Neste trabalho estudamos variedades determinantais essencialmente isoladas (EIDS), definidas por W. Èbeling e S. M. Gusen-Zade em [23]. Este tipo de singularidades é uma generalização das singularidades isoladas. A variedade determinantal genérica Mtm, n é o subconjunto das matrizes m X n, tais que o posto seja menor que t, onde t &le; min{n;m}. Uma variedade X &sub; CN é determinantal se é definida como a pré-imagem de uma função holomorfa F : CN &rarr; Mm;n, sobre a variedade determinantal genérica M t</sup m;n, com a condição codim X = codim Mtm;n. Uma variedade determinantal tem singularidade isolada se N &le; (n- t + 2)(m- t + 2) e admite suavização se N < (n-t+2)(m-t+2). Trabalhos recentes têm estudado variedades determinantais com singularidade isolada, [35, 31]. O número de Milnor de uma superfície determinantal é investigado em [35, 31, 12]. Para variedades determinantais de dimensões maiores a característica de Euler evanescente é definida em [31, 12]. Neste trabalho estudamos o conjunto de limites de hiperplanos tangentes às variedades determinantais X2 &sub; C4 e X3 &sub; C5 para dar uma caracterização deste conjunto, em que o número de Milnor de sua seção com a superfície no primeiro caso ou a 3- variedade no segundo caso não é mínimo. O primeiro caso foi estudado por Jawad Snoussi em [38]. Provamos também que se X é uma EIDS de dimensão d e H e H\' são dois hiperplanos fortemente gerais, se P &sub; H e P\' &sub;H\' são planos lineares de codimensão d - 2 contidos respectivamente em H e H\', o número de Milnor das superfícies correspondentes X &cap; P\' são iguais. Este resultado foi provado para o caso em que a seção genérica é uma curva em [26]. Estudamos a transformada de Nash de uma EIDS e discutimos condições suficientes para que esta transformada seja suave. Outro objetivo é estudar a obstrução de Euler de singularidades determinantais essencialmente isoladas. Obtemos fórmulas que relacionam a obstrução de Euler com a característica de Euler evanescente da suavização essencial de suas seções gerais. Estudamos as variedades determinantais com o conjunto singular de dimensão 1 para ilustrar os resultados. / In this work, we study the essentially isolated determinantal singularities (EIDS), which have been defined by W. Èbeling and S. M. Gusen-Zade in the article [23]. This type of singularities is a natural generalization of isolated ones. A generic determinantal variety Mtm;n is a subset of the space of m X n matrices, given by matrices of rank less than t, where t &le; min. A variety X &sub; CN is determinantal if X is defined as the pre-image of Mtm;n by a holomorphic function F : CN &rarr; Mm;n with the condition codim X = codim Mtm;n. Determinantal varieties have isolated singularity if N &le; (n - t + 2)(m - t + 2) and they admit smoothing if N < (n - t +2)(m - t +2). Several recent works investigate determinantal variety with isolated singularities. The Milnor number of a surface was defined in [35, 31] and the vanishing Euler characteristic was studied in [31]. In this work we study the set of limits of tangent hyperplanes to determinantal varieties X2 &sub; C4 and X3 &sub; C5 to give a characterization of this set by the fact that the Milnor number of its section with the surface in the first case or the 3-dimensional determinantal variety in the second case is not minimum. The first case is studied by Jawad Snoussi in [38]. We also prove that if X is a d- dimensional EIDS and H and H\' are strongly general hyperplans, if P &sub; H and P\' are linear plans of codimension d - 2 contained in H and H\', the Milnor number of the surfaces X &cap; P and X &cap; P\' are equal. In the case that the generic section is a curve the result has been proved in [26]. We study the Nash transformation of an EIDS and give sufficient conditions for this transformation to be smooth. Another aim of our study is the Euler obstruction of essentially isolated determinantal singularities. We obtain inductive formulas associating the Euler obstruction with the vanishing Euler characteristic of the essencial smoothing of their generic sections. We study the determinantal variety with singular set of dimension 1 to illustrate the results.

The thesis consists of three articles concerning reproducing kernels ofweighted spaces of polyanalytic functions on the complex plane. In the first paper, we study spaces of polyanalytic polynomials equipped with a Gaussianweight. In the remaining two papers, more general weight functions are considered. More precisely, we provide two methods to compute asymptotic expansions for the kernels near the diagonal and then apply the techniques to get estimates for reproducing kernels of polyanalytic polynomial spaces equipped with rather general weight functions. / <p>QC 20130513</p>

Neste trabalho estudamos variedades determinantais essencialmente isoladas (EIDS), definidas por W. Èbeling e S. M. Gusen-Zade em [23]. Este tipo de singularidades é uma generalização das singularidades isoladas. A variedade determinantal genérica Mtm, n é o subconjunto das matrizes m X n, tais que o posto seja menor que t, onde t &le; min{n;m}. Uma variedade X &sub; CN é determinantal se é definida como a pré-imagem de uma função holomorfa F : CN &rarr; Mm;n, sobre a variedade determinantal genérica M t</sup m;n, com a condição codim X = codim Mtm;n. Uma variedade determinantal tem singularidade isolada se N &le; (n- t + 2)(m- t + 2) e admite suavização se N < (n-t+2)(m-t+2). Trabalhos recentes têm estudado variedades determinantais com singularidade isolada, [35, 31]. O número de Milnor de uma superfície determinantal é investigado em [35, 31, 12]. Para variedades determinantais de dimensões maiores a característica de Euler evanescente é definida em [31, 12]. Neste trabalho estudamos o conjunto de limites de hiperplanos tangentes às variedades determinantais X2 &sub; C4 e X3 &sub; C5 para dar uma caracterização deste conjunto, em que o número de Milnor de sua seção com a superfície no primeiro caso ou a 3- variedade no segundo caso não é mínimo. O primeiro caso foi estudado por Jawad Snoussi em [38]. Provamos também que se X é uma EIDS de dimensão d e H e H\' são dois hiperplanos fortemente gerais, se P &sub; H e P\' &sub;H\' são planos lineares de codimensão d - 2 contidos respectivamente em H e H\', o número de Milnor das superfícies correspondentes X &cap; P\' são iguais. Este resultado foi provado para o caso em que a seção genérica é uma curva em [26]. Estudamos a transformada de Nash de uma EIDS e discutimos condições suficientes para que esta transformada seja suave. Outro objetivo é estudar a obstrução de Euler de singularidades determinantais essencialmente isoladas. Obtemos fórmulas que relacionam a obstrução de Euler com a característica de Euler evanescente da suavização essencial de suas seções gerais. Estudamos as variedades determinantais com o conjunto singular de dimensão 1 para ilustrar os resultados. / In this work, we study the essentially isolated determinantal singularities (EIDS), which have been defined by W. Èbeling and S. M. Gusen-Zade in the article [23]. This type of singularities is a natural generalization of isolated ones. A generic determinantal variety Mtm;n is a subset of the space of m X n matrices, given by matrices of rank less than t, where t &le; min. A variety X &sub; CN is determinantal if X is defined as the pre-image of Mtm;n by a holomorphic function F : CN &rarr; Mm;n with the condition codim X = codim Mtm;n. Determinantal varieties have isolated singularity if N &le; (n - t + 2)(m - t + 2) and they admit smoothing if N < (n - t +2)(m - t +2). Several recent works investigate determinantal variety with isolated singularities. The Milnor number of a surface was defined in [35, 31] and the vanishing Euler characteristic was studied in [31]. In this work we study the set of limits of tangent hyperplanes to determinantal varieties X2 &sub; C4 and X3 &sub; C5 to give a characterization of this set by the fact that the Milnor number of its section with the surface in the first case or the 3-dimensional determinantal variety in the second case is not minimum. The first case is studied by Jawad Snoussi in [38]. We also prove that if X is a d- dimensional EIDS and H and H\' are strongly general hyperplans, if P &sub; H and P\' are linear plans of codimension d - 2 contained in H and H\', the Milnor number of the surfaces X &cap; P and X &cap; P\' are equal. In the case that the generic section is a curve the result has been proved in [26]. We study the Nash transformation of an EIDS and give sufficient conditions for this transformation to be smooth. Another aim of our study is the Euler obstruction of essentially isolated determinantal singularities. We obtain inductive formulas associating the Euler obstruction with the vanishing Euler characteristic of the essencial smoothing of their generic sections. We study the determinantal variety with singular set of dimension 1 to illustrate the results.

We present and prove some important theorems regarding determinantal point processes. In particular we focus on existance and uniqueness theorems. Furthermore, we present an algorithm for generating determinantal point processes with a finite-dimensional projection kernel. Also, we go through the mathematical preliminaries required to understand the theory.

O teorema de Hilbert-Burch fornece uma boa descrição de variedades determinantais de codi- mensão dois e de suas deformações em termos da matriz de representação. Neste trabalho, usamos esta correspondência para estudar propriedades de tais variedades usando métodos da teoria de singularidades. Na primeira parte da tese, estabelecemos a teoria de singularidades de matrizes n X p, generalizando os resultados obtidos por J. W. Bruce and F. Tari em [5], para ma- trizes quadradas, e por A. Frühbis-Krüger em [16], para matrizes n X (n+1). Na segunda parte, nos concentramos em variedades determinantais de codimensão 2, com singularidade isolada na origem. Para estas variedades, podemos mostrar a existência e a unicidade de suavizações, o que possibilita definir seu número de Milnor como o número de Betti na dimensão média de sua fibra genérica. Para superfícies em \'C POT. 4\', obtemos uma fórmula Lê-Greuel expressando o número de Milnor da superfície em termos da segunda multiplicidade polar e do número de Milnor de uma seção genérica / The theorem of Hilbert- Burch provides a good description of codimension two determinantal varieties and their deformations in terms of their presentation matrices. In this work we use this correspondence to study properties of determinantal varieties, based on methods of singularity theory of their presentation matrices. In the first part of the thesis we establish the theory of singularities for n X p matrices extending previous results of J. W. Bruce and F. Tari in [5], for classes of square matrices, and A. Frühbis-Krüger for n X (n+1) matrices in [16]. In the second part we concentrate on codimension two determinantal varieties with isolated singularities. These singularities admit a unique smoothing, thus we can define their Milnor number as the middle Betti number of their generic fiber. For surfaces in \'C POT. 4\' , we obtain a Lê-Greuel formula expressing the Milnor number of the surface in terms of the second polar multiplicity and the Milnor number of the generic section

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O teorema de Hilbert-Burch fornece uma boa descrição de variedades determinantais de codi- mensão dois e de suas deformações em termos da matriz de representação. Neste trabalho, usamos esta correspondência para estudar propriedades de tais variedades usando métodos da teoria de singularidades. Na primeira parte da tese, estabelecemos a teoria de singularidades de matrizes n X p, generalizando os resultados obtidos por J. W. Bruce and F. Tari em [5], para ma- trizes quadradas, e por A. Frühbis-Krüger em [16], para matrizes n X (n+1). Na segunda parte, nos concentramos em variedades determinantais de codimensão 2, com singularidade isolada na origem. Para estas variedades, podemos mostrar a existência e a unicidade de suavizações, o que possibilita definir seu número de Milnor como o número de Betti na dimensão média de sua fibra genérica. Para superfícies em \'C POT. 4\', obtemos uma fórmula Lê-Greuel expressando o número de Milnor da superfície em termos da segunda multiplicidade polar e do número de Milnor de uma seção genérica / The theorem of Hilbert- Burch provides a good description of codimension two determinantal varieties and their deformations in terms of their presentation matrices. In this work we use this correspondence to study properties of determinantal varieties, based on methods of singularity theory of their presentation matrices. In the first part of the thesis we establish the theory of singularities for n X p matrices extending previous results of J. W. Bruce and F. Tari in [5], for classes of square matrices, and A. Frühbis-Krüger for n X (n+1) matrices in [16]. In the second part we concentrate on codimension two determinantal varieties with isolated singularities. These singularities admit a unique smoothing, thus we can define their Milnor number as the middle Betti number of their generic fiber. For surfaces in \'C POT. 4\' , we obtain a Lê-Greuel formula expressing the Milnor number of the surface in terms of the second polar multiplicity and the Milnor number of the generic section

<p>This thesis is focused on determinantal rings in 2 different contexts. In Chapter 3 the homological properties of powers of determinantal ideals are studied. In particular the focus is on local cohomology of determinantal thickenings and we explicitly describe the $R$-module structure of some of these local cohomology modules. In Chapter 4 we introduce \textit{generalized diagonal} matrices, a class of sparse matrices which contain diagonal and upper triangular matrices. We study the ideals of minors of such matrices and describe their properties such as height, multiplicity, and Cohen-Macaulayness. </p>

<p>This thesis has three major topics. The first is on generalized multiplicities. The second is on height bounds for ideals of minors of matrices with a given rank. The last topic is on the ideal of minors of generic generalized diagonal matrices.</p> <p>In the first part of this thesis, we discuss various generalizations of Hilbert-Samuel multiplicity. These include the Buchsbaum-Rim multiplicity, mixed multiplicities, $j$-multiplicity, and $\varepsilon$-multiplicity. For $(R,m)$ a Noetherian local ring of dimension $d$ and $I$ a $m$-primary ideal in $R$, Lech showed the following bound for the Hilbert-Samuel multiplicity of $I$, $e(I) \leq d!\lambda(R/I)e(m)$. Huneke, Smirnov, and Validashti improved the bound to $e(mI) \leq d!\lambda(R/I)e(m)$. We generalize the improved bound to the Buchsbaum-Rim multiplicity and to mixed multiplicities. </p> <p>For the second part of the thesis we discuss bounds on heights of ideals of minors of matrices. A classical bound for these heights was shown by Eagon and Northcott. Bruns' bound is an improvement on the Eagon-Northcott bound taking into consideration the rank of the matrix. We prove an analogous bound to Bruns' bound for alternating matrices. We then discuss an open problem by Eisenbud, Huneke, and Ulrich that asks for height bounds for symmetric matrices given their rank. We show a few reduction steps and prove some small cases of this problem. </p> <p>Finally, for the last topic we explore properties of the ideal of minors of generic generalized diagonal matrices. Generalized diagonal matrices are matrices with two ladders of zeros in the bottom left and top right corners. We compute their initial ideals and give a description of the facets of their Stanley-Reisner complex. Using this description, we characterize when these ideals are Cohen-Macaulay. In the special case where the ladders of zeros are triangles, we compute the height and multiplicity</p>

We propose a new construction of point processes, which generalizes the class of infinitely divisible point processes. Examples are the quantum Boson and Fermion gases as well as the classical Gibbs point processes, where the interaction is given by a stable and regular pair potential.