Em um sistema mecânico, descrito pelo modelo par de impactos, estudamos o controle de caos, através de uma perturbação paramétrica, e os saltos entre trajetórias de dois atratores. Para esse sistema não integrável, obtivemos numericamente e analisamos a evolução das suas variáveis, para um grande conjunto de condições iniciais e parâmetros de controle. Para essa análise foram obtidos planos de fase, seções de Poincare, diagramas de bifurcação, bacias de atração, expoentes de Lyapunov e espaços bidimensionais de parâmetros. Um controle paramétrico foi implementado somando uma perturbação senoidal, com amplitude e freqüência definidas, ao forçamento original do sistema. O controle de caos foi analisado no espaço bidimensional de parâmetros do sistema. Observamos nesse espaço a formação de janelas periódicas (camarões) na vizinhança das janelas previamente existentes. Constatamos que, nas novas janelas, os atratores controlados possuem periodicidade e forma iguais as dos atratores presentes em janelas previamente existentes. Os saltos entre as trajetórias de dois atratores coexistentes foram analisados, com o sistema perturbado por uma simulação de um ruído branco com uma banda de freqüências. Mostramos que a freqüência dos saltos aumenta com a amplitude do ru´do e a intensidade da dissipação, devido `a mudança que esses fatores causam nas bacias de atração dos dois atratores. / For a mechanical system, described by the impact-pair model, we studied the control of chaos by a parametric perturbation and the basin-hopping phenomeno. For this nonintegrable system, we obtained numerically the evolution of its dynamical variables for a large set of initial conditions and control parameters. For this analysis, we used phase planes, Poincar´e sections, bifurcation diagrams, basin of attractions, Lyapunov exponents, and bidimensional parameter spaces. A parametric control was implemented by adding an external perturbation with defined amplitude and frequency. The control of chaos was analized in the two-dimensional parameter space. In the parameter space, we observed the formation of new periodic windows (shrimps) in the neighborhood of previously one. In the new periodic windows, the new controlled attractors have the same shape and periodicity of those in the original windows. For two attractors, the basin-hopping was analyzed for a white noise with frequency band. We showed that the hop frequency increases with the noise amplitude and the dissipation intensity. This occurs due to changes in the basins of attraction.

Em um sistema mecânico, descrito pelo modelo par de impactos, estudamos o controle de caos, através de uma perturbação paramétrica, e os saltos entre trajetórias de dois atratores. Para esse sistema não integrável, obtivemos numericamente e analisamos a evolução das suas variáveis, para um grande conjunto de condições iniciais e parâmetros de controle. Para essa análise foram obtidos planos de fase, seções de Poincare, diagramas de bifurcação, bacias de atração, expoentes de Lyapunov e espaços bidimensionais de parâmetros. Um controle paramétrico foi implementado somando uma perturbação senoidal, com amplitude e freqüência definidas, ao forçamento original do sistema. O controle de caos foi analisado no espaço bidimensional de parâmetros do sistema. Observamos nesse espaço a formação de janelas periódicas (camarões) na vizinhança das janelas previamente existentes. Constatamos que, nas novas janelas, os atratores controlados possuem periodicidade e forma iguais as dos atratores presentes em janelas previamente existentes. Os saltos entre as trajetórias de dois atratores coexistentes foram analisados, com o sistema perturbado por uma simulação de um ruído branco com uma banda de freqüências. Mostramos que a freqüência dos saltos aumenta com a amplitude do ru´do e a intensidade da dissipação, devido `a mudança que esses fatores causam nas bacias de atração dos dois atratores. / For a mechanical system, described by the impact-pair model, we studied the control of chaos by a parametric perturbation and the basin-hopping phenomeno. For this nonintegrable system, we obtained numerically the evolution of its dynamical variables for a large set of initial conditions and control parameters. For this analysis, we used phase planes, Poincar´e sections, bifurcation diagrams, basin of attractions, Lyapunov exponents, and bidimensional parameter spaces. A parametric control was implemented by adding an external perturbation with defined amplitude and frequency. The control of chaos was analized in the two-dimensional parameter space. In the parameter space, we observed the formation of new periodic windows (shrimps) in the neighborhood of previously one. In the new periodic windows, the new controlled attractors have the same shape and periodicity of those in the original windows. For two attractors, the basin-hopping was analyzed for a white noise with frequency band. We showed that the hop frequency increases with the noise amplitude and the dissipation intensity. This occurs due to changes in the basins of attraction.

En esta tesis se estudia de manera analítica y numérica el comportamiento del convertidor tipo buck cuando es manejado con PWM y el cálculo de ciclo de trabajo se hace obligando a la dinámica de primer orden en el error del sistema a tener promedio cero en cada iteración (ZAD). Esta técnica de manejo del PWM, reportada por primera vez en la literatura en el año 2001, y ampliamente estudiada en la presente tesis, promete llevar al sistema a tener características deseables tales como: frecuencia fija de conmutación, robustez y bajo error de salida; cualidades estas muy importantes en un convertidor. Los principales puntos de análisis en la presente tesis son: determinación del punto de equilibrio de la aplicación de Poincaré del convertidor manejado con PWM y ZAD. Cálculo de la estabilidad de la órbita de período 1 asociada a la aplicación de Poincaré. Este estudio se ha hecho via Exponentes de Lyapunov, Exponentes de Floquet y Multiplicadores característicos. Debido a la presencia inherente de un periodo de atraso en un esquema de PWM con pulso al centro, se incuye para el análisis de estabilidad este caso particular. También se hace un estudio de la transición al caos, basado en la aplicación de Poincaré y se caracterizan de manera analítica las tres primeras bifurcaciones (Flip-colisión de borde-Flip). Se muestra además la conformación del caos a tavés de una aplicación estilo tienda de campaña. Se ha diseñado un controlador para cuando el sistema opera en zona de caos y se ha comparado con la técnica TDAS, mostrando mayor velocidad de respuesta y error más bajo. Por medio de la aplicación de la teoría de promedios se calcula una cota para el error, cuando el sistema opera en zona estable y en estado estacionario, garantizando un bajo error de salida. Finalmente los resultados experimentales corroboran algunos fenómenos no lineales y el límite de la estabilidad. / In this thesis the behaviour of the buck converter, driven with PWM and Zero Average Dynamic on error (ZAD) technique is studied in an analytical and numerical form. This technique for evaluating duty cycle in a PWM was reported for the first time in the literature in the year 2001. ZAD is widely studied in this thesis. Its main characteristics are: fixed frequency switching, robustness, and low error in the regulation case. These characteristics are very important in power converters. The main issues of this thesis are: To calculate the equilibrium point associated to the buck converter Poincaré map. To determine the stability of the 1-periodic orbit, based on Lyapunov exponents, Floquet exponents and characteristic multipliers. Also an scheme of PWM with a delay time has been studied finding its stability limit. A study of transition to chaos has been made. It has confirmed analytically that the first bifurcation is flip type, the second bifurcation is corner collision type and third bifurcation is flip type, again. Also a controller for chaos is designed and tested and it has been compared with TDAS technique, showing lower error and very fast response. Applying Average theory, a bound for error in the regulation case and in stationary state has been found. This bound confirms the advantages of the ZAD technique. Finally the analytical and numerical results are confirmed in an experimental form.

Le problème principalement étudié dans ce manuscrit est la stabilisation d’orbites périodiques de systèmes dynamiques non linéaires à l’aide d’une commande de rétroaction (feedback). Le but des méthodes de contrôle proposées ici est d’obtenir une oscillation périodique stable. Ces méthodes de contrôle sont appliquées à des systèmes présentant des orbites périodiques instables dans l’espace d’état, et ces dernières sont les orbites destinées à être stabilisées.Les méthodes proposées ici sont telles que l’oscillation stable qui en résulte est obtenue avec un effort de contrôle faible, et que la valeur de la commande tend vers zéro lorsque la trajectoire tend vers l’orbite stabilisée. La stabilité locale des orbites périodiques est analysée par l’étude de la stabilité des systèmes linéaires périodiques à l’aide de la théorie de Floquet. Ces systèmes linéaires sont obtenus par linéarisation des trajectoires au voisinage de l’orbite périodique.Les méthodes de contrôle utilisées ici pour la stabilisation des orbites périodiques sont une loi de commande proportionnelle, une loi de commande de rétroaction retardée et une loi de commande de rétroaction basée sur une prédiction. Ces méthodes sont appliquées aux systèmes en temps discret et aux systèmes en temps continu avec les modifications nécessaires. Les contributions principales de cette thèse sont associées à ces méthodes, proposant une méthode alternative de design de gain, une nouvelle loi de commande et des résultats associés. / The main problem evaluated in this manuscript is the stabilization of periodic orbits of non-linear dynamical systems by use of feedback control. The goal of the control methods proposed in this work is to achieve a stable periodic oscillation. These control methods are applied to systems that present unstable periodic orbits in the state space, and the latter are the orbits to be stabilized.The methods proposed here are such that the resulting stable oscillation is obtained with low control effort, and the control signal is designed to converge to zero when the trajectory tends to the stabilized orbit. Local stability of the periodic orbits is analyzed by studying the stability of some linear time-periodic systems, using the Floquet stability theory. These linear systems are obtained by linearizing the trajectories in the vicinity of the periodic orbits.The control methods used for stabilization of periodic orbits here are the proportional feedback control, the delayed feedback control and the prediction-based feedback control. These methods are applied to discrete and continuous-time systems with the necessary modifications. The main contributions of the thesis are related to these methods, proposing an alternative control gain design, a new control law and related results. / O principal problema avaliado neste manuscrito é a estabilização de órbitas periódicas em sistemas dinâmicos não-lineares utilizando controle por realimentação. O objetivo dos métodos de controle propostos neste trabalho é obter uma oscilação periódica estável. Estes métodos de controle são aplicados a sistemas que apresentam órbitas periódicas instáveis no espaço de estados, estas são as órbitas a serem estabilizadas.Os métodos propostos aqui são tais que a oscilação periódica estável resultante é obtida utilizando um baixo esforço de controle, e o sinal de controle é projetado de forma a convergir para zero quanto a trajetória tende à órbita estabilizada. A estabilidade local de órbitas periódicas é analisada através do estudo da estabilidade de alguns sistemas lineares periódicos no tempo, utilizando a teoria de estabilidade de Floquet. Estes sistemas lineares são obtidos por linearização das trajetórias na vizinhança da órbita periódica.Os métodos de controle utilizados aqui para estabilização de órbitas periódicas são o proportional feedback control, o delayed feedback control e o prediction-based feedback control (controle por realimentação baseado em predição). Estes métodos são aplicados a sistemas de tempo discreto e de tempo contínuo, com as modificações necessárias. As principais contribuições da tese são relacionadas a esses métodos, propondo um projeto de ganho de controle alternativo, uma nova lei de controle e resultados relacionados.