Submitted by Eduardo Bruno Pedrozo (edulimaseixas@hotmail.com) on 2018-10-03T02:49:50Z No. of bitstreams: 3 Ata de Defesa - Eduardo Bruno.pdf: 444725 bytes, checksum: e4484ad3e7fb48901a81ce9c9a9d4584 (MD5) Carta Internet.pdf: 35030 bytes, checksum: 84d2885e4567e02da9a872369d54a8ad (MD5) Dissertação Eduardo Bruno.pdf: 755531 bytes, checksum: 021e6a1c8d4c5b4046b6a6445ee11ae1 (MD5) / Approved for entry into archive by PPGM Matemática (ppgmufam@gmail.com) on 2018-10-03T12:07:58Z (GMT) No. of bitstreams: 3 Ata de Defesa - Eduardo Bruno.pdf: 444725 bytes, checksum: e4484ad3e7fb48901a81ce9c9a9d4584 (MD5) Carta Internet.pdf: 35030 bytes, checksum: 84d2885e4567e02da9a872369d54a8ad (MD5) Dissertação Eduardo Bruno.pdf: 755531 bytes, checksum: 021e6a1c8d4c5b4046b6a6445ee11ae1 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2018-10-03T14:07:21Z (GMT) No. of bitstreams: 3 Ata de Defesa - Eduardo Bruno.pdf: 444725 bytes, checksum: e4484ad3e7fb48901a81ce9c9a9d4584 (MD5) Carta Internet.pdf: 35030 bytes, checksum: 84d2885e4567e02da9a872369d54a8ad (MD5) Dissertação Eduardo Bruno.pdf: 755531 bytes, checksum: 021e6a1c8d4c5b4046b6a6445ee11ae1 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-10-03T14:07:21Z (GMT). No. of bitstreams: 3 Ata de Defesa - Eduardo Bruno.pdf: 444725 bytes, checksum: e4484ad3e7fb48901a81ce9c9a9d4584 (MD5) Carta Internet.pdf: 35030 bytes, checksum: 84d2885e4567e02da9a872369d54a8ad (MD5) Dissertação Eduardo Bruno.pdf: 755531 bytes, checksum: 021e6a1c8d4c5b4046b6a6445ee11ae1 (MD5) Previous issue date: 2017-09-01 / In this work we will prove a theorem of Richard Brauer on the index and the period of central simple algebras. A central simple algebra is a finite-dimensional algebra over a field that becomes isomorphic to a matrix algebra after extending scalars to a finite field extension. Wedderburn’s theorem allows us define an invariant of such an algebra, called the index and the Brauer group provides a classification of central simple algebras over a given field. The period of a central simple algebra is the order of its class in the Brauer group. Brauer’s theorem of 1929 shows that the period of a central simple algebra always divides its index, which is the main result of this work. Our proof is based on techniques from Galois cohomology. / Neste trabalho provamos um teorema de Richard Brauer sobre o´ındice e o per´ıodo de a´lgebras simples centrais. Uma a´lgebra simples central ´e uma a´lgebra de dimensa˜o finita sobre um corpo que se torna isomorfa a uma ´algebra de matrizes apo´s extensa˜o de escalares a uma extens˜ao finita de corpos. O teorema de Wedderburn nos permite definir um invariante de uma tal a´lgebra, dito o ´ındice e o grupo de Brauer fornece uma classifica¸ca˜o destas ´algebras sobre um corpo dado. O per´ıodo de uma a´lgebra simples central ´e a ordem da sua classe no grupo de Brauer. O teorema de Brauer de 1929 mostra que o per´ıodo de uma ´algebra simples central sempre divide o seu ´ındice, que ´e o resultado principal deste trabalho. Este teorema permite compreender melhor a estrutura destas a´lgebras. A nossa prova ´e baseada em t´ecnicas da cohomologia galoisiana.

Submitted by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2017-08-30T15:24:40Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Dissertação - Fernando Junior S. Santos.pdf: 885469 bytes, checksum: 810e1dae7c213671c12b8d4f9c0ff331 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2017-08-30T15:29:43Z (GMT) No. of bitstreams: 2 license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Dissertação - Fernando Junior S. Santos.pdf: 885469 bytes, checksum: 810e1dae7c213671c12b8d4f9c0ff331 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-08-30T15:29:43Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Dissertação - Fernando Junior S. Santos.pdf: 885469 bytes, checksum: 810e1dae7c213671c12b8d4f9c0ff331 (MD5) Previous issue date: 2017-07-06 / FAPEAM - Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Amazonas / In this work we study how certain types of loop algebras can be classi ed with the help of Galois cohomology. In the rst part of the paper we expose the theory of nitedimensional Lie algebras and introduce the notion of a loop algebra. Subsequently we explain the relationship of loop algebras with the S=R-forms of g(R), where R is the ring of Laurent polynomials in one variable over an algebraically closed eld and S an extension of the ring. In the second chapter the theory of Galois cohomology will be developped. Finally we will show how isomorphism classes of loop algebras can be represented by elements of sets of Galois cohomology. / Neste trabalho se estuda como certos tipos de álgebras de loop podem ser classi - cados com a ajuda da cohomologia galoisiana. Na primeira parte do trabalho é exposta a teoria de álgebras de Lie de dimensão nita e é introduzida a noção de álgebra de loop. Em seguida, é explicado a relação das álgebras de loop com as S=R formas de g(R), para R o anel de polinômios de Laurent em uma variável sobre um corpo algebricamente fechado e S uma extensão deste anel. No capítulo seguinte será apresentado a teoria da cohomologia galoisiana. No nal será mostrado como classes de isomor smo de álgebras de loop podem ser representados por elementos de conjuntos da cohomologia galoisiana.

Neste trabalho procuramos realizar uma apresentação autocontida sobre os conceitos da teoria algébrica de formas quadráticas e sobre os anéis graduados que surgiram no desenvolvimento desta teoria. Iniciamos procurando esclarecer o sentido da equivalência entre as várias acepções do conceito de forma quadrática. Após a apresentação de ingredientes e resultados geométricos, fazemos um extrato da teoria dos anéis de Witt, conceito que originou a moderna teoria algébrica de formas quadráticas. Disponibilizamos os elementos fundamentais para a formulação das teorias de cohomologia, nos concentrado no desenvolvimento da teoria de cohomologia profinita e, sobretudo, galoisiana. Descrevemos os funtores K0, K1 e K2 da K-teoria clássica e também a K-teoria de Milnor, que é mais adequada para formular questões sobre formas quadráticas. Finalizamos o trabalho com a apresentação de alguns conceitos da Teoria dos Grupos Especiais, uma codificação em primeira-ordem da teoria algébrica das formas quadráticas e exemplificamos sua importância, fornecendo um extrato da prova realizada por Dickmann-Miraglia da conjectura de Marshall sobre assinaturas, que se baseia fortemente nesta teoria. / In this work I try to provide a self-contained presentation on the concepts of algebraic theory of quadratic forms and on the graded rings that have emerged in the development of this theory. I started trying to clarify the meaning of \"equivalence\"between the various meanings of the concept of quadratic form. After the presentation of geometrical ingredients and results, we make an extract of the theory of Witt rings, a concept that originated the modern algebraic theory of quadratic forms. It is provided the key elements for the formulation of cohomology theories, focusing on the development of profinite cohomology theory and, especially, on galoisian cohomology. Are described the functors K0, K1 and K2 of classical K-theory and also the Milnor K-theory, which is more appropriate to formulate questions about quadratic forms. The dissertation is finished with the presentation of some concepts of the Theory of Special Groups, a first-order encoding of algebraic theory of quadratic forms, and with an example its importance by providing an extract of proof by Dickmann-Miraglia of the Marshalls conjecture on signatures, which relies heavily on this theory.

Neste trabalho procuramos realizar uma apresentação autocontida sobre os conceitos da teoria algébrica de formas quadráticas e sobre os anéis graduados que surgiram no desenvolvimento desta teoria. Iniciamos procurando esclarecer o sentido da equivalência entre as várias acepções do conceito de forma quadrática. Após a apresentação de ingredientes e resultados geométricos, fazemos um extrato da teoria dos anéis de Witt, conceito que originou a moderna teoria algébrica de formas quadráticas. Disponibilizamos os elementos fundamentais para a formulação das teorias de cohomologia, nos concentrado no desenvolvimento da teoria de cohomologia profinita e, sobretudo, galoisiana. Descrevemos os funtores K0, K1 e K2 da K-teoria clássica e também a K-teoria de Milnor, que é mais adequada para formular questões sobre formas quadráticas. Finalizamos o trabalho com a apresentação de alguns conceitos da Teoria dos Grupos Especiais, uma codificação em primeira-ordem da teoria algébrica das formas quadráticas e exemplificamos sua importância, fornecendo um extrato da prova realizada por Dickmann-Miraglia da conjectura de Marshall sobre assinaturas, que se baseia fortemente nesta teoria. / In this work I try to provide a self-contained presentation on the concepts of algebraic theory of quadratic forms and on the graded rings that have emerged in the development of this theory. I started trying to clarify the meaning of \"equivalence\"between the various meanings of the concept of quadratic form. After the presentation of geometrical ingredients and results, we make an extract of the theory of Witt rings, a concept that originated the modern algebraic theory of quadratic forms. It is provided the key elements for the formulation of cohomology theories, focusing on the development of profinite cohomology theory and, especially, on galoisian cohomology. Are described the functors K0, K1 and K2 of classical K-theory and also the Milnor K-theory, which is more appropriate to formulate questions about quadratic forms. The dissertation is finished with the presentation of some concepts of the Theory of Special Groups, a first-order encoding of algebraic theory of quadratic forms, and with an example its importance by providing an extract of proof by Dickmann-Miraglia of the Marshalls conjecture on signatures, which relies heavily on this theory.