As pointed out by Farrell, a normalmode analysis alone may be not enough for a convicing investigation of baroclinic stability. In some models growth rates can be achieved large enough to enable nonlinear growth also in parameter ranges of neutral normalmodes. According to Farrell one has also to consider that structures, which achieve optimal growth for a given, fixed time interval (i.e. the singular vectors). Fischer (1998) investigated this problem for the classical Eady-model with q' = 0 - a case which can be treated analytically. In this paper we want to give a short overview of an investigation of singular vectors in Eady-models with β ≠ 0 and q' = 0. Our aim was to understand the influence of β ≠ 0 on optimal growth. Qualitative differences to Fischer’s results are only found at small wavenumbers below the longwave cutoff. The most remarkable difference beyond the longwave cutoff is the fact, that the singular vectors of the model with β ≠ 0 grow faster in the upper half of the fluid than in the lower half for the considered basic flows. The growth rates for parameter ranges of neutral normalmodes are too small to enable nonlinear growth effects in meteorologically relevant times. For long timescales we find, that the cutoffs must be understood more as a smooth transition to instability.

As pointed out by Farrell, a normalmode analysis alone may be not enough for a convicing investigation of baroclinic stability. In some models growth rates can be achieved large enough to enable nonlinear growth also in parameter ranges of neutral normalmodes. According to Farrell one has also to consider that structures, which achieve optimal growth for a given, fixed time interval (i.e. the singular vectors). Fischer (1998) investigated this problem for the classical Eady-model with q'' = 0 - a case which can be treated analytically. In this paper we want to give a short overview of an investigation of singular vectors in Eady-models with β ≠ 0 and q'' = 0. Our aim was to understand the influence of β ≠ 0 on optimal growth. Qualitative differences to Fischer’s results are only found at small wavenumbers below the longwave cutoff. The most remarkable difference beyond the longwave cutoff is the fact, that the singular vectors of the model with β ≠ 0 grow faster in the upper half of the fluid than in the lower half for the considered basic flows. The growth rates for parameter ranges of neutral normalmodes are too small to enable nonlinear growth effects in meteorologically relevant times. For long timescales we find, that the cutoffs must be understood more as a smooth transition to instability.

Die Dynamik der Atmosphäre der Erde umfasst einen Bereich von mikrophysikalischer Turbulenz über konvektive Prozesse und Wolkenbildung bis zu planetaren Wellenmustern. Für Wettervorhersage und zur Betrachtung des Klimas über Jahrzehnte und Jahrhunderte ist diese Gegenstand der Modellierung mit numerischen Verfahren. Mit voranschreitender Entwicklung der Rechentechnik sind Neuentwicklungen der dynamischen Kerne von Klimamodellen, die mit der feiner werdenden Auflösung auch entsprechende Prozesse auflösen können, notwendig. Der dynamische Kern eines Modells besteht in der Umsetzung (Diskretisierung) der grundlegenden dynamischen Gleichungen für die Entwicklung von Masse, Energie und Impuls, so dass sie mit Computern numerisch gelöst werden können. Die vorliegende Arbeit untersucht die Eignung eines unstetigen Galerkin-Verfahrens niedriger Ordnung für atmosphärische Anwendungen. Diese Eignung für Gleichungen mit Wirkungen von externen Kräften wie Erdanziehungskraft und Corioliskraft ist aus der Theorie nicht selbstverständlich. Es werden nötige Anpassungen beschrieben, die das Verfahren stabilisieren, ohne sogenannte „slope limiter” einzusetzen. Für das unmodifizierte Verfahren wird belegt, dass es nicht geeignet ist, atmosphärische Gleichgewichte stabil darzustellen. Das entwickelte stabilisierte Modell reproduziert eine Reihe von Standard-Testfällen der atmosphärischen Dynamik mit Euler- und Flachwassergleichungen in einem weiten Bereich von räumlichen und zeitlichen Skalen. Die Lösung der thermischen Windgleichung entlang der mit den Isobaren identischen charakteristischen Kurven liefert atmosphärische Gleichgewichtszustände mit durch vorgegebenem Grundstrom einstellbarer Neigung zu(barotropen und baroklinen)Instabilitäten, die für die Entwicklung von Zyklonen wesentlich sind. Im Gegensatz zu früheren Arbeiten sind diese Zustände direkt im z-System(Höhe in Metern)definiert und müssen nicht aus Druckkoordinaten übertragen werden.Mit diesen Zuständen, sowohl als Referenzzustand, von dem lediglich die Abweichungen numerisch betrachtet werden, und insbesondere auch als Startzustand, der einer kleinen Störung unterliegt, werden verschiedene Studien der Simulation von barotroper und barokliner Instabilität durchgeführt. Hervorzuheben ist dabei die durch die Formulierung von Grundströmen mit einstellbarer Baroklinität ermöglichte simulationsgestützte Studie des Grades der baroklinen Instabilität verschiedener Wellenlängen in Abhängigkeit von statischer Stabilität und vertikalem Windgradient als Entsprechung zu Stabilitätskarten aus theoretischen Betrachtungen in der Literatur. / The dynamics of the Earth’s atmosphere encompass a range from microphysical turbulence over convective processes and cloud formation up to planetary wave patterns. For weather forecasting and the investigation of climate over decades and centuries, these are subject to modelling with numerical methods. With progressing development of computer technology, re-development of the dynamical cores of climate models is in order to properly handle processes covered by the increasing resolution. The dynamical core of a model consists of the adaptation(discretization)of the basic equations for the dynamics of mass, energy and momentum for solving them numerically employing computers. The presented work investigates the applicability of a low-order Discontinuous Galerkin (DG) method for atmospheric applications. With equations that include external forces like gravitation and the Coriolis force, that is not given by theory. Necessary changes for stabilizing the method without resorting to slope limiters are presented. For the unmodified method, the basic inability to properly keep atmospheric balances is demonstrated. The developed stabilized model reproduces a set of standard test cases in a wide range of spatial and temporal scales. The solution of the termal wind equation along its characteristics curves, those being identical to the isobars, produces balanced atmospheric states with tunable (barotropic and baroclinic) instability via a prescribed zonal wind field. The constructed instability directly relates to the generation of cyclones. In contrast to earlier works, these balanced states are directly given in the z system (height in meters), without need for elaborate conversion from pressure coordinates. With these constructed states, both as reference state, the deviations from which being considered numerically, and as especially as initial condition subject to a small perturbation, several studies of barotropic and baroclinic instability are conducted via simulations. Particularily, the construction of steady states with configurable zonal flows of certain baroclinity facilitates a simulation-based study of baroclinic instability of differing wavelengths, depending on static stability and vertical wind gradient, in correspondence with stability maps from theoretical considerations in the literature.