We introduce geometrically partial comodules over coalgebras in monoidal categories, as an alternative notion to the notion of partial action and coaction of Hopf algebras introduced by Caenepeel and Janssen. We show that our new notion suits better if one wants to describe phenomena of partial actions in algebraic geometry. We show that under mild conditions, the category of geometric partial comodules is complete and cocomplete and the category of partial comodules over a Hopf algebra is lax monoidal. We develop a Hopf-Galois theory for geometric partial coactions to illustrate that our new notion might be a useful additional tool in Hopf algebra theory. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Nous étudions les A-infini-algèbres Z-graduées (non nécessairement connexes) et leurs A-infini-modules. En utilisant les constructions bar et cobar ainsi que les outils de l'algèbre homotopique de Quillen, nous décrivons la localisation de la catégorie des A-infini-algèbres par rapport aux A-infini-quasi-isomorphismes. Nous adaptons ensuite ces méthodes pour décrire la catégorie dérivée DA d'une A-infini-algèbre augmentée A. Le cas où A n'est pas muni d'une augmentation est traité différemment. Néanmoins, lorsque A est strictement unitaire, sa catégorie dérivée peut être décrite de la même manière que dans le cas augmenté. Nous étudions ensuite deux variantes de la notion d'unitarité pour les A-infini-algèbres : l'unitarité stricte et l'unitarité homologique. Nous montrons que d'un point de vue homotopique, il n'y a pas de différence entre ces deux notions. Nous donnons ensuite un formalisme qui permet de définir les A-infini-catégories comme des A-infini-algèbres dans certaines catégories monoïdales. Nous généralisons à ce cadre les constructions fondamentales de la théorie des catégories : le foncteur de Yoneda, les catégories de foncteurs, les équivalences de catégories... Nous montrons que toute catégorie triangulée algébrique engendrée par un ensemble d'objets est A-infini-prétriangulée, c'est-à-dire qu'elle est équivalente à H^0 Tw A, où Tw A est l'A-infini-catégorie des objets tordus d'une certaine A-infini-catégorie A. Nous démontrons ainsi une partie des énoncés d'algèbre homologique presentés par M. Kontsevich pendant son cours ``Catégories triangulées et géométrie'' à l'ENS en 1998.

Soient p un nombre premier, n un entier, V un p-groupe abélien élémentaire de rang n et E un spectre en anneau commutatif muni d'une orientation complexe Landweber exact. Le but de ce travail est d'étudier la structure de comodule de la E-homologie de BV sur l'algébroïde de Hopf (E_*,E_*E). Pour cela, nous étudions les foncteurs de localisation sur les catégories de comodules, ainsi que la notion de produit semi-direct d'algébroïdes de Hopf. Dans le cas particulier où E est le spectre de Brown-Peterson BP, Johnson et Wilson ont déterminé une filtration de la BP-homologie de BZ/p^n dans la catégorie des BP_*-modules. Nous démontrons un résultat analogue dans la catégorie des BP_*BP-comodules; les quotients de cette filtration dépendent de la p-série universelle. Afin de mener des calculs explicites, nous introduisons un algébroïde de Hopf (S,S\Lambda) qui représente le groupoïde associé à l'action par conjugaison des séries formelles strictes sur l'ensemble des séries formelles.