Cette thèse traite de la géométrie des domaines bornés symétriques (et de leur frontière) dans les espaces de Banach. Dans la première partie, nous démontrons deux résultats connus dus à W. Kaup : la boule unité d'un JB*-triple est un domaine borné symétrique, et tout domaine borné symétrique est biholomorphe à la boule unité d'un JB*-triple. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à l'ensemble des tripotents inversibles d'un JB*-triple, qui est une réunion de composantes connexes de la frontière extrémale du domaine associé. Lorsque le JB*-triple admet un predual (ie. est un JBW*-triple), nous introduisons l`indice de transversalité abstrait de deux tripotents inversibles, et nous montrons qu'il est invariant sous l'action du groupe des biholomorphismes du domaine. Dans la suite nous construisons l'indice de Maslov d'un chemin continu dans la variété des tripotents inversibles d'un JB*-triple. Un tel chemin doit vérifier une condition de type Fredholm relativement à un tripotent fixé (par rapport auquel est calculé l'indice). Le point délicat est ici d'introduire la notion de paire de Fredholm. Nous définissons alors l'indice de transversalité d'une paire de Fredholm, et nous établissons un lemme de perturbation pour cet indice, qui nous permet de construire l'indice de Maslov et de montrer qu'il est invariant par homotopies à extrémités fixées. Cette construction généralise celle de Booss-Bavnbek et Furutani dans le cas de la Fredholm-Lagrangienne d'un espace de Hilbert symplectique. Nous faisons enfin le lien, en dimension finie, avec l'indice triple généralisé de J.-L. Clerc et B. Oersted. / This thesis deals with the geometry of bounded symmetric domains (and their boundaries) in Banach spaces. In the first part, we prove two known results due to W. Kaup : the unit ball of a JB*-triple is a bounded symmetric domain, and every bounded symmetric domain is biholomorphic to the unit ball of a JB*-triple. The second part deals with the set of invertible tripotents in a JB*-triple, wich is a union of connected components of the extremal boundary of the associated domain. When the JB*-triple admits a predual (ie. is a JBW*-triple), we introduce the abstract index of transversality and prove that it is invariant under the action of the group of biholomorphisms of the domain. After that we turn to the main topic of our thesis, wich consists in constructing the Malov index of a continuous path in the manifold of invertible tripotents of a JB*-triple. The path must satisfy a Fredholm-type condition with respect to a fixed invertible tripotent (with respect to wich the index is calculated). The difficulty is here to define a efficient notion of Fredholm pair. Then we define the index of transversality of a Fredholm-pair, and prove a perturbation lemma for this index, which enables us to construct the Maslov index and to prove that it is invariant under homotopies with fixed endpoints. This construction generalises the construction by Booss-Bavnbek and Furutani in the case of the Fredholm-Lagrangian of a symplectic Hilbert space. At the end we provide a link, in the finite dimensional case, with the generalised triple index of J.-L. Clerc and B. Oersted.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

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Dans cette thèse nous étudions les algèbres des polynômes qui sont bornés sur un ensemble semi-algébrique non borné. Tout d'abord nous abordons le problème consistant à déterminer si un polynôme est borné sur un ensemble. Nous résolvons ce problème pour les polynômes à deux variables définis sur des ensembles semi-algébriques quelconques. Dans la section suivante nous donnons une méthode pour déterminer des générateurs de l'algèbre des polynômes bornés et ce pour une large classe de semi-algébriques du plan réel. Dans la section 3 nous établissons une relation entre les valeurs de bifurcation du complexifié d'un polynôme $f$ à deux variables et la stabilité de la famille d'algèbres des polynômes bornés sur les ensembles ${fle c}$. Dans la section 4 nous décrivons la structure de l'algèbre des polynômes bornés sur un certain type de sous-ensembles de $mathbb{R}^n$ avec $n$ arbitraire, que nous appelons tentacules pondérées. Nous donnons aussi une preuve géométrique du fait que l'algèbre d'un sous-ensemble non borné d'un ensemble algébrique propre n'est pas de type fini. Dans la section suivante nous établissons une correspondance entre les cônes convexes et les algèbres des ensembles obtenus par des inégalités sur des monômes appropriés. Enfin, nous démontrons une version du Positivstellensatz de Schmudgen pour les polynômes bornés sur un ensemble non compact. / The main topic of the thesis is a study of algebras of polynomials which are bounded on a given unbounded semialgebraic set. First we tackle the problem of deciding the boundedness of a polynomial on a set. We achieve it for polynomials in two variables for any semialgebraic set. We give also a method of finding generators of the algebra of bounded polynomials for a large class of semialgebraic subsets of the real plane. In Section 3 we have established a relation between bifurcation values of a complexification of polynomial $f$ in two variables and the family of algebras of bounded polynomials on the sets ${fle c}$. In section 4 we describe the algebras of bounded polynomials for subsets of $mathbb{R}^n$, where $n$ is arbitrary, which we call weighted tentacles. We also provide a geometric proof of the fact that for a unbounded subset of a proper algebraic set its algebra cannot be finitely generated. In the next section we establish a correspondence between convex cones and algebras of bounded polynomials on the sets described by monomial inequalities. At the end of this thesis we prove a version of Schmudgen's Positivstellensatz for bounded polynomials.

Cette thèse est consacrée à l'analyse théorique des équations d'Oseen posées dans des régions non bornées. Le modèle d'Oseen est une version linéarisée des équations de Navier-Stokes décrivant un écoulement de fluides visqueux incompressibles autour d'un obstacle borné. On choisit de poser le problème dans un cadre fonctionnel faisant intervenir des poids anisotropes, qui permettent de décrire le comportement à l'infini des solutions et de tenir compte de la zone paraboloïdale, appelée le sillage, apparaîssant derrière l'obstacle durant l'écoulement. Dans un premier temps, dans ce nouveau cadre, nous démontrons des résultats de densité et des inégalités de Hardy. Dans un deuxième temps, nous montrons l'existence, l'unicité et la régularité de solutions. Les résultats sont d'abord établis dans l'espace entier, puis dans un domaine extérieur.

Dans cette thèse, nous utilisons différentes inégalités fonctionnelles<br />(Poincaré, Sobolev logarithmique, etc.) pour étudier deux questions.<br />Nous appliquons d'abord des inégalités affaiblies à l'étude d'une<br />diffusion inhomogène, analogue continu de l'algorithme de recuit<br />simulé, dans la lignée d'un travail de L. Miclo. Nous montrons un<br />résultat de convergence de la diffusion, sous des hypothèses plus<br />faibles que celles posées précédemment : le potentiel dans lequel la<br />diffusion évolue peut croître très lentement à l'infini.<br />Dans le cadre d'un modèle de mécanique statistique à spins non-bornés,<br />en nous basant sur des résultats de T. Bodineau et B. Helffer, N. Yoshida<br />et G. Royer, nous éclaircissons ensuite les liens entre différentes<br />inégalités fonctionnelles, des propriétés de mélange et l'unicité de<br />la mesure de Gibbs en volume infini. Nous montrons en particulier<br />l'unicité si les mesures en volume fini et pour une seule condition<br />aux bords vérifient uniformément une inégalité de Beckner.

Dans cette thèse nous étudions les algèbres des polynômes qui sont bornés sur un ensemble semi-algébrique non borné. Tout d'abord nous abordons le problème consistant à déterminer si un polynôme est borné sur un ensemble. Nous résolvons ce problème pour les polynômes à deux variables définis sur des ensembles semi-algébriques quelconques. Dans la section suivante nous donnons une méthode pour déterminer des générateurs de l'algèbre des polynômes bornés et ce pour une large classe de semi-algébriques du plan réel. Dans la section 3 nous établissons une relation entre les valeurs de bifurcation du complexifié d'un polynôme $f$ à deux variables et la stabilité de la famille d'algèbres des polynômes bornés sur les ensembles ${fle c}$. Dans la section 4 nous décrivons la structure de l'algèbre des polynômes bornés sur un certain type de sous-ensembles de $mathbb{R}^n$ avec $n$ arbitraire, que nous appelons tentacules pondérées. Nous donnons aussi une preuve géométrique du fait que l'algèbre d'un sous-ensemble non borné d'un ensemble algébrique propre n'est pas de type fini. Dans la section suivante nous établissons une correspondance entre les cônes convexes et les algèbres des ensembles obtenus par des inégalités sur des monômes appropriés. Enfin, nous démontrons une version du Positivstellensatz de Schmudgen pour les polynômes bornés sur un ensemble non compact.

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Il a été question dans ce travail, sous la direction de F. de Thélin, de l'étude de certains systèmes d'équations aux dérivées partielles faisant intervenir l'opérateur $p$-Laplacien ($ \Delta_p u = div(|\nabla u|^{p-2} \nabla u) $). Cet opérateur elliptique dégénéré apparaît dans de nombreux problèmes aussi bien en mathématiques fondamentales qu'en sciences expérimentales (écoulement de glacier de montagne, extraction pétrolière, dynamique des populations et d'autres encore). Il généralise l'opérateur Laplacien usuel $ \Delta = \Delta_2 $ dont l'étude a été largement abordée ces dernières décennies. Nous nous sommes attachés à étudier certaines propriétés des solutions de ces systèmes telles que l'existence, l'unicité et la régularité dans des domaines non bornés et en particulier $ \mathbb{R}^N $. Ces résultats ont été obtenus sous des conditions variées portant sur le comportement des termes de réactions qui interviennent dans les problèmes. Dans cette thèse, nous avons généralisé au cas non borné un outil très utilisé pour appréhender des équations aux dérivées partielles de ce type, qui est connu sous le nom d'inégalité de Díaz-Saa. Elle nous a permis d'obtenir des résultats d'existence et d'unicité de solution pour un système sous des conditions du même type que celles de H. Brézis et L. Oswald. En outre, nous avons utilisé le théorème du col et la méthode des sous,sur-solutions pour montrer une condition nécessaire et suffisante d'existence dans le cas sur-homogène et sous-critique et dans le cas sous-homogène. Une partie de cette thèse a aussi été consacrée à l'étude du comportement asymptotique des solutions de tels systèmes dépendant d'un paramètre. Le comportement de ces solutions lorsque le paramètre tend vers l'infini dépend essentiellement du comportement des termes de réactions à l'infini.

Dans cette thèse, nous étudions quelques problèmes géométriques liés aux domaines bornés symétriques réels. Ces espaces sont des espaces D=G/K riemanniens symétriques non compacts, obtenus à partir de domaines bornés hermitiens symétriques. Lorsque le domaine D=G/K est de type Cr ou Dr, G opère transitivement sur chaque composante connexe de l'ensemble [sigma] des tripotents maximaux du système triple de Jordan réel positif T0D. Dans le cas complexe, cet ensemble est connexe et est appelé frontière de Shilov du domaine. Dans le cas réel, [sigma] n'est en général pas connexe. Nous fixons donc une composante connexe S de [sigma]. Alors l'action de G sur S x S possède un nombre fini d'orbites et nous donnons un système explicite de représentants. Si le domaine est de type Cs ou D2s, alors parmi ces orbites, il y a celle des couples d'éléments transverses. Sous ces hypothèses, nous pouvons alors définir l'ensemble des triplets d'éléments de S transverses deux à deux, sur lequel G opère. Là encore, nous déterminons les orbites de cette action. Enfin, nous nous intéressons à un problème analytique concernant un système de Hua. Nous montrons que pour toute fonction continue [phi] sur S, la transformée de poisson f=P[sigma phi]:=[intégrale]SP(.,u)[sigma phi](u)du est solution du système de Hua Hf(x)=(2n-/r)2[sigma]([sigma]-1)f(x)Id, où P(.,.) est le noyau de Poisson sur D x S et où n- désigne la dimension de V-. / In this thesis, we are interested in geometric problems related with \emph{real bounded symmetric domains}. These spaces are Riemannian symmetric spaces $\mathcal{D}=G/K$ of noncompact type, constructed from \emph{hermitian bounded symmetric domains}. When $\mathcal{D}=G/K$ is of type $C_r$ or $D_r$, we prove that $G$ acts transitively on each connected component of the set $\Sigma$ of \emph{maximal tripotents} in the \emph{compact Jordan triple system} $T_0\mathcal{D}$. In the hermitian case, this set is connected and is called \emph{the Shilov boundary}. In the real case, $\Sigma$ is not necessarily connected, thus we choose a connected component $\mathcal{S}$ of $\Sigma$. Then the action of $G$ in $\mathcal{S}\times\mathcal{S}$ as a finite number of orbits for wich we give representative elements. If $\mathcal{D}$ is of type $C_s$ or $D_{2s}$, then the set of couples of transversal elements of $\mathcal{S}$ is a $G$-orbit in $\mathcal{S}\times\mathcal{S}$. Under these assumptions, $G$ acts on the set of transversal triples in $\mathcal{S}\times\mathcal{S}\times\mathcal{S}$ and we determine the orbits for this action. Finally, we are interested in Hua differential systems. We prove that for any continuous function $\varphi$ on $\mathcal{S}$, the Poisson transform $f=\mathcal{P}_\sigma\varphi:=\int_\mathcal{S}\mathcal{P}(\cdot,u)^\sigma\varphi(u)du$ is a solution of the Hua system $\mathcal{H}f(x)=(\frac{2n^-}{r})^2\sigma(\sigma-1)f(x)\textnormal{Id}$, where $\mathcal{P}(\cdot,\cdot)$ is the Poisson kernel on $\mathcal{D}\times\mathcal{S}$ and $n^-$ is the dimension of $V^-$.