El objetivo de esta investigación es caracterizar la construcción del significado del concepto de recta tangente en estudiantes de Bachillerato (16-17 años) en un experimento de enseñanza. El experimento de enseñanza tenía como objetivo tematizar el esquema de recta tangente, y para fundamentarlo generamos una trayectoria hipotética de aprendizaje en el sentido de Simon (1995) formada por una Descomposición Genética del concepto de recta tangente a una curva como una descripción de una progresión en el aprendizaje en estudiantes de 16-17 años, integrando información desde tres análisis: epistemológico, curricular y cognitivo, y un conjunto de actividades que integran el uso de recursos tecnológicos. El modelo de progresión en el aprendizaje del concepto de recta tangente usa la idea de linealidad local para apoyar la transición desde la concepción euclídea (recta tangente como aquella que toca, pero no corta a la circunferencia) de la recta tangente a la concepción cartesiana (recta tangente como límite de las rectas secantes). Nuestros resultados indican que la progresión en el aprendizaje se articula mediante dos características: (i) la integración de las perspectivas analítica local y geométrica, y (ii) la coordinación de la concepción leibniziana (si consideramos la curva formada por infinitos segmentos infinitesimales, la recta tangente es la prolongación del segmento en el que se encuentra el punto de tangencia) y la concepción cartesiana para superar los obstáculos derivados de la concepción euclídea. Identificamos tres trayectorias de aprendizaje caracterizadas por dos aspectos, (i) la relación entre los registros gráfico y analítico para apoyar la transición desde la concepción leibniziana a la concepción cartesiana; y (ii) la aproximación al valor de una función en el entorno del punto de tangencia mediante la recta tangente. Los resultados obtenidos sugieren que la interiorización de la concepción leibniziana es necesaria para superar el obstáculo epistemológico que supone la concepción euclídea para la tematización del esquema de recta tangente. Finalmente, situamos los resultados de esta investigación en el debate sobre las diferentes maneras de entender las ideas de trayectoria de aprendizaje y progresión en el aprendizaje generadas en la educación matemática en los últimos años.

La investigación se inscribe en el dominio de investigación de Didáctica de la Matemática y, en particular, del Pensamiento Matemático Avanzado, centrándose en el análisis de la comprensión del concepto de límite de una función. El marco teórico que fundamenta esta investigación es la teoría APOE y los elementos que lo configuran: las construcciones mentales y los mecanismos de las construcciones mentales, la descomposición genética, los niveles de desarrollo de un esquema y la tematización de un esquema. La investigación tiene por objetivos caracterizar los niveles de desarrollo del esquema de límite de una función, y analizar la influencia de los distintos modos de representación en la comprensión de la coordinación de los procesos de aproximación. Los participantes son estudiantes de bachillerato y del curso de nivelación en Ecuador (16 -18 años). Los resultados indican la influencia de los modos de representación en la coordinación de las aproximaciones en el dominio y el rango en la caracterización de los diferentes niveles de comprensión del concepto de límite de una función en un punto. En los resultados describimos las características de los esquemas INTER, INTRA y TRANS en términos de la coordinación de los diferentes tipos de aproximaciones, así como las características del esquema tematizado. Los resultados obtenidos se relacionan con el conocimiento proporcionado por otras investigaciones derivándose implicaciones para la enseñanza del concepto de límite en estos niveles educativos.