We numerically study the dynamics and interactions of vortex rings in the nonlinear Schrödinger equation (NLSE). Single ring dynamics for both bright and dark vortex rings are explored including their traverse velocity, stability, and perturbations resulting in quadrupole oscillations. Multi-ring dynamics of dark vortex rings are investigated, including scattering and merging of two colliding rings, leapfrogging interactions of co-traveling rings, as well as co-moving steady-state multi-ring ensembles. Simulations of choreographed multi-ring setups are also performed, leading to intriguing interaction dynamics. Due to the inherent lack of a close form solution for vortex rings and the dimensionality where they live, efficient numerical methods to integrate the NLSE have to be developed in order to perform the extensive number of required simulations. To facilitate this, compact high-order numerical schemes for the spatial derivatives are developed which include a new semi-compact modulus-squared Dirichlet boundary condition. The schemes are combined with a fourth-order Runge-Kutta time-stepping scheme in order to keep the overall method fully explicit. To ensure efficient use of the schemes, a stability analysis is performed to find bounds on the largest usable time step-size as a function of the spatial step-size. The numerical methods are implemented into codes which are run on NVIDIA graphic processing unit (GPU) parallel architectures. The codes running on the GPU are shown to be many times faster than their serial counterparts. The codes are developed with future usability in mind, and therefore are written to interface with MATLAB utilizing custom GPU-enabled C codes with a MEX-compiler interface. Reproducibility of results is achieved by combining the codes into a code package called NLSEmagic which is freely distributed on a dedicated website.

Condensação de Bose-Einstein é um fenômeno quântico que pode ser observado macroscopicamente. Para a sua obtenção são necessários aprisionamentos externos, porém a presença desses leva ao colapso da função de onda. As interações de longo alcance são propostas como uma forma alternativa ao confinamento externo, um vez que podem prevenir o colapso da função de onda. Neste trabalho será apresentada uma revisão sobre os estudos de condensados de Bose-Einstein. Também, será buscada a solução aproximada da equação de Schrödinger não linear e não-local, a qual descreve condensados de Bose-Einstein com auto-interações de longo alcance. Para isso, será suposta uma forma espacial da função de onda, permitindo o tratamento analítico do sistema dinâmico resultante. Ao fim, por meio do método variacional dependente do tempo, será demonstrado que existem soluções estáveis para a função de onda sujeito a interações de longo alcance na forma gaussiana e gravitacional. / Bose-Einstein condensation is a quantum phenomenon that can be observed macroscopically. External trappings are required to obtain them, however the presence of these leads to the collapse of the wave function. Long-range interactions are proposed as an alternative to external confinement, since they can prevent the collapse of the wave function. In this work a review will be presented on the Bose-Einstein condensate studies. Also, we review the approximate solution of the non-linear and non-local Schrödinger equation, which describes Bose-Einstein condensates with long-range auto-interactions. For this, a spatial form of the wave function will be assumed, allowing the analytical treatment of the system. Finally, through the time-dependent variational method, it will be demonstrated that there are stable solutions for the wave function subject to long-range interactions in gaussian and gravitational form.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / A tese de doutorado apresenta uma aplicação de técnicas de teoria de campos em um sistema da matéria condensada. Motivados por experimentos em gases atômicos, apresentamos um estudo sobre misturas binárias de gases atômicos na presença de uma interação do tipo Josephson. O foco principal é o estudo de um modelo de dois campos complexos não-relativisticos com simetria O(2). Esta simetria é quebrada por interações que produzem um desbalanço nas populações das duas espécies bosônicas. Estudamos o modelo na aproximação de campo médio mais flutuações gaussianas, usando o formalismo de teoria de campos a temperatura finita em tempo imaginário. Os resultados mostram que, num certo intervalo de temperaturas, as duas espécies bosônicas condensam à mesma temperatura crítica e a fase relativa do condensado é fixa, determinada pela fase do campo externo aplicado. / The thesis apresents an applications of field theory techniques in a condensed matter system. Motivated by experiments in atomic gases, we present a study of binary mixture of atomic gases in the presence of an interaction type Josephson. The main focus is the study of a model of two complex fields with non-relativistic symmetry O(2). This symmetry is broken by interactions that produce an inbalance in the populations of the two species bosonic. We study the model in the mean-field approximattion more gaussian fluctuations, using the formalism of field theory at finite temperature in imaginary time. The results show that in a certain temperature range, the two bosonic species condense the same critical temperature and the ralative phase of the condensate is fixed and determined by the applied external field phase.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / A tese de doutorado apresenta uma aplicação de técnicas de teoria de campos em um sistema da matéria condensada. Motivados por experimentos em gases atômicos, apresentamos um estudo sobre misturas binárias de gases atômicos na presença de uma interação do tipo Josephson. O foco principal é o estudo de um modelo de dois campos complexos não-relativisticos com simetria O(2). Esta simetria é quebrada por interações que produzem um desbalanço nas populações das duas espécies bosônicas. Estudamos o modelo na aproximação de campo médio mais flutuações gaussianas, usando o formalismo de teoria de campos a temperatura finita em tempo imaginário. Os resultados mostram que, num certo intervalo de temperaturas, as duas espécies bosônicas condensam à mesma temperatura crítica e a fase relativa do condensado é fixa, determinada pela fase do campo externo aplicado. / The thesis apresents an applications of field theory techniques in a condensed matter system. Motivated by experiments in atomic gases, we present a study of binary mixture of atomic gases in the presence of an interaction type Josephson. The main focus is the study of a model of two complex fields with non-relativistic symmetry O(2). This symmetry is broken by interactions that produce an inbalance in the populations of the two species bosonic. We study the model in the mean-field approximattion more gaussian fluctuations, using the formalism of field theory at finite temperature in imaginary time. The results show that in a certain temperature range, the two bosonic species condense the same critical temperature and the ralative phase of the condensate is fixed and determined by the applied external field phase.

Condensação de Bose-Einstein é um fenômeno quântico que pode ser observado macroscopicamente. Para a sua obtenção são necessários aprisionamentos externos, porém a presença desses leva ao colapso da função de onda. As interações de longo alcance são propostas como uma forma alternativa ao confinamento externo, um vez que podem prevenir o colapso da função de onda. Neste trabalho será apresentada uma revisão sobre os estudos de condensados de Bose-Einstein. Também, será buscada a solução aproximada da equação de Schrödinger não linear e não-local, a qual descreve condensados de Bose-Einstein com auto-interações de longo alcance. Para isso, será suposta uma forma espacial da função de onda, permitindo o tratamento analítico do sistema dinâmico resultante. Ao fim, por meio do método variacional dependente do tempo, será demonstrado que existem soluções estáveis para a função de onda sujeito a interações de longo alcance na forma gaussiana e gravitacional. / Bose-Einstein condensation is a quantum phenomenon that can be observed macroscopically. External trappings are required to obtain them, however the presence of these leads to the collapse of the wave function. Long-range interactions are proposed as an alternative to external confinement, since they can prevent the collapse of the wave function. In this work a review will be presented on the Bose-Einstein condensate studies. Also, we review the approximate solution of the non-linear and non-local Schrödinger equation, which describes Bose-Einstein condensates with long-range auto-interactions. For this, a spatial form of the wave function will be assumed, allowing the analytical treatment of the system. Finally, through the time-dependent variational method, it will be demonstrated that there are stable solutions for the wave function subject to long-range interactions in gaussian and gravitational form.

Este trabalho consiste em um estudo teórico da coexistência de condensados de Bose-Einstein atômicos acoplados. Esta mistura de condensados pode consistir em átomos de um mesmo elemento em vários estados hiperfinos (estado interno). Outra situação em que esta mistura ocorre é quando um átomo em um único estado interno pode ocupar mais de um estados externo. As semelhanças e diferenças entre condensados de Bose-Einstein com vários estados internos e externos serão analisadas cuidadosamente. Somente na aproximação de Bose-Hubbard os estados externos serão tratados como internos. Condensados envolvendo duas ou mais espécies serão estudados com a aproximação de Thomas-Fermi com estados coerentes. Esta aproximação implica em desprezar o termo de energia cinética. Muitos resultados analíticos serão exibidos para a condição em que todos os comprimentos de espalhamento são iguais entre si. Esta condição é bastante próxima da observada em um condensado de vários estados internos. Além disso serão apresentados alguns resultados anaíticos onde o comprimento de espalhamento para espécies diferentes é zero. Esta condição é verificada para a aproximação de Bose-Hubbard para misturas de condensados com estados externos. O objetivo principal destes cálculos é estudar o papel da fase relativa entre as funções de onda nas soluções estacionárias e na evolução temporal destes sistemas. / This work consists of a theoretical study of the coexistance of coupled atomic Bose-Einstein condensates. These mixed condensates can consist of atoms of the same element in different hyperfine internal states. A different situation is that in which an atom in one internal state can ocupate different single particle external states. The similarities and differences between mixed Bose-Einstein condensates involving internal and external states will be analysed carefully. Only in the Bose-Hubbard approximation the external states can be treated like internal states. Condensates involving two or more species will be studied with in a Thomas- Fermi\'s approximation with coherent states. This approximation involves in discarding of the Hamiltonian the kinetic energy term. A number of analytical results are given for the case in which the different channel scatering lenghts are equal to each other. This condition is which well approximated in condensates involving many internal states. Beside some results will also be given for situations where the scatering lenghts for different species vanishes. This condiction is verified for the Bose-Hubbard approximation to externally mixed condensates. The principal goal of this calculations is to study the role of relative phase between the wave functions in the stationary solutions and in the time evolution of the systems.

Uma análise dos processos colisionais homonucleares e heteronucleares, responsáveis por perdas em uma armadilha magneto-óptica, foi realizada neste trabalho. Resultados experimentais inéditos para as taxas de perdas, no sistema Rb-Cs, foram obtidos. Os dados experimentais em conjunto com os resultados do modelo sugerem que o processo de escape radiativo é dominante. O modelo utilizado é muito sensível à profundidade da armadilha, a qual depende de outros parâmetros (intensidade, dessintonia, gradiente de campo magnético, etc.). A colaboração com pesquisadores italianos possibilitou uma análise mais detalhada das taxas de perdas heteronucleares em outras regiões de intensidade. Estudamos a dependência das taxas heteronucleares com a razão das massas do par atômico, e uma razoável concordância foi observada. O estudo de processos colisionais em armadilhas magneto-ópticas é importante na obtenção do condensado de BoseEinstein com duas espécies atômicas distintas, e também em experiências de espectroscopia fotoassociativa. / In this work, we had investigated the heteronuclear trap loss rate in a two-species Rb-Cs magneto-optical trap. The experimental results suggest that radiative escape is the main collisional process responsible for heteronuclear losses. An addapted Gallagher - Pritchard model is compared with the data. The model is very sensitive to the trap depth, which depends on the trap parameters (intensity, detuning, magnetic - field gradient, etc.) This observation is also supported by experimental results from a Pisa\' group. We have compared experimental of heteronuclear rates as a function of the masses ratio of the atomic pair with the model, and a reasonable agreement is observed. These studies are relevant for high resolution atomic / molecular spectroscopy, and for the production of mixed - species Bose-Einstein condensates.

Made available in DSpace on 2014-07-29T15:15:47Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Pages from Wesley Bueno1.pdf: 4320775 bytes, checksum: 75a8ed4cb0407f9831577bca544b704b (MD5) Previous issue date: 2010-07-09 / This work combines some of the results obtained on the study of solitons in relativistic fields and Bose-Einstein condensates. By using a first order formalism to solve the equations of motion of relativistic fields, introduced previously by our group, we construct several classes of lump solutions described by a single real scalar field. We show how these solutions can be controlled depending on a single parameter in the field potential. In condensed matter the solutions of the lump type correspond to bright solitons, very studied in the context of nonlinear crystals, fiber optics, Bose-Einstein condensates, etc. In all these cases, such solutions are obtained via a nonlinear Schr¨odinger equation, responsible for describing the propagation of pulses in optical fibers or crystals, or the atomic density in condensates. In this sense, our main goal is to study the soliton and breather modulations via nonlinear Schrodinger equation. We concentrate on the Bose-Einstein condensate in which the modulation of atomic density can be accomplished through the Feshbach resonance. We study cases where the nonlinearity is described by terms cubic, cubic and quintic, and purely quintic in the nonlinear Schr¨odinger equation. Also, situations where two interacting condensates in which the nonlinear Schr¨odinger equations are coupled, breather modulations, and the study of the soliton behavior under influence of chaotic, random and non-periodic perturbations in the nonlinearity of the system. In many cases we consider the condensate trapped in the cigarshaped configuration, i.e., with freedom in only one spatial dimension. Numerical simulations are performed to verify the stability of the solutions. / Este trabalho reúne alguns dos resultados obtidos sobre o estudo de sólitons em modelos de campos escalares relativísticos e em condensados de Bose-Einstein. Com o uso de um formalismo de primeira ordem para a equação de movimento de campos relativísticos, introduzido anteriormente por nosso grupo, construímos várias classes de soluções do tipo lump para um único campo escalar real. Mostramos que as formas dessas soluções podem ser controladas dependendo de um único parâmetro no potencial de campo utilizado. Em matéria condensada as soluções do tipo lump correspondem a sólitons brilhantes, muito estudados no contexto de cristais não-lineares, fibras ópticas, condensados de Bose-Einstein, etc. Em todos esses casos tais soluções são obtidas através da equação não-linear de Schrodinger, responsável por descrever a propagação de pulsos, em cristais ou fibras ópticas, ou a densidade atômica, no caso de condensados. Nesse sentido, nosso objetivo principal consiste no estudo da modulação de sólitons e breathers através da equação não-linear de Schrodinger. Nossa concentração é nos condensados de Bose-Einstein nos quais a modulação da densidade atômica pode ser realizada através da ressonância de Feshbach. Estudamos casos onde a não-linearidade é descrita por termos cúbico, cúbio e quíntico e puramente quíntico na equação não-linear de Schrodinger. Investigamos também situações onde dois condensados podem interagir e as ENLS estão acopladas, modulação de breathers e o estudo da influência de ruídos caóticos, aleatórios e não-periódicos na não-linearidade do sistema para o comportamento do sóliton. Na maior parte deste trabalho consideramos o condensado aprisionado na forma de charuto, isto é, com liberdade em apenas uma dimensão espacial. Simulações numéricas foram realizadas para verificar a estabilidade das soluções.

Diferentes tipos de sólitons têm sido observados em meios ópticos não-lineares, e seus comportamentos individuais descritos pela equação não-linear de Schrödinger e pela equação não-linear de Schrödinger generalizada, em diferentes dimensões e geometrias. Entretando, há situações onde muitos sólitons são gerados formando uma densa rede de sólitons. Nestes casos, é impossível desprezar as interações entre os sólitons e temos que considerar a evolução da estrutura como um todo. A teoria das ondas de choque dispersivas em meios fotorrefrativos e a teoria da difração não-linear de intensos feixes de luz propagando-se em meios fotorrefrativos com um fio refletor incorporado a esse meio foi desenvolvida, e verificamos que está em excelente acordo com nossas simulações numéricas. No caso da formação de sólitons em condensados, fizemos cálculos numéricos realísticos dentro da aproximação de campo médio usando a equação de Gross-Pitaevskii, incluindo também um potencial de confinamento, um potencial móvel e um potencial dipolar. A maioria dos resultados puderam ser comparados com experimentos recentes. / Different kinds of solitons have already been observed in various nonlinear optical media, and their behavior has been explained in the frameworks of such mathematical models as the nonlinear Schrödinger and generalized nonlinear Shrödinger equations for different dimensions and geometries. However, there are situations when many solitons are generated so that they can comprise a dense soliton train. In such situations, it is impossible to neglect interactions between solitons and one has to consider the evolution of the structure as a whole rather than to trace the evolution of each soliton separately. The theory of optical shock waves in photorefractive media and the theory of nonlinear diffraction of light beams propagating in photorefractive media with embedded reflecting wire was developed and agrees very well with our numerical simulations. In the condensate soliton formation case, we did numerical calculations in the mean field approach using the Gross-Pitaevskii equation, adding a trap potential and a moving potential and a potential of the dipole-dipole interaction. The main results were also checked by recent experiments.

Nesta dissertação nós revisamos a teoria básica que descreve a junção Josephson bosônica para uma e duas espécies partindo do modelo de Bose-Hubbard. Em seguida explicamos como é possível gerar campos de calibe artificiais em um sistema de átomos neutros, como é o caso do condensado de Bose-Einstein. Finalmente, utilizando os conhecimentos teóricos desenvolvidos anteriormente nós buscamos os estados estacionários de um sistema de pseudospin 1/2 submetido a um campo de calibre não-Abeliano artificial, que torna a dinâmica da junção muito mais complexa e rica. Nós também exploramos um novo desbalanceamento de população que surge no sistema, devido a presença do campo de calibre, com características similares as do Macroscopic Quantum Self-Trapping. / In this dissertation we review the basic theory that describes the bosonic Josephson junction for one and two species using the Bose-Hubbard model. Afterwards, we explain how it is possible to generate artificial gauge fields for neutral atoms, like a Bose-Einstein condensate. Finally, using this theoretical background we search for stationary states of a pseudospin 1/2 system subject to a non-Abelian artificial gauge field which turns the dynamic of the junction much more complex and rich. We also explore a possible new populational imbalance that appears on the system due to the presence of the gauge field, with similar features as the Macroscopic Quantum Self-Trapping.