L'objectif de ce travail est d'établir l'existence et l'unicité de la solution pour une équation elliptique non linéaire dégénérée, posée dans un domaine non borné. Dans un premier temps, on mène notre étude dans un domaine borné et ceci en tronquant le domaine infini. Dans la première partie, on introduit le problème variationnel associé qui se traduit en terme d'une fonctionnelle non coercive à minimiser. Ainsi, on associe au problème de minimisation un problème dual puis on montre pour ce dernier l'existence et l'unicité de la solution. Ensuite on prouve par l'extraction d'une sous-suite minimisante l'existence d'une "solution" liée à celle du problème dual. Dans la deuxième partie, on définit un problème relaxé ayant le même infimum que le problème initial. Ensuite on établit que cet infimum est un minimum pour le problème relaxé. Les résultats de la première partie sont ensuite étendus au cas non borné. Enfin, on donne quelques critères pour estimer l'erreur de troncature entre les solutions du problème dual définies dans le cas borné et non borné.

Cette thèse est une étude de modèles d'image aléatoires avec des applications en synthèse de texture.Dans la première partie de la thèse, des algorithmes de synthèse de texture basés sur le modèle shot noise sont développés. Dans le cadre discret, deux processus aléatoires, à savoir le shot noise discret asymptotique et le bruit à phase aléatoire, sont étudiés. On élabore ensuite un algorithme rapide de synthèse de texture basé sur ces processus. De nombreuses expériences démontrent que cet algorithme permet de reproduire une certaine classe de textures naturelles que l'on nomme micro-textures. Dans le cadre continu, la convergence gaussienne des modèles shot noise est étudiée d'avantage et de nouvelles bornes pour la vitesse de cette convergence sont établies. Enfin, on présente un nouvel algorithme de synthèse de texture procédurale par l'exemple basé sur le récent modèle Gabor noise. Cet algorithme permet de calculer automatiquement un modèle procédural représentant des micro-textures naturelles.La deuxième partie de la thèse est consacrée à l'étude du processus feuilles mortes transparentes (FMT), un nouveau modèle germes-grains obtenu en superposant des objets semi-transparents. Le résultat principal de cette partie montre que, lorsque la transparence des objets varie, le processus FMT fournit une famille de modèles variant du modèle feuilles mortes à un champ gaussien. Dans la troisième partie de la thèse, les champs aléatoires à variation bornés sont étudiés et on établit des résultats généraux sur le calcul de la variation totale moyenne de ces champs. En particulier, ces résultats généraux permettent de calculer le périmètre moyen des ensembles aléatoires et de calculer explicitement la variation totale moyenne des modèles germes-grains classiques.

L'intégration numérique est une opération fréquemment disponible et utilisée dans les systèmes de calcul numérique. Nous nous intéressons dans ce mémoire à la maîtrise des erreurs commises lors d'un calcul numérique d'intégrale réelle à une dimension dans le contexte de la précision arbitraire pour les deux méthodes d'intégration que sont Newton-Cotes et Gauss-Legendre. Du point de vue algorithmique nous proposons pour chacune des méthodes une procédure de calcul avec une borne effective sur l'erreur totale commise. Dans le cadre de l'étude de la méthode de Gauss-Legendre nous avons étudié les algorithmes connus de raffinement de racines réelles d'un polynôme (la méthode de la sécante, l'itération de Newton, la dichotomie), et nous en avons proposé des heuristiques explicites permettant de s'assurer en pratique de la convergence. Les algorithmes proposés ont été implémentés dans une bibliothèque d'intégration numérique baptisée «Correctly Rounded Quadrature» (CRQ) disponible à l'adresse http://komite.net/laurent/soft/crq/. Nous comparons CRQ avec d'autres logiciels d'intégration dans ce mémoire.

Dans ce mémoire, nous traiterons du théorème de Lebesgue, un des plus frappants et des plus importants de l'analyse mathématique ; à savoir qu'une fonction à variation bornée est dérivable presque partout. Le but de ce travail est de fournir, à part la démonstration souvent proposée dans les cours de la théorie de la mesure, d'autres démonstrations élaborées avec des outils mathématiques plus simples. Ma contribution a consisté essentiellement à détailler et à compléter ces démonstrations, puis à inclure la plupart des figures pour une meilleure lisibilité. Nous allons maintenant, pour ce théorème qui se présente sous d'autres variantes, en proposer l'historique et trois démonstrations différentes. / In this dissertation, we will be handling a theorem of Lebesgue, one of the most stricking and ultimate of mathematical analysis ; namely a function with bounded variation has a derivative almost everywhere. The aim of our research is to provide, apart from the proof usually offered in measure theory courses, other demontrations achieved with more simple mathematical tools. My contribution was primarily to simplify and to complete these demonstrations, to include the most of the drawings in order to visualize what is being said. For this theorem, which has other presentations, we will give now the history and three different demonstrations.

Dans cette thèse, nous introduisons et développons une approche mathématiques originale des techniques d'imagerie biomédicales dites "hybrides". L'idée et d'appliquer une méthode d'imagerie mal posée, tout en perturbant le milieu à imager par des déplacements mécaniques. Ces déplacements provenant d'une équation de type onde élastique perturbent les mesures effectuées. En utilisant ces mesures perturbées, et profitant du caractère local des perturbations mécaniques, il est possible d'augmenter considérablement la résolution de la méthode de base. Le problème direct est donc un couplage d'une EDP décrivant la propagation utilisée pour la méthode de base et d'une seconde décrivant les champs de déplacement mécaniques. Dans toutes cette thèse, on fait l'hypothèse d'un milieu mécaniquement homogène afin d'assurer le contrôle et la géométrie des ondes perturbatrices utilisées. A partir des mesures perturbées, une étape d'interprétation permet de construire une donnée interne au domaine considéré. Cette étape nécessite en général l'inversion d'opérateurs géométriques intégraux de type Radon, afin d'utiliser le caractère localisant des perturbations utilisées. A partir de cette donnée interne, il est possible d'initier une procédure de reconstruction du paramètre physique recherché. Dans le chapitre 1, il est question d'un couplage entre micro-ondes et perturbations sphériques. Dans les chapitres 2, 3 et 4, nous étudions l'imagerie optique diffuse toujours couplée avec des perturbations sphériques. Enfin dans le chapitre cinq, nous donnons une méthode originale de reconstruction de la conductivité électrique par un couplage entre champs magnétique et perturbations acoustiques focalisées. / This thesis aims at developing an original mathematical approach for modeling hybrid biomedical imaging modalities. The core idea is to run an ill-posed imaging method while perturbing the medium using mechanical displacements. These displacements described by an elastic wave equation perturb the collected measurements. Using these perturbed measurements and taking advantage of the perturbation localizing e↵ect, it is possible to significantly overcome the resolution of the basic method. The direct problem here is a coupling between a PDE describing the propagation used for the basic method and a second one describing the mechanical displacements fields. In the whole thesis, we only consider mechanically homogeneous medium in order to assure the control and the geometry of the perturbing wavefronts. From these perturbed measurements, an interpretation step leads to an internal data map inside the considered medium. This step usually requires inversion of geometric integral operators such as Radon transform. This allows to use the geometrical localizing behavior of the perturbations. From this internal data, one can start a recovering procedure for the unknown physical parameter. This recovering step involves a new non physical PDE, non linearly coupled with the main modality equation. In the first chapter, we study a coupling between micro-waves and spherical perturbations. In chapter 2, 3 and 4, we propose a model for di↵use optical imaging coupled with spherical perturbations. In chapter 5, we introduce a new method for imaging the electric conductivity by a coupling between magnetic field and focused acoustic perturbations

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Cette thèse traite de la justification de modèles de membranes comme limites de "comportements élastiques" non linéaires tridimensionnels (les guillemets ont trait à l'absence de l'hypothèse classique d'explosion de l'énergie lorsque le Jacobien de la transformation tend vers zéro). La réduction dimensionnelle est vue comme un problème de $\Gamma$-convergence sur l'énergie élastique, lorsque l'\épaisseur tend vers zéro. Dans un premier temps, nous décrirons des hétérogénéités macroscopiques où les forces de surface peuvent engendrer une densité de moment fléchissant, produisant un vecteur de Cosserat. Puis nous considérerons des hétérogénéités microscopiques réparties périodiquement, donnant lieu à prendre en compte deux types de problèmes simultanés: la réduction de dimension et l'homogénéisation réitérée. Ensuite, des films minces possédant une microstructure dégénérée due à la présence de vide sur la surface moyenne seront étudiés dans le cas où l'épaisseur est beaucoup plus petite que la période de distribution des perforations. Enfin, nous envisagerons la possibilité de rupture et analyserons l'évolution quasistatique des fissures pour une énergie de surface de type Griffith.

Les résultats présentés dans cette thèse portent sur l'approximation adaptative de deux problèmes de transport non-linéaire : le système de Vlasov-Poisson et les lois de conservation scalaires. Pour le premier, et dans une approche semi-lagrangienne, on a proposé un schéma adaptatif original à base d'éléments finis hiérarchiques où l'évolution des maillages est réalisée par une étape de prédiction très simple suivie d'une étape de correction plus classique. En introduisant la notion de courbure totale pour étendre la semi-norme W2,1(R2) aux fonctions affines par morceaux, on a alors établi une estimation d'erreur a priori prouvant la convergence de ce schéma en distance L∞, et donné des éléments de preuve concernant sa complexité optimale. Les lois de conservations scalaire ne pouvant être approchées en distance L∞, on a considéré leur analyse en distance uniforme de Hausdorff, moins répandue bien que plus géométrique. Après avoir montré que les solutions de ces équations étaient stables vis-à-vis de cette distance, on a établi un résultat d'approximation adaptative d'ordre élevé.

Les drones et les micro-drones font actuellement l'objet de développements très rapides. L'objectif principal de ce sujet de recherche est le développement de lois de commande permettant de contrôler deux systèmes sous actionnés classiques : l'avion à décollage et à atterrissage verticaux et le "quadrirotor" ou hélicoptère à quatre rotors fixes. La spécificité des approches développées est que les limites des actionneurs sont prises en compte tout en assurant un coût de calcul compatible avec une implantation et une exécution en temps réel sur un système informatique embarqué. La commande de l'assiette et de la position sont abordées dans ce travail. Les commandes proposées sont basées sur la stabilisation globale des chaînes d'intégrateurs linéaires et sur les techniques de commande prédictive rapide.

Dans ce travail, nous avons développé une approche systématique traitant un problème particulier dans le domaine de la commande non linéaire. Il concerne le fait d'assurer une transition stable entre deux points opérationnels d'un système non linéaire. Cette approche emploie la stratégie de séquencement de gain et la notion d'incertitude bornée en norme pour approximer un système non linéaire à travers une famille de systèmes linéaires incertains à incertitude bornée en norme. Autour d'un ensemble de points d'équilibre, des lois de commande locale sont déterminées en garantissant quelques spécifications de performances locales. Le séquencement est déterminé de sorte que la stabilité est garantie. Par interpolation polynômiale continue, une loi de commande continue est établie à partir des points d'équilibre trouvés hors ligne et des correcteurs associés. Une stratégie de commande séquencée par retour d'état ainsi qu'une stratégie par retour de sortie dynamique ont été envisagées. Dans le premier cas, la commutation est faite lorsque l'état se trouve dans le bassin d'attraction du point d'équilibre ultérieur visé. Dans le deuxième, nous avons déterminé une loi de commande par retour de sortie dynamique o'u la politique de commutation est basée sur les états éstimés. Quelques exemples ont été donnés pour montrer l'efficacité de la méthode proposée.