La première partie de cette thèse est consacrée à l'étude des convexes dans le plan discret Z2 ou plus généralement Zn. Il existe en fait plusieurs notions de convexité discrète : la convexité simple selon certaines directions, la convexité totale (la convexité usuelle du continu), etc. La Q-convexité est encore une nouvelle classe qui généralise à la fois les totalement convexes et les polyominos HV-convexes. On étudie les liens entre toutes ces différentes notions, et on donne des propriétés des points particuliers de ces ensembles comme les points médians et les points saillants.<br /><br />Toute la deuxième partie est dédiée au problème de la tomographie dans le plan discret Z2. Il s'agit simplement de reconstruire un ensemble à partir du nombre de points dans les droites parallèles à des directions données. L'algorithme polynomial, déjà connu pour les polyominos HV-convexes avec les directions horizontales et verticales, se généralise aux Q-convexes pour des directions quelconques. D'autre part, le théorème d'unicité qui montre en particulier que sept directions suffisent pour déterminer un totalement convexe se généralise aussi aux Q-convexes. On en déduit que lorsque l'on a assez de directions pour avoir unicité de la solution, la reconstruction des totalement convexes peut se faire en temps polynomial. On a aussi un algorithme polynomial de reconstruction approchée des Q-convexes.

Cette thèse se situe à l'interface entre l'analyse d'images, dont l'objectif est la description automatique du contenu visuel, et la géométrie discrète, qui est l'un des domaines dédiés au traitement des images numériques. Pour être stocké et manipulé sur un ordinateur, un signal observé est régulièrement échantillonné. L'image numérique, qui est le résultat de ce processus d'acquisition, est donc constituée d'un ensemble fini d'éléments distincts. La géométrie discrète se propose d'étudier les propriétés géométriques d'un tel espace dépourvu de continuité. Dans ce cadre, nous avons considéré les régions homogènes et porteuses de sens d'une image, avec l'objectif de représenter leur contour au moyen de modèles géométriques ou de les décrire à l'aide de mesures. L'étendue des applications de ce travail en analyse d'images est vaste, que ce soit au cours du processus de segmentation, ou en vue de la reconnaissance d'un objet. Nous nous sommes concentrés sur trois modèles géométriques discrets définis par la discrétisation de Gauss : la partie convexe ou concave, l'arc de cercle discret et le segment de droite discrète. Nous avons élaboré des algorithmes dynamiques (mise à jour à la volée de la décision et du paramétrage), exacts (calculs en nombres entiers sans erreur d'approximation) et rapides (calculs simplifiés par l'exploitation de propriétés arithmétiques et complexité en temps linéaire) qui détectent ces modèles sur un contour. L'exécution de ces algorithmes le long d'un contour aboutit à des décompositions ou à des polygonalisations réversibles. De plus, nous avons défini des mesures de convexité, linéarité et circularité, qui vérifient un ensemble de propriétés fondamentales : elles sont robustes aux transformations rigides, elles s'appliquent à des parties de contour et leur valeur maximale est atteinte pour le modèle de forme qui sert de comparaison et uniquement sur celui-ci. Ces mesures servent à l'introduction de nouveaux modèles dotés d'un paramètre variant entre 0 et 1. Le paramètre est fixé à 1 quand on est sûr de la position du contour, mais fixé à une valeur inférieure quand le contour est susceptible d'avoir été déplacé par un bruit d'acquisition. Cette approche pragmatique permet de décomposer de manière robuste un contour en segments de droite ou en parties convexes et concaves. / The work presented in this thesis concerns the fields of image analysis and discrete geometry. Image analysis aims at automatically describing the visual content of a digital image and discrete geometry provides tools devoted to digital image processing. A two-dimensional analog signal is regularly sampled in order to be handled on computers. This acquisition process results in a digital image, which is made up of a finite set of discrete elements. The topic of discrete geometry is to study the geometric properties of such kind of discrete spaces. In this work, we consider homogeneous regions of an image having a meaning for a user. The objective is to represent their digital contour by means of geometric patterns and compute measures. The scope of applications is wide in image analysis. For instance, our results would be of great interest for segmentation or object recognition. We focus on three discrete geometric patterns defined by Gauss digitization: the convex or concave part, the digital straight segment and the digital circular arc. We present several algorithms that detect or recognize these patterns on a digital contour. These algorithms are on-line, exact (integer-only computations without any approximation error) and fast (simplified computations thanks to arithmetic properties and linear-time complexity). They provide a way for segmenting a digital contour or for representing a digital contour by a reversible polygon. Moreover, we define a measure of convexity, a measure of straightness and a measure of circularity. These measures fulfil the following important properties: they are robust to rigid transformations, they may be applied on any part of a digital contour, they reach their maximal value for the template with which the data are compared to. From these measures, we introduce new patterns having a parameter that ranges from 0 to 1. The parameter is set to 1 when the localisation of the digital contour is reliable, but is set to a lower value when the digital contour is expected to have been shifted because of some acquisition noise. This measure-based approach provides a way for robustly decomposing a digital contour into convex, concave or straight parts.

La programmation bi-niveau désigne une classe de problèmes d'optimisation emboîtés impliquant deux joueurs.Un joueur meneur annonce une décision à un joueur suiveur qui détermine sa réponse parmi l'ensemble des solutions d'un problème d'optimisation dont les données dépendent de la décision du meneur (problème de niveau bas).La décision optimale du meneur est la solution d'un autre problème d'optimisation dont les données dépendent de la réponse du suiveur (problème de niveau haut).Lorsque la réponse du suiveur n'est pas unique, on distingue les problèmes bi-niveaux optimistes et pessimistes,suivant que la réponse du suiveur soit respectivement la meilleure ou la pire possible pour le meneur.Les problèmes bi-niveaux sont souvent utilisés pour modéliser des problèmes de tarification. Dans les applications étudiées ici, le meneur est un vendeur qui fixe un prix, et le suiveur modélise le comportement d'un grand nombre de clients qui déterminent leur consommation en fonction de ce prix. Le problème de niveau bas est donc de grande dimension.Cependant, la plupart des problèmes bi-niveaux sont NP-difficiles, et en pratique, il n'existe pas de méthodes générales pour résoudre efficacement les problèmes bi-niveaux de grande dimension.Nous introduisons ici une nouvelle approche pour aborder la programmation bi-niveau.Nous supposons que le problème de niveau bas est un programme linéaire, en variables continues ou discrètes,dont la fonction de coût est déterminée par la décision du meneur.Ainsi, la réponse du suiveur correspond aux cellules d'un complexe polyédral particulier,associé à une hypersurface tropicale.Cette interprétation est motivée par des applications récentes de la géométrie tropicale à la modélisation du comportement d'agents économiques.Nous utilisons la dualité entre ce complexe polyédral et une subdivision régulière d'un polytope de Newton associé pour introduire une méthode dedécomposition qui résout une série de sous-problèmes associés aux différentes cellules du complexe.En utilisant des résultats portant sur la combinatoire des subdivisions, nous montrons que cette décomposition mène à un algorithme permettant de résoudre une grande classe de problèmes bi-niveaux en temps polynomial en la dimension du problème de niveau bas lorsque la dimension du problème de niveau haut est fixée.Nous identifions ensuite des structures spéciales de problèmes bi-niveaux pour lesquelles la borne de complexité peut être améliorée.C'est en particulier le cas lorsque la fonction coût du meneur ne dépend que de la réponse du suiveur.Ainsi, nous montrons que la version optimiste du problème bi-niveau peut être résolue en temps polynomial, notammentpour des instancesdans lesquelles les données satisfont certaines propriétés de convexité discrète.Nous montrons également que les solutions de tels problèmes sont des limites d'équilibres compétitifs.Dans la seconde partie de la thèse, nous appliquons cette approche à un problème d'incitation tarifaire dans les réseaux mobiles de télécommunication.Les opérateurs de données mobiles souhaitent utiliser des schémas de tarification pour encourager les différents utilisateurs à décaler leur consommation de données mobiles dans le temps, et par conséquent dans l'espace (à cause de leur mobilité), afin de limiter les pics de congestion.Nous modélisons cela par un problème bi-niveau de grande taille.Nous montrons qu'un cas simplifié peut être résolu en temps polynomial en utilisant la décomposition précédente,ainsi que des résultats de convexité discrète et de théorie des graphes.Nous utilisons ces idées pour développer une heuristique s'appliquant au cas général.Nous implémentons et validons cette méthode sur des données réelles fournies par Orange. / Bilevel programming deals with nested optimization problems involving two players. A leader annouces a decision to a follower, who responds by selecting a solution of an optimization problem whose data depend on this decision (low level problem). The optimal decision of the leader is the solution of another optimization problem whose data depend on the follower's response (high level problem). When the follower's response is not unique, one distinguishes between optimistic and pessimistic bilevel problems, in which the leader takes into account the best or worst possible response of the follower.Bilevel problems are often used to model pricing problems.We are interested in applications in which the leader is a seller who announces a price, and the follower models the behavior of a large number of customers who determine their consumptions depending on this price.Hence, the dimension of the low-level is large. However, most bilevel problems are NP-hard, and in practice, there is no general method to solve efficiently large-scale bilevel problems.In this thesis, we introduce a new approach to tackle bilevel programming. We assume that the low level problem is a linear program, in continuous or discrete variables, whose cost function is determined by the leader. Then, the follower responses correspond to the cells of a special polyhedral complex, associated to a tropical hypersurface. This is motivated by recent applications of tropical geometry to model the behavior of economic agents.We use the duality between this polyhedral complex and a regular subdivision of an associated Newton polytope to introduce a decomposition method, in which one solves a series of subproblems associated to the different cells of the complex. Using results about the combinatorics of subdivisions, we show thatthis leads to an algorithm to solve a wide class of bilevel problemsin a time that is polynomial in the dimension of the low-level problem when the dimension of the high-level problem is fixed.Then, we identify special structures of bilevel problems forwhich this complexity bound can be improved.This is the case when the leader's cost function depends only on the follower's response. Then, we showthe optimistic bilevel problem can be solved in polynomial time.This applies in particular to high dimensional instances in which the datasatisfy certain discrete convexity properties. We also show that the solutions of such bilevel problems are limits of competitive equilibria.In the second part of this thesis, we apply this approach to a price incentive problem in mobile telecommunication networks.The aim for Internet service providers is to use pricing schemes to encourage the different users to shift their data consumption in time(and so, also in space owing to their mobility),in order to reduce the congestion peaks.This can be modeled by a large-scale bilevel problem.We show that a simplified case can be solved in polynomial time by applying the previous decomposition approach together with graph theory and discrete convexity results. We use these ideas to develop an heuristic method which applies to the general case. We implemented and validated this method on real data provided by Orange.