El objetivo de esta investigación es caracterizar la construcción del significado del concepto de recta tangente en estudiantes de Bachillerato (16-17 años) en un experimento de enseñanza. El experimento de enseñanza tenía como objetivo tematizar el esquema de recta tangente, y para fundamentarlo generamos una trayectoria hipotética de aprendizaje en el sentido de Simon (1995) formada por una Descomposición Genética del concepto de recta tangente a una curva como una descripción de una progresión en el aprendizaje en estudiantes de 16-17 años, integrando información desde tres análisis: epistemológico, curricular y cognitivo, y un conjunto de actividades que integran el uso de recursos tecnológicos. El modelo de progresión en el aprendizaje del concepto de recta tangente usa la idea de linealidad local para apoyar la transición desde la concepción euclídea (recta tangente como aquella que toca, pero no corta a la circunferencia) de la recta tangente a la concepción cartesiana (recta tangente como límite de las rectas secantes). Nuestros resultados indican que la progresión en el aprendizaje se articula mediante dos características: (i) la integración de las perspectivas analítica local y geométrica, y (ii) la coordinación de la concepción leibniziana (si consideramos la curva formada por infinitos segmentos infinitesimales, la recta tangente es la prolongación del segmento en el que se encuentra el punto de tangencia) y la concepción cartesiana para superar los obstáculos derivados de la concepción euclídea. Identificamos tres trayectorias de aprendizaje caracterizadas por dos aspectos, (i) la relación entre los registros gráfico y analítico para apoyar la transición desde la concepción leibniziana a la concepción cartesiana; y (ii) la aproximación al valor de una función en el entorno del punto de tangencia mediante la recta tangente. Los resultados obtenidos sugieren que la interiorización de la concepción leibniziana es necesaria para superar el obstáculo epistemológico que supone la concepción euclídea para la tematización del esquema de recta tangente. Finalmente, situamos los resultados de esta investigación en el debate sobre las diferentes maneras de entender las ideas de trayectoria de aprendizaje y progresión en el aprendizaje generadas en la educación matemática en los últimos años.

La caracterización y desarrollo de la competencia mirar profesionalmente se ha abordado desde diferentes perspectivas desde la investigación en Didáctica de las Matemáticas. En este estudio 85 estudiantes para maestro participaron en un entorno de aprendizaje donde tenían que usar la información de una trayectoria hipotética de aprendizaje de estudiantes de educación primaria sobre las fracciones para interpretar el pensamiento matemático de los estudiantes y decidir cómo responder. Los resultados muestran que la participación en el entorno de aprendizaje y el uso de la información de la trayectoria hipotética de aprendizaje ayudó a los estudiantes para maestro a identificar los detalles matemáticamente relevantes en las respuestas de los estudiantes, a interpretar su pensamiento fraccionario y a proponer actividades coherentes con la comprensión de los estudiantes. Además los resultados de nuestro estudio nos han permitido caracterizar el desarrollo de la competencia a través del progreso en el discurso generado por los estudiantes para maestro con relación a los detalles que apoyaban sus interpretaciones. Estos resultados sugieren una relación entre la capacidad para atender a los detalles y la habilidad para proponer actividades para apoyar el desarrollo conceptual de los estudiantes.