Cette thèse a pour but de résoudre certains problèmes de connexion et de décrire diverses propriétés asymptotiques des fonctions de Painlevé V et I. Dans le cas de l’équation de Painlevé V, nous approchons ces problèmes en développant une nouvelle approche basée sur la théorie conforme des champs bidimensionelle. Nous proposons de calculer les blocs conformes irréguliers de première et seconde espèce par confluence des blocs conformes réguliers de Virasoro. Une conséquence de cette construction est la solution du problème de connexion de l’équation de Painlevé V entre 0 et +i∞. Les formules pour les normalisations relatives (constantes de connexion) de la fonction tau de Painlevé V entre 0, +∞, et +i∞ sont également proposées. Enfin, le développement asymptotique complet de la fonction tau à courte distance pour des données de monodromie génériques est prouvé. Ce résultat est obtenu en construisant une représentation de la fonction tau en termes d’un déterminant de Fredholm. Dans le cas de l’équation de Painlevé I, nous présentons les constantes de connexion relatant les asymptotiques de la fonction tau sur les cinq raies canoniques à l’infini. Ce résultat est obtenu en construisant une extension de la forme différentielle de Jimbo-Miwa-Ueno à l’espace des données de monodromie. Ces constantes de connexion sont exprimées en termes de dilogarithmes de coordonnées de type cluster dans l’espace des données de Stokes. / The aim of this thesis is to solve several connection problems and describe asymptotic properties of Painlevé V and I functions. In the case of Painlevé V equation, we approach these problems by developing a new toolbox based on two dimensional conformal field theory. We propose to compute irregular conformal blocks of the first and second kind by confluence of regular Virasoro conformal blocks. One consequence of this construction is the solution of the connection problem for Painlevé V equation between 0 and +i∞. Formulas for the relative normalizations (connection constants) of Painlevé V tau function between 0, +∞, and +i∞ are also proposed. Finally, the full asymptotic expansion of the tau function at short distances for generic monodromy data is proved. This result is obtained by constructing a Fredholm determinant representation for the tau function. In the case of Painlevé I equation, we present connection constants relating asymptotics of the tau function on the five canonical rays at infinity. This result is obtained by extending the definition of the Jimbo-Miwa-Ueno differential to the space of monodromy data. These connection constants are expressed in terms of dilogarithms of cluster type coordinates on the space of Stokes data.

Ma thèse généralise la notion de criticité pour le modèle d'Ising en dimension 2. J'y définis une nouvelle notion d'holomorphie discrète sur une décomposition cellulaire d'une surface de Riemann. Le modèle d'Ising converge, à la limite thermodynamique vers une théorie conforme continue, quand la limite est prise sur un réseau (carré, triangulaire), près de la température critique. J'étends cette criticité à des décompositions cellulaires générales et je décompose le spineur en parties holomorphes et antiholomorphes discrètes, analogues discrets des blocs conformes. On définit une équation de Cauchy-Riemann discrète sur le double d'une décomposition cellulaire. Des théorèmes classiques sont encore transposables: harmonicité, base des différentielles, pôle, théorème des résidus. Il y a des différences, le produit point par point ne préserve pas l'holomorphie, les pôles sont d'ordre un, l'espace des formes holomorphes est de dimension double du genre. On définit une carte comme étant semi-critique si d'une fonction holomorphe discrète $f$ et d'une carte locale plate $Z$ on peut faire une $1$-forme fermée $fdZ$ et critique si $fdZ$ est holomorphe. Cette classe contient les réseaux mais bien plus. Une suite convergente de fonctions holomorphes discrètes sur une suite convergente de cartes critiques a pour limite une fonction holomorphe sur la surface de Riemann. Dans le cas des réseaux triangulaires et carrés, on démontre que la criticité statistique d'Ising équivaut à notre criticité pour une structure conforme reliée aux constantes d'intéraction. On définit une équation de Dirac sans masse, l'existence d'une solution équivaut à la criticité. Le spineur de Dirac permet alors de décomposer le fermion d'Ising en une partie holomorphe et une partie antiholomorphe.