<p> In 1970, D. S. Ornstein introduced some new approximation concepts which enabled him to establish that the Shannon entropy of endomorphism was a complete invariant for a class of transformations known as Bernoulli shifts. This work of Ornstein contains powerful, deep and elegant techniques which have opened up a new period in the theory of measure preserving transformations, or as it is usually called, in ergodic theory.</p> <p> This thesis contains the study of two new classes of entropies, the γ-entropy and the δ-entropy, where each of these two classes have Shannon's entropy as a member. The algebraic and analytic properties of these entropies and their characterizations are discussed. Finally, the δ-entropy of endomorphism is defined and it has been used in solving the isomorphism problem for Bernoulli shifts. Thus, it is shown that the isomorphism problem for Bernoulli shifts holds not only for one entropy, but for an infinite class of entropies introduced in this thesis.</p> / Thesis / Doctor of Philosophy (PhD)

Neste trabalho, mostramos que os bilhares hiperbólicos construídos originalmente por Bussolari- Lenci têm a propriedade de Bernoulli. Tais bilhares não satisfazem as técnicas standard de Wojtkowski-Markarian-Donnay-Bunimovich para bilhares focalizadores hiperbólicos, a qual requer que o diâmetro da mesa do bilhar seja de mesma ordem que o maior raio de curvatura ao longo da componente focalizadora. Nossa prova, utiliza um teorema ergódico local que nos diz que sob certas condições, existe um conjunto de medida total do espaço de fase do bilhar tal que cada ponto desse conjunto possui uma vizinhança contida (mod 0) em uma componente Bernoulli da aplicação do bilhar. / In this work, we show that hyperbolic billiards constructed originally by Bussolari-Lenci has the Bernoulli property. These billiards do not satisfy the standard Wojtkowski-Markarian-Donnay- Bunimovich technique for the hyperbolicity of focusing or mixed billiards in the plane, which requires the diameter of a billiard table to be of the same order as the largest ray of curvature along the focusing boundary. Our proof employs a locally ergodic theorem which says that under a few conditions, there exists a full measure set of the billiard phase space such that each of its points has a neighborhood contained, up to a zero measure set, in one Bernoulli component of the billiard map.

Neste trabalho, mostramos que os bilhares hiperbólicos construídos originalmente por Bussolari- Lenci têm a propriedade de Bernoulli. Tais bilhares não satisfazem as técnicas standard de Wojtkowski-Markarian-Donnay-Bunimovich para bilhares focalizadores hiperbólicos, a qual requer que o diâmetro da mesa do bilhar seja de mesma ordem que o maior raio de curvatura ao longo da componente focalizadora. Nossa prova, utiliza um teorema ergódico local que nos diz que sob certas condições, existe um conjunto de medida total do espaço de fase do bilhar tal que cada ponto desse conjunto possui uma vizinhança contida (mod 0) em uma componente Bernoulli da aplicação do bilhar. / In this work, we show that hyperbolic billiards constructed originally by Bussolari-Lenci has the Bernoulli property. These billiards do not satisfy the standard Wojtkowski-Markarian-Donnay- Bunimovich technique for the hyperbolicity of focusing or mixed billiards in the plane, which requires the diameter of a billiard table to be of the same order as the largest ray of curvature along the focusing boundary. Our proof employs a locally ergodic theorem which says that under a few conditions, there exists a full measure set of the billiard phase space such that each of its points has a neighborhood contained, up to a zero measure set, in one Bernoulli component of the billiard map.

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Nesta dissertação são abordados os modelos estruturais de Euler-Bernoulli e de Timoshenko com o uso da teoria de semigrupos de operadores fortemente contínuos. Um estudo do espectro do modelo de Timoshenko é realizado com o uso de uma base fundamental de valor inicial para a determinação das autofunções. Uma expansão assintótica é realizada para a equação característica dos autovalores no caso de condições de contorno clássicas. / The aim of this work is to study the structural models of the Euler- Bernoulli and Timoshenko beams. At first, they are analyzed by using the tools provided by the semigroup theory of strongly continuous operators. Next,the fun- damental basis of initial value is applied to determine the eigenfunctions. Finally, the characteristics equations of the Timoshenko beams with classical boundary values are asymptotic expanded.

Neste trabalho é proposta uma abordagem analítica para o cálculo modal de diversas configurações de vigas de Euler-Bernoulli com propriedades da seção transversal contínuas sujeitas a condições de contorno clássicas e não clássicas. A metodologia proposta está baseada em condições de normalização para as soluções da equação modal, originando uma fórmula modal associada com propriedades físicas e matemáticas da viga. Para o caso de vigas monossegmentadas não é requerido o uso do computador no cálculo dos modos. As formas modais dos diversos tipos de vigas consideradas podem ser expressas em termos das funções de Bessel, funções triangulares e funções hiperbólicas. Para fins de ilustração. é apresentado um caso de rigidez fiexural e massa linear do tipo polinomial de quarta ordem. / In this work, it is proposed an analytical approach for the modal determination of various configurations of Euler-Bernoulli bearns with continuous crosssection properties constrained with classical and non-classical boundary conditions. The proposed approach is based on normal conditions for the solutions of the modal equation, yielding a modal formula associated with mathematical and physical properties of the beam. For the mono-segmented case it is not required tbe use of computer for the modal determination. The modes of the various types of beam considered can be expressed in terms of Bessel, triangular and hyperbolic functions. For illustration, it is presented a case of fourth-order polynomial-type flexural stiffness and linear mass.

Nesta dissertação são abordados os modelos estruturais de Euler-Bernoulli e de Timoshenko com o uso da teoria de semigrupos de operadores fortemente contínuos. Um estudo do espectro do modelo de Timoshenko é realizado com o uso de uma base fundamental de valor inicial para a determinação das autofunções. Uma expansão assintótica é realizada para a equação característica dos autovalores no caso de condições de contorno clássicas. / The aim of this work is to study the structural models of the Euler- Bernoulli and Timoshenko beams. At first, they are analyzed by using the tools provided by the semigroup theory of strongly continuous operators. Next,the fun- damental basis of initial value is applied to determine the eigenfunctions. Finally, the characteristics equations of the Timoshenko beams with classical boundary values are asymptotic expanded.

Neste trabalho é proposta uma abordagem analítica para o cálculo modal de diversas configurações de vigas de Euler-Bernoulli com propriedades da seção transversal contínuas sujeitas a condições de contorno clássicas e não clássicas. A metodologia proposta está baseada em condições de normalização para as soluções da equação modal, originando uma fórmula modal associada com propriedades físicas e matemáticas da viga. Para o caso de vigas monossegmentadas não é requerido o uso do computador no cálculo dos modos. As formas modais dos diversos tipos de vigas consideradas podem ser expressas em termos das funções de Bessel, funções triangulares e funções hiperbólicas. Para fins de ilustração. é apresentado um caso de rigidez fiexural e massa linear do tipo polinomial de quarta ordem. / In this work, it is proposed an analytical approach for the modal determination of various configurations of Euler-Bernoulli bearns with continuous crosssection properties constrained with classical and non-classical boundary conditions. The proposed approach is based on normal conditions for the solutions of the modal equation, yielding a modal formula associated with mathematical and physical properties of the beam. For the mono-segmented case it is not required tbe use of computer for the modal determination. The modes of the various types of beam considered can be expressed in terms of Bessel, triangular and hyperbolic functions. For illustration, it is presented a case of fourth-order polynomial-type flexural stiffness and linear mass.

Nesta dissertação são abordados os modelos estruturais de Euler-Bernoulli e de Timoshenko com o uso da teoria de semigrupos de operadores fortemente contínuos. Um estudo do espectro do modelo de Timoshenko é realizado com o uso de uma base fundamental de valor inicial para a determinação das autofunções. Uma expansão assintótica é realizada para a equação característica dos autovalores no caso de condições de contorno clássicas. / The aim of this work is to study the structural models of the Euler- Bernoulli and Timoshenko beams. At first, they are analyzed by using the tools provided by the semigroup theory of strongly continuous operators. Next,the fun- damental basis of initial value is applied to determine the eigenfunctions. Finally, the characteristics equations of the Timoshenko beams with classical boundary values are asymptotic expanded.

Neste trabalho é proposta uma abordagem analítica para o cálculo modal de diversas configurações de vigas de Euler-Bernoulli com propriedades da seção transversal contínuas sujeitas a condições de contorno clássicas e não clássicas. A metodologia proposta está baseada em condições de normalização para as soluções da equação modal, originando uma fórmula modal associada com propriedades físicas e matemáticas da viga. Para o caso de vigas monossegmentadas não é requerido o uso do computador no cálculo dos modos. As formas modais dos diversos tipos de vigas consideradas podem ser expressas em termos das funções de Bessel, funções triangulares e funções hiperbólicas. Para fins de ilustração. é apresentado um caso de rigidez fiexural e massa linear do tipo polinomial de quarta ordem. / In this work, it is proposed an analytical approach for the modal determination of various configurations of Euler-Bernoulli bearns with continuous crosssection properties constrained with classical and non-classical boundary conditions. The proposed approach is based on normal conditions for the solutions of the modal equation, yielding a modal formula associated with mathematical and physical properties of the beam. For the mono-segmented case it is not required tbe use of computer for the modal determination. The modes of the various types of beam considered can be expressed in terms of Bessel, triangular and hyperbolic functions. For illustration, it is presented a case of fourth-order polynomial-type flexural stiffness and linear mass.