Ce travail porte sur la modélisation de problèmes liés au recalage d'images. Le recalage consiste à trouver une déformation optimale de sorte qu'une image déformée s'aligne sur une image de référence. Il s'agit d'une technique que l'on rencontre dans de nombreux domaines, comme l'imagerie médicale, la comparaison de données ou le suivi de formes. Le premier chapitre se concentre sur le problème de préservation de la topologie. Cette condition de préservation de la topologie est importante lorsque la déformation recherchée traduit des propriétés physiques des objets soumis à la déformation. Les chapitres suivants proposent la construction de différentes méthodes de recalage d'images fondées sur la théorie de l'élasticité non linéaire. En effet, les objets à apparier sont supposés être des matériaux hyper-élastiques. Différents termes d'attaches aux données ont été explorés ainsi que deux modèles conjoints de segmentation et recalage. / This work focuses on the modelling of problems related to image registration. Image registration consists in finding an optimal deformation such that a deformed image is aligned with a reference image. It is an important task encountered in a large range of applications such as medical imaging, comparison of data or shape tracking. The first chapter concerns the problem of topology preservation. This condition of topology preservation is important when the sought deformation reflects physical properties of the objects to be distorted. The following chapters propose several methods of image registration based on the nonlinear elasticity theory. Indeed, the objects to be matched are modelled as hyperelastic materials. Different fidelity terms have been investigated as well as two joint segmentation/registration models.

Cette thèse est consacrée dans un premier temps à l'élaboration d'un modèle variationnel dedébruitage d'ordre deux, faisant intervenir l'espace BV 2 des fonctions à hessien borné. Nous nous inspirons ici directement du célèbre modèle de Rudin, Osher et Fatemi (ROF), remplaçant la minimisation de la variation totale de la fonction par la minimisation de la variation totale seconde, c'est à dire la variation totale de ses dérivées. Le but est ici d'obtenir un modèle aussi performant que le modèle ROF, permettant de plus de résoudre le problème de l'effet staircasing que celui-ci engendre. Le modèle que nous étudions ici semble efficace, entraînant toutefois l'apparition d'un léger effet de flou. C'est afin de réduire cet effet que nous introduisons finalement un modèle mixte, permettant d'obtenir des solutions à la fois non constantes par morceaux et sans effet de flou au niveau des détails. Dans une seconde partie, nous nous intéressons au problème d'extraction de texture. Un modèle reconnu comme étant l'un des plus performants est le modèle T V -L1, qui consiste simplement à remplacer dans le modèle ROF la norme L2 du terme d'attache aux données par la norme L1. Nous proposons ici une méthode originale permettant de résoudre ce problème utilisant des méthodes de Lagrangien augmenté. Pour les mêmes raisons que dans le cas du débruitage, nous introduisons également le modèle T V 2-L1, consistant encore une fois à remplacer la variation totale par la variation totale seconde. Un modèle d'extraction de texture mixte est enfin très brièvement introduit. Ce manuscrit est ponctué d'un vaste chapitre dédié aux tests numériques.

Dans ce travail, nous étudions différents invariants de nature algébrique et dynamique définis sur le groupe des difféomorphismes hamiltoniens d'une surface fermée orientée. Occasionnellement, nous considérerons également le groupe des difféomorphismes hamiltoniens de certaines variétés symplectiques de dimension supérieure. Ces invariants peuvent être vus comme des généralisations du nombre de rotation de Poincaré, et des vecteurs de rotations associés aux difféomorphismes des surfaces. D'autre part, tous ces invariants sont reliés à la théorie de la cohomologie bornée. <br /><br />Dans le premier chapitre nous construisons des quasi-morphismes sur le groupe des difféomorphismes hamiltoniens d'une surface de genre strictement positif, qui sont des homomorphismes en restriction au sous-groupe des difféomorphismes à support dans un ouvert difféomorphe à un disque. Ces constructions sont motivées par une question de Entov et Polterovich. Dans le second chapitre nous construisons un quasi-morphisme défini sur le revêtement universel du groupe des difféomorphismes hamiltoniens d'une variété symplectique monotone. <br /><br />Le troisième chapitre contient quelques résultats concernant les actions préservant l'aire sur les surfaces de réseaux dans les groupes de Lie semi-simples. Dans l'esprit du "programme de Zimmer", nous montrons comment l'existence de nombreux quasi-morphismes, combinée avec des théorèmes d'annulation en cohomologie bornée, pourrait être utile pour exclure l'existence d'actions de réseaux de rang supérieur. Le dernier chapitre contient quelques remarques autour de la distance de Hofer.

Combinant les avantages des voilures fixes et tournantes, le vol biomimétique présente un avenir prometteur pour les microdrones. Le mouvement de l'engin volant est assuré par les forces aérodynamiques de traction et de portance ainsi que les couples aérodynamiques créés par les ailes battantes. Un modèle simplifié basé sur les relations fondamentales de la dynamique a ainsi été établi. Des commandes non linéaires par retour d'état ou retour de mesure de capteurs d'attitude embarqués sont développées afin de stabiliser l'orientation du corps. La stabilisation de la position est assurée par un couplage entre l'angle de roulis et la force de portance. Les commandes proposées dans cette thèse sont à faible coût de calcul, tiennent compte des saturations induites par les amplitudes maximales des angles des ailes. Elles sont basées sur des techniques de moyennisation couplées à des résultats récents de stabilisation des corps rigides. La robustesse des commandes vis-à-vis d'erreurs de modèle, d'erreurs aérodynamiques, de perturbations externes, etc. a été testée.

Ce document présente un survol de mes travaux sur la commande bornée des systèmes linéaires et sur l'extension de ces approches au corps rigide. Enfin, ce manuscrit se termine par des prospectives en terme de commande basées sur évènements.

Cette thèse est consacrée dans un premier temps à l’élaboration d’un modèle variationnel dedébruitage d’ordre deux, faisant intervenir l’espace BV 2 des fonctions à hessien borné. Nous nous inspirons ici directement du célèbre modèle de Rudin, Osher et Fatemi (ROF), remplaçant la minimisation de la variation totale de la fonction par la minimisation de la variation totale seconde, c’est à dire la variation totale de ses dérivées. Le but est ici d’obtenir un modèle aussi performant que le modèle ROF, permettant de plus de résoudre le problème de l’effet staircasing que celui-ci engendre. Le modèle que nous étudions ici semble efficace, entraînant toutefois l’apparition d’un léger effet de flou. C’est afin de réduire cet effet que nous introduisons finalement un modèle mixte, permettant d’obtenir des solutions à la fois non constantes par morceaux et sans effet de flou au niveau des détails. Dans une seconde partie, nous nous intéressons au problème d’extraction de texture. Un modèle reconnu comme étant l’un des plus performants est le modèle T V -L1, qui consiste simplement à remplacer dans le modèle ROF la norme L2 du terme d’attache aux données par la norme L1. Nous proposons ici une méthode originale permettant de résoudre ce problème utilisant des méthodes de Lagrangien augmenté. Pour les mêmes raisons que dans le cas du débruitage, nous introduisons également le modèle T V 2-L1, consistant encore une fois à remplacer la variation totale par la variation totale seconde. Un modèle d’extraction de texture mixte est enfin très brièvement introduit. Ce manuscrit est ponctué d’un vaste chapitre dédié aux tests numériques. / This thesis is devoted in a first part to the elaboration of a second order variational modelfor image denoising, using the BV 2 space of bounded hessian functions. We here take a leaf out of the well known Rudin, Osher and Fatemi (ROF) model, where we replace the minimization of the total variation of the function with the minimization of the second order total variation of the function, that is to say the total variation of its partial derivatives. The goal is to get a competitive model with no staircasing effect that generates the ROF model anymore. The model we study seems to be efficient, but generates a blurry effect. In order to deal with it, we introduce a mixed model that permits to get solutions with no staircasing and without blurry effect on details. In a second part, we take an interset to the texture extraction problem. A model known as one of the most efficient is the T V -L1 model. It just consits in replacing the L2 norm of the fitting data term with the L1 norm.We propose here an original way to solve this problem by the use of augmented Lagrangian methods. For the same reason than for the denoising case, we also take an interest to the T V 2-L1 model, replacing again the total variation of the function by the second order total variation. A mixed model for texture extraction is finally briefly introduced. This manuscript ends with a huge chapter of numerical tests.

Dans ce manuscrit de thèse nous présentons des nouveaux résultats concernant l'existence, la non-existence, la multiplicité et la régularité des solutions positives pour deux problèmes quasilinéaires elliptiques avec conditions de Dirichlet dans un domaine borné. Dans le chapitre 1 d'introduction, nous décrivons les deux problèmes que nous allons étudier et nous donnons les principaux résultats. Le premier, d'inconnue u, comporte un terme de source de gradient à croissance critique. Le second, d'inconnue v, contient un terme source d'ordre 0. Dans le chapitre 2 nous donnons des nouveaux résultats de régularité des solutions renormalisées utiles pour notre étude. A l'aide d'un changement d'inconnue, nous établissons un lien précis entre les problèmes en u et v. Le chapitre 3 est consacré à montrer ce lien et à donner une première application. Dans les chapitres 4 et 5 nous traitons de l'existence de solutions, la solution extrémale et sa régularité, l'existence d'une deuxième solution bornée du problème en v. Dans le chapitre 6 nous démontrons un résultat d'existence pour le problème en v avec des données mesures de Radon bornées quelconques. Dans le chapitre 7 nous obtenons des nouveaux résultats pour le problème en u en utilisant la connexion entre ces deux problèmes.

Cette thèse est une étude de modèles d'image aléatoires avec des applications en synthèse de texture. La plupart des modèles de champs aléatoires étudiés sont des modèles germes-grains. Dans la première partie de la thèse, des algorithmes de synthèse de texture basés sur le modèle shot noise sont développés. Dans le cadre discret, deux processus aléatoires, à savoir le shot noise discret asymptotique et le bruit à phase aléatoire, sont étudiés. On élabore ensuite un algorithme rapide de synthèse de texture basé sur ces processus. De nombreuses expériences démontrent que cet algorithme permet de reproduire une certaine classe de textures naturelles que l'on nomme micro-textures. Dans le cadre continu, la convergence gaussienne des modèles shot noise est étudiée d'avantage et de nouvelles bornes pour la vitesse de cette convergence sont établies. Enfin, on présente un nouvel algorithme de synthèse de texture procédurale par l'exemple basé sur le récent modèle Gabor noise. Cet algorithme permet de calculer automatiquement un modèle procédural représentant des micro-textures naturelles. La deuxième partie de la thèse est consacrée à l'étude du processus feuilles mortes transparentes (FMT), un nouveau modèle germes-grains obtenu en superposant des objets semi-transparents. Le résultat principal de cette partie montre que, lorsque la transparence des objets varie, le processus FMT fournit une famille de modèles variant du modèle feuilles mortes à un champ gaussien. Dans la troisième partie de la thèse, les champs aléatoires à variation bornés sont étudiés et on établit des résultats généraux sur le calcul de la variation totale moyenne de ces champs. En particulier, ces résultats généraux permettent de calculer le périmètre moyen des ensembles aléatoires et de calculer explicitement la variation totale moyenne des modèles germes-grains classiques.

Dans ce mémoire, nous traiterons du théorème de Lebesgue, un des plus frappants et des plus importants de l'analyse mathématique ; à savoir qu'une fonction à variation bornée est dérivable presque partout. Le but de ce travail est de fournir, à part la démonstration souvent proposée dans les cours de la théorie de la mesure, d'autres démonstrations élaborées avec des outils mathématiques plus simples. Ma contribution a consisté essentiellement à détailler et à compléter ces démonstrations, puis à inclure la plupart des figures pour une meilleure lisibilité. Nous allons maintenant, pour ce théorème qui se présente sous d'autres variantes, en proposer l'historique et trois démonstrations différentes. / In this dissertation, we will be handling a theorem of Lebesgue, one of the most stricking and ultimate of mathematical analysis ; namely a function with bounded variation has a derivative almost everywhere. The aim of our research is to provide, apart from the proof usually offered in measure theory courses, other demontrations achieved with more simple mathematical tools. My contribution was primarily to simplify and to complete these demonstrations, to include the most of the drawings in order to visualize what is being said. For this theorem, which has other presentations, we will give now the history and three different demonstrations.

Nous étudions le comportement analytique de la fonction zêta associée à une certaine hauteur anticanonique sur une variété torique projective et lisse, le corps de définition étant un corps global de caractéristique positive. Ce comportement est étroitement lié à l'évolution asymptotique du nombre de points de hauteur bornée sur la variété. Manin et ses collaborateurs ont proposé des formules conjecturales pour le nombre de points de hauteur bornée sur une variété de Fano ou presque de Fano. Dans le cas des variétés toriques définies sur un corps de nombres ces formules ont été démontrées par Batyrev et Tschinkel, puis redémontrées par Salberger sous des hypothèses plus restrictives mais par une méthode entièrement différente. Nous nous intéressons donc dans cette thèse à la version fonctionnelle de ces résultats. Nous commençons par traiter le cas d'une variété torique déployée, en nous inspirant de la méthode de Salberger, basée sur une paramétrisation des points rationnels donnée par les torseurs universels ainsi que sur une inversion de Möbius. Nous expliquons ensuite comment les techniques utilisées dans cette situation peuvent s'appliquer aussi à un contexte motivique, mais notre calcul repose en partie sur une hypothèse non demontrée. Enfin pour examiner le cas de la compactification d'un tore non déployé nous adaptons au cas fonctionnel l'approche de Batyrev et Tshinkel. Leur idée est d'utiliser la formule de Poisson pour obtenir une représentation intégrale de la fonction zêta des hauteurs, intégrale que l'on évalue à l'aide du théorème des résidus. Nous obtenons une formule conforme aux prédictions de Manin et al., modulo le calcul d'un invariant du tore, invariant spécifique à la caractéristique non nulle. Nous n'avons pu mener à bien le calcul de cet invariant que pour des familles particulières de tores algébriques, et dans ce cas la formule obtenue est celle attendue. La question de savoir si la situation est la même pour un tore algébrique quelconque reste ouverte.