Nous montrons que le processus reste alors bien défini de manière unique. Le quatrième chapitre s'attaque au régime sous-critique, plus difficile. En particulier, quelle que soit la condition initiale, en un temps fini le processus se retrouvera en 0 avec vitesse nulle. Nous montrons encore l'existence d'un unique processus réfléchi, décrit cette fois-ci via sa mesure d'excursion d'Itô.

Dans le premier chapitre, nous étudions le conditionnement d'un processus de Lévy complètement asymétrique à demeurer dans un intervalle fini. <br /><br />Les deux suivants sont consacrés aux processus de branchement à espace d'états continu, qui sont des processus de Lévy sans saut négatif changés de temps : généalogie (deuxième chapitre), dont nous dérivons des théorèmes de type Ray-Knight, et conditionnement à ne jamais s'éteindre (troisième chapitre). <br /><br />Enfin, le dernier chapitre traite de théorie du renouvellement multivariée dans deux cas naturels d'ensembles aléatoires emboîtés.

Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2018-2019. / Dans cette thèse, nous présentons une classe très large de processus de dénombrement, incluant le processus de renouvellement et le processus de Poisson non-homogène, à laquelle s’ajouteront des taux d’escompte stochastiques afin de modéliser les coûts agrégés liés aux assurances pour fautes des professionnels de la santé. Ainsi, dans l’introduction, nous présentons certaines caractéristiques importantes du processus des coûts agrégés liés aux assurances pour fautes des professionnels de la santé. Au chapitre 1, nous présentons des concepts théoriques préalables à l’élaboration et l’application du modèle mathématique qui sera proposé au chapitre 4. Au chapitre 2, nous présentons des résultats liés aux processus de Poisson non-homogène composé et de Cox composé, avec escompte. En particulier, nous y présentons des expressions analytiques pour les fonctions génératrices des moments qui seront inversées numériquement en utilisant la transformée de Fourier afin d’obtenir une approximation de la fonction de répartition. Au chapitre 3, nous considérons une classe de processus qui généralise celle étudiée au chapitre 2 : les processus de renouvellement composés, avec effet de tendance et escompte. Pour cette nouvelle classe, nous obtenons des formules récursives pour le calcul des moments ainsi que des expressions analytiques pour la fonction génératrice des moments, fonction qui peut être inversée analytiquement ou numériquement dans plusieurs cas particuliers afin d’obtenir une expression exacte ou une approximation de la fonction de répartition. Au chapitre 4, nous présentons les hypothèses du modèle stochastique qui servira à évaluer le risque du processus des coûts agrégés liés aux assurances pour fautes des professionnels de la santé, ce dernier généralisant la classe de modèles considérée au chapitre 3. Au chapitre 5, nous calibrons le modèle proposé au chapitre 4 sur la base de données des réclamations « fermées » d’une compagnie d’assurance de la Floride. Finalement, nous concluons cette thèse avec un résumé des nouveaux résultats et une discussion sur les avenues de recherches potentielles liées à la présente thèse. / In this thesis, we present a very large class of counting processes including the renewal process and the non-homogeneous Poisson process, to which we add stochastic discount rates, in order to model the aggregate cost related to medical malpractice insurance. In the introduction, we present some important characteristics related to the cost process of medical malpractice insurance. In Chapter 1, we present some theoretical concepts that will be used to build the aggregate cost process related to the medical malpractice insurance model that is proposed in Chapter 4. In Chapter 2, we present some results related to the compound non-homogeneous Poisson and compound Cox processes with a discount factor. In particular, we derive an analytic expression for the moment generating functions that will be inverted numerically using Fourier transforms in order to obtain an approximation of the probability distribution function. In Chapter 3, we study a class of models that generalizes the class of models studied in Chapter 2 : the compound trend renewal process with discount factor. For this new class of processes, we obtain recursive formulas for the moment calculations and an analytic expression for the moment generating function. The moment generating function can be inverted analytically or numerically for many particular cases in order to obtain an exact expression or an approximation of the probability distribution function. In Chapter 4, we present the stochastic model that will be used to measure the risk of an agregate cost related to medical malpractice insurance, which also generalizes the class of models considered in Chapter 3. In Chapter 5, we calibrate the model proposed in Chapter 4 on the closed claims database of Florida. The conclusion follows with a short summary of the results and an outline of some extensions for future research.

La thèse est consacrée à l'étude de modèles bivariés en Fabilité, qui tiennent compte de différents types de dépendance entre composants. Dans un premier temps, nous nous intéressons au cas d'un système formé de deux composants, dont la dégradation est modélisée par un processus de Lévy croissant bivarié (subordinateur bivarié). Sous cette hypothèse, eux études sont faites : l'une sous l'hypothèse de surveillance continue et de réparation parfaite du système, l'autre sous une hypothèse d'inspections périodiques et de réparation imparfaite. Dans un deuxième temps, la thèse est consacrée à un autre modèle de survie bivarié, sous influence d'un environnement stochastique stressant ponctuel. La dépendance entre composants est ici induite par un environnement stressant commun, qui induit des détériorations différentes sur chacun des composants (augmentation du taux de panne pour l'un, du niveau de détérioration pour l'autre). Pour chacun des modèles étudiés, nos résultats montrent l'importance de la prise en compte de la dépendance entre les composants d'un système. / The thesis is devoted to the study of bivariate models in reliability, which take into account several types of dependence between components. As a first step, we are interested in a two-component system with accumulating deterioration modeled by a bivariate increasing Lévy process (bivariate subordinator). Under this hypothesis, two different studies are made : one under the assumption of continuous monitoring and perfect repair, the other one under the assumption of periodic inspections and imperfect repair. In a second step, the thesis is devoted to the study of another bivariate survivalmodel, under the influence of a stochastic and stressful environment. The dependence between components is here induced by the common stressful environment, with different incidence on the two components (increment of failure rate for one, of deterioration level for the other). For each of the studied models, our results show the importance of taking into account the dependence between the components of a system.

Ce travail s'articule en deux parties principales: on illustre d'abord la notion de longueur de corrélation pour des systèmes d'accrochage homogènes proche du point critique en montrant la convergence en loi du système renormalisé vers un sous ensemble fermé aléatoire du segment [0,1] possédant une densité (explicite) par rapport à l'ensemble régénératif d'indice alpha, où alpha est une donnée initiale du modèle. On s'intéresse dans une deuxième partie au problème du mouillage dans une bande; les récompenses/pénalités sont reçues dans une bande de largeur strictement positive fixée, le processus libre étant modélisé par une marche aléatoire S continue centrée de carré intégrable. On montre que le système subit une transition de phase standard de localisation/délocalisation, et on explicite les limites d'échelle du processus renormalisé dans chacune de ces phases. Pour obtenir ces limites d'échelle, on démontre deux résultats indépendants reliés à la théorie des fluctuations pour les marches aléatoires; ceux-ci présentent un intérêt propre et font l'objet des deux dernières parties de la thèse. Le premier concerne le comportement asymptotique de la distribution du lieu du premier temps d'atteinte du demi plan inférieur pour S, où S part d'un point (strictement) situé dans le demi plan supérieur. Notons que cette estimation est uniforme sur l'ensemble des réels négatifs. Le second résultat concerne la convergence en loi dans la limite d'échelle de S conditionnée à être positive, à partir d'un point proche de l'origine et à revenir proche de l'origine. On montre que ce processus converge en loi vers l'excursion brownienne renormalisée.